Tính duy nhất nghiệm nhớt của một lớp phương trình vi tích phân (LV02071)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN VĂN KIỆT TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM NHỚT CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN VĂN KIỆT

TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM NHỚT

CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH

VI - TÍCH PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 60 46 01 02

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS TRẦN VĂN BẰNG

Hà Nội – Năm 2016

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Văn Bằng, người đã địnhhướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận vănnày

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sau đạihọc, cùng các thầy cô giáo dạy lớp thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích,trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình họctập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn

bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quátrình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, 22 tháng 11 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Văn Kiệt

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài

“Tính duy nhất nghiệm nhớt của một lớp phương trình vi tích phân”

là kết quả của quá trình tìm hiểu, nghiên cứu của tác giả dưới sự hướng dẫncủa TS Trần Văn Bằng

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, 22 tháng 11 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Văn Kiệt

Mục lục

1.1 Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp một 3

1.2 Nghiệm nhớt của phương trình vi tích phân 6

2 Tính duy nhất nghiệm nhớt của một lớp phương trình vi tích phân 10 2.1 Trường hợp γ > 0 10

2.2 Trường hợp γ = 0 22

2.3 Tính chính qui của nghiệm nhớt 25

2.4 Ứng dụng 42

2.4.1 Phương trình phi tuyến lồi với hệ số biến thiên 42

2.4.2 Phương trình phi tuyến không lồi với hệ số biến thiên 42 2.4.3 Phương trình elliptic đều tổng quát không địa phương đối với L0 43

2.4.4 Phương trình tổng quát không địa phương với một họ độ đo Levy thỏa mãn (2.41) 43

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Lý thuyết phương trình vi tích phân xuất hiện trong nhiều mô hình toán,thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau Nó bắt nguồn từ những công trình của Abel,Lotka, Fredholm, Malthus, Verhulst and Volterra về các bài toán trong cơ khí,sinh toán và kinh tế Công trình của Volterra về vấn đề cạnh tranh giữa cácloài có vai trò nền tảng trong sự phát triển của các mô hình toán của các vấn

đề thực tiễn Từ những công trình ban đầu này, đã có rất nhiều nhà toán họcquan tâm, nghiên cứu, phát triển lý thuyết và ứng dụng của phương trình vitích phân Volterra cũng như những lớp phương trình vi tích phân khác, xem[5], [1], [2], [6] và các tài liệu trong đó

Lý thuyết nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng được Crandall vàLions giới thiệu từ đầu những năm 80 của thế kỉ trước cho phương trình phituyến cấp một trong không gian hữu hạn chiều, sau đó phát triển cho trườnghợp vô hạn chiều và cả phương trình cấp hai Khái niệm nghiệm suy rộngnày đặc biệt thích hợp cho lớp phương trình phi tuyến Lý thuyết nghiệmnày cũng đã được chứng minh là phù hợp cho cả các phương trình vi tíchphân phi tuyến, xem [3], [4] và các tài liệu trong đó

Trong khuôn khổ của một Luận văn Thạc sĩ toán học, được sự hướng dẫncủa TS Trần Văn Bằng, tôi chọn đề tài: “Tính duy nhất nghiệm nhớt củamột lớp phương trình vi tích phân”

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về khái niệm nghiệm nhớt của phương trình vi tích phân cùng vớimột số tính chất định tính của chúng, đặc biệt là tính duy nhất nghiệm đốivới lớp phương trình vi tích phân không địa phương

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Nghiệm nhớt của phương trình vi tích phân và tínhchất định tính của chúng

+ Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu đối với lớp phương trình vi tích phânkhông địa phương

4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp nghiên cứu của Phương trình đạo hàm riêng,phương trình vi tích phân và của lý thuyết nghiệm nhớt

5 Đóng góp của đề tài

Hệ thống hóa các tính chất, kết quả về nghiệm nhớt của phương trình vi tíchphân, hình thành một tài liệu tham khảo về chủ đề này

