Một số phương pháp hình thành phân bố thời gian - tần số

Do đó moibieu dien co đien tín hi¾u là không đ%a phương hóa đưoc đoi vói bienkia, túc là bieu dien tan so là trung bình hau khap nơi cna bieu dienthòi gian và bieu dien thòi gian là trun

1.1.1 Không gian các hàm cơ bán 6

1.1.2 Không gian các hàm suy r®ng 71.2

Bien đoi Fourier 8

1.2.1 Bien đoi Fourier và bien đoi fourier ngưoc 81.2.2 Bien đoi Fourier v à đao hàm 9

1.2.3 Hàm Gauss v à Đ%nh lý Planc h e rel 10

1.2.4 Bien đoi Fourier cna các hàm suy r®ng 10

2.1 Can phái có phân bo thòi gian-tan so 12

2.1.1 Bieu dien mien thòi gian 12

2.1.2 Bieu dien mien tan so 15

2.2 Công thúc tín hi¾u và nhung đ¾c trưng trong mien xác đ%nh (t, f ) 17

2.2.1 Nhung mô hình tín hi¾u đưoc dùng trong m¾t phang thòi gian - tan so (t, f ) 17

2.2.2 Giái tích tín hi¾u 18

2.2.3 Băng thông và thòi gian huu hi¾u 23

2.2.4 Thành phan đơn và Tín hi¾u đa thành phan 25

2.3 Tan so túc thòi và thòi gian tre 26

2.3.1 Tan so túc thòi 26

2.3.2 Tan so túc thòi và thòi gian tre 28

2.3.3 Tan so túc thòi trung bình và nhóm tre 30

2.3.4 Giám dư thòi gian, dái tan so đ®ng lnc 33

3 CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DUNG PHÂN BO THèI GIAN-TAN SO 34 3.1 Phương pháp 1: Phân bo Wigner-Ville 34

3.1.1 Dau hi¾u tan so túc thòi sac canh 34

3.1.2 