Giả sử Ω ⊂ RN là một tập mở, F : Ω × R × RN → R là một hàm liên tụccủa ba biến (x, r, p) Kí hiệu

C(Ω) là không gian tất cả các hàm thực liên tục trên Ω;

Ck(Ω), k = 1, 2, là không gian tất cả các hàm thuộc C(Ω) có các đạohàm riêng đến cấp k liên tục trên Ω

Với một hàm u ∈ C1(Ω), thì Du(x) là gradient của u tại x ∈ Ω

Xét phương trình ĐHR phi tuyến cấp một (thường gọi là phương trìnhHamilton-Jacobi):

F (x, u(x), Du(x)) = 0, x ∈ Ω (HJ)

Định nghĩa 1.1 Hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm nhớt dưới của phương trình(HJ) nếu với mọi ϕ ∈ C1(Ω) ta có:

F (x , u(x ), Dϕ(x )) ≤ 0

tại mọi điểm cực đại địa phương x0 ∈ Ω của u − ϕ.

Hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm nhớt trên của phương trình (HJ) nếu vớimọi ϕ ∈ C1(Ω) ta có:

F (x1, u(x1), Dϕ(x1)) ≥ 0tại mọi điểm cực tiểu địa phương x1 ∈ Ω của u − ϕ

Hàm u là một nghiệm nhớt nếu nó vừa là nghiệm nhớt trên vừa là nghiệmnhớt dưới của phương trình đó

Hàm ϕ(x) trong định nghĩa trên thường được gọi là hàm thử

Ví dụ 1.2 Hàm số u(x) = |x| là một nghiệm nhớt của phương trình:

− |u0(x)| + 1 = 0, x ∈ (−1, 1)

Thật vậy, ta xét hai trường hợp: nếu x 6= 0 là một cực trị địa phương của

u − ϕ thì ϕ0(x) = u0(x) = ±1 Vì vậy tại những điểm này điều kiện nghiệmnhớt trên, nghiệm nhớt dưới được thỏa mãn

Nếu 0 là cực tiểu địa phương của u − ϕ, thì ta tính được |ϕ0(0)| ≤ 1 nênđiều kiện nghiệm nhớt trên vẫn đúng Bây giờ ta chứng minh 0 không thể làcực đại địa phương của u − ϕ với ϕ ∈ C1([0, 1]) Thật vậy, nếu 0 là cực đạiđịa phương của u − ϕ thì ta có (u − ϕ)(0) ≥ (u − ϕ)(x) trong một lân cậncủa 0, hay ϕ(x) − ϕ(0) ≥ u(x) trong một lân cận của 0, từ đó ta có:

Vô lý, vậy 0 không thể là cực đại địa phương của u − ϕ

Để ý rằng, hàm số u(x) = |x| không phải là nghiệm nhớt của phươngtrình:

|u0(x)| − 1 = 0, x ∈ (−1, 1)

Thật vậy điều kiện nghiệm trên không thỏa mãn tại x0 = 0 là điểm cực tiểuđịa phương của |x| − (−x2).

Nghiệm nhớt là một loại nghiệm suy rộng vì nói chung chúng chỉ là hàmliên tục nên sự tồn tại của chúng thường dễ đạt được (xem phương phápPerron trong [3]) Vấn đề đáng quan tâm hơn là tính duy nhất Trong lýthuyết nghiệm nhớt, để chứng minh tính duy nhất, ta thường chỉ ra nguyên

lý so sánh nghiệm Tư tưởng cơ bản của nguyên lý so sánh là: nếu nghiệmnhớt dưới nhỏ hơn hoặc bằng nghiệm nhớt trên ở trên biên thì điều đó cũngxảy ra trong toàn miền Nếu có kết quả so sánh thì sự duy nhất nghiệm chỉ

là một hệ quả trực tiếp Thật vậy, nếu u1, u2 là nghiệm của bài toán đangxét thì khi ta coi u1 là nghiệm dưới, u2 là nghiệm trên ta sẽ có u1 = u2 trênbiên do đó u1 ≤ u2 trên toàn miền Đổi vai trò của chúng ta lại nhận được

u2 ≤ u1 Vậy u1 = u2 Dưới đây là một kết quả về nguyên lý so sánh nghiệm.Xét hàm F có dạng F (x, r, p) = r + H(x, p)

Định lý 1.3 Cho Ω là một tập con mở bị chặn của RN Giả sử u1, u2 ∈ C(Ω)tương ứng là nghiệm nhớt trên và dưới của

1.2 Nghiệm nhớt của phương trình vi tích phân

Trong Luận văn này, chúng ta sẽ nghiên cứu nguyên lý so sánh nghiệm, tínhduy nhất nghiệm nhớt cho lớp phương trình vi tích phân không địa phương

G(x, u, I[x, u]) = 0 trong Ω, (1.1)

trong đó Ω là một miền bị chặn trong Rn và I[x, u] là một toán tử vi tíchphân, nghiệm cần tìm u là hàm giá trị thực Hàm G : Ω × R × R → R là mộthàm liên tục, elliptic suy biến, tức là với mọi x ∈ Ω, r ∈ R, l1, l2 ∈ R

G(x, r, l1) ≤ G(x, r, l2) nếu l1 ≥ l2, (1.2)

và có tính cưỡng bức, tức là có một hằng số không âm γ sao cho với mọi

x ∈ Ω, r ≥ s, l ∈ R

γ(r − s) ≤ G(x, r, l) − G(x, s, l) (1.3)Toán tử không địa phương I có dạng

và {µx : x ∈ Ω} là một họ các độ đo Levy, tức là các độ đo Borel không âmtrên Rn \ {0} sao cho

BU C(Rn) với một δ > 0 Chúng ta chỉ ra rằng nghiệm u phải xác định trêntoàn không gian Rn kể cả khi (1.1) chỉ được thỏa mãn trong Ω Đồng thờichúng tôi cũng đề cập tới các phương trình kiểu Bellman-Isaacs

γu + sup

α∈A

inf

β∈B{−Iαβ[x, u] + fαβ(x)} = 0 trong Ω, (1.6)trong đó mỗi Iαβ[x, u] đều có dạng (1.4)

Các nguyên lý so sánh nghiệm và các kết quả về tính duy nhất nghiệm đốivới phương trình (1.1) và phương trình Bellman-Isaacs cổ điển đã đạt đượccho trường hợp γ > 0 và các toán tử không địa phương I và Iαβ có dạng

Iαβ[x, u] =

Z

Rn

[u(x+γαβ(x, z))−u(x)−1B1(0)(z)Du(x).γαβ(x, z)]µ(dz), (1.7)

tức là khi độ đo Levy là cố định (không phụ thuộc x)

Khi độ đo Levy biến đổi theo x, đặt ra nhiều khó khăn về kĩ thuật Mộtkhó khăn khác nữa là trường hợp γ = 0 Để có được nguyên lý so sánh nghiệmcũng như các kết quả về tính duy nhất nghiệm trong tình huống này, chúng

ta sẽ cần tới một số giả thiết bổ sung đối với hàm G và toán tử không địaphương I

Gọi Bδ(x) là hình cầu mở tâm x bán kính δ > 0 và BU C (Rn) là khônggian của các hàm số bị chặn và liên tục đều trong Rn Nếu Ω0 là một tập

mở, r = k + α, k = 1, 2, , 0 < α < 1, thì ta sử dụng kí hiệu Cr(Ω0) thaycho không gian H¨older Ck,α(Ω0) được trang bị với chuẩn thông thường, ởđây nó được kí hiệu bởi k.kCr (Ω 0 ) Không gian các hàm liên tục Lipschitz sẽđược kí hiệu là C0,1(Ω0) Chúng ta sẽ kí hiệu Clocr (Ω0) (tương ứng, Cloc0,1(Ω0))

là không gian tất cả các hàm thuộc Cr(Ω00) (tương ứng C0,1(Ω00)) với mọi tập

lại hai định nghĩa tương đương của nghiệm nhớt của (1.1) Để làm điều đóchúng tôi xét hai toán tử liên quan I1,δ và I2,δ,

Hàm số u ∈ BU C(Rn) là một nghiệm nhớt trên của phương trình (1.1) nếu

u − ϕ có cực tiểu trên Rn tại x ∈ Ω đối với hàm thử ϕ ∈ C2(Rn) ∩ BU C(Rn),thì ta có

G(x, u(x), I [x, ϕ]) ≥ 0

Một hàm số u ∈ BU C(Rn) là một nghiệm nhớt của phương trình (1.1) nếu

nó vừa là nghiệm nhớt trên vừa là nghiệm nhớt dưới của phương trình (1.1)

Dễ thấy rằng Định nghĩa 1.4 là tương đương với Định nghĩa 1.5 sau đây,trong đó yêu cầu ϕ ∈ C2(Rn) ∩ BU C(Rn) được thay thế bởi yêu cầu ϕ ∈

Hàm số u ∈ BU C(Rn) là một nghiệm nhớt trên của phương trình (1.1) nếu

u − ϕ có cực tiểu trên Bδ(x) tại x ∈ Ω đối với hàm thử ϕ ∈ C2(Bδ(x)), δ > 0,

(H1) Với mỗi Ω0 ⊂⊂ Ω, có một hàm liên tục, không giảm ωΩ0 thỏa mãn

ωΩ0(0) = 0 và một hằng số không âm ΛΩ0 sao cho

G(y, r, l2) − G(x, r, l1) ≤ λΩ0(l1 − l2) + ωΩ0(x − y)

với mọi x, y ∈ Ω0 và r, l1, l2 ∈ R

(H2) Với mỗi x ∈ Ω độ đo µx là liên tục tuyệt đối đối với độ đo Lebesguetrên Rn, tức là µx(dz) = a(x, z)dz, ở đó a(x, ) ≥ 0 là đo được và tồn tạihai hằng số 0 < θ ≤ 1, 0 < σ < 2 và một hằng số C dương sao cho, với mọi

Rn\B 1 (0)

|a(x, z) − a(y, z)| dz ≤ C |x − y|θ,Z

Rn\B 1 (0)

µxdz ≤ C

µx thỏa mãn giả thiết (H2) Khi đó, với bất kỳ 0 < σ < 2, tồn tại một hằng số

0 ≤ ro < σ (ro ≥ 1 nếu σ > 1) sao cho nếu r0 < r < 2, θ > max {0, 1 − r} ,

u là một nghiệm nhớt dưới của (1.1), v là một nghiệm nhớt trên của (1.1),

u ≤ v trong Ω và hoặc u hoặc v thuộc Clocr (Ω), thì ta có u ≤ v trong Rn.Chứng minh Không mất tính tổng quát giả sử rằng u ∈ Clocr (Ω) Chứngminh được chia làm hai trường hợp

Trường hợp 1: 0 < σ ≤ 1

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử trong trường hợp này 0 < r < 1.Giả sử rằng maxΩ(u − v) = ν > 0 Gọi K ⊂ Ω là một lân cận compact củatập các điểm cực đại của u − v trong Ω Khi đó, với  đủ nhỏ, có ˆx, ˆy ∈ Ksao cho

u(x) − v(b y) −b 1

2|x −b y|b2 = sup

x,y

u(x) − v(y) − 1

2|x − y|2



≥ ν

Hơn nữa, chúng ta có thể giả sử rằng có 0 < c < 1 sao cho B2c(ˆx)∪B2c(ˆy) ⊂ Ω.Vì

u(x) − v(y) − 1

2|x − y|2 ≤ u(ˆx) − v(ˆy) − 1

2|ˆx − ˆy|2,với mọi x, y ∈ Rn nên đặt x = y = ˆy, chúng ta có

12|ˆx − ˆy|2 ≤ u(ˆx) − u(ˆy)) ≤ C

x − ˆˆ y

#+ I2,δ

ˆ

#+ I2,δ

ˆ

#+ I2,δ

b

#+ I2,δ

b

y, bx −yb

 , v(·)

!)+ wK(|bx −y|)b

≤ ΛK

Z

|z|<δ

 12|bx −y + z|b 2 − 1

2|bx −y|b2 − 1

 (bx −y) zb µ

b

x(dz)+

Z

|z|<δ

 12|x −b y − z|b 2 − 1

2|bx −y|b2 + 1

 (x −b y) zb

µ

b

y(dz)+

b

y(dz)

+ wK(|bx −y|)b

= ΛK

(Z

|z|<δ

|z|22 µx b(dz) +

Z

|z|<δ

|z|22 µy b(dz)+

b

x(dz) − µ

b

y(dz))+

Do u(x) − v(y) − 21|x − y|2 đạt cực đại toàn cục tại (ˆx, ˆy) , nên

u(ˆx + z) − u(ˆx) ≤ v(ˆy + z) − v(ˆy), ∀z ∈ Rn.Hơn nữa, theo giả thiết (H2) và tính bị chặn của u, chúng ta có

Z

|z|≥δ

u(ˆx + z) − u(ˆx) − 1B1(0)1

(ˆx − ˆy).z

(µxˆ(dz) − µˆ(dz))

≤Z

|z|≥1

[u (ˆx + z) − u (ˆx)] (µxˆ(dz) − µˆ(dz))+

|z|22 µx b(dz) +

Z

|z|<δ

|z|22 µb y(dz)+

Z

c>|z|≥δ

u(bx + z) − u(x) −b 1

(bx −y).zb

(µ

Z

|z|<δ

|z|22 µxˆ(dz) +

Z

|z|<δ

|z|22 µˆ(dz) ≤ C

(ˆx − ˆy).z

(µxˆ(dz) − µˆ(dz))

≤Z

−C|ˆx − ˆy|θln δ + C1|ˆx − ˆy|θ+1, nếu r = σ < 1,C|ˆx − ˆy|θ + C1|ˆx − ˆy|θ+1, nếu σ < r < 1

Trong phần còn lại của chứng minh chúng tôi chỉ xem xét các trường hợp

r < σ Trường hợp σ ≤ r < 1 có thể chứng minh tương tự Đặt δ = n−α và

 = n−β Từ (2.1), ta có

|ˆx − ˆy| ≤ Cn2−r−β.Nếu r < σ < 1, ta có

Cδ

2−σ

 = Cn

α(σ−2)+β,

 |ˆx − ˆy|1+θ(−lnδ) → 0 (2.15)

Sử dụng chiến lược tương tự như trước, với bất kỳ θ > 0, ta đặt β = 1, α > 1,

và sau đó chọn 0 < r0 < σ sao cho (2.11) được thỏa mãn nếu r0 < r < 1 Vìvậy, sử dụng (2.7)-(2.9), (2.13)-(2.15) trong (2.2), ta kết luận

Chúng ta giả thiết rằng r > 1 Giả sử maxΩ(u − v) = ν > 0 Gọi K ⊂ Ω

là một lân cận compact của tập hợp các điểm cực đại của u − v trong Ω Khi

đó, tồn tại một dãy hàm số {ψn}n trong C2(Rn) ∩ BU C(Rn) sao cho

u − ψn → 0 với n → +∞ hội tụ đều trên Rn, (2.16)

D2ψn ≤ Cn2−r trên K, ... giả thiết Định lý 2.1, < σ < 2, < r < 2, θ >max {0, − r} Nếu u nghiệm nhớt dưới, v nghiệm nhớt trêncủa (1.1), u ≤ v Ωc, u v thuộc Clocr (Ω),

(i)... tập A

B Phương trình (1.6) khơng có dạng (1.1), có nghĩa định lý hệ quảsau hệ Định lý 2.1 Hệ 2.3, nhiêncác chứng minh lại tương tự Kết tương tự thêmvào số hạng cấp cấp địa phương (1.6)

Định...

1

2 − σ + η

(σ − r) < θ

2 − r.Một phép tính đơn giản cho thấy điều số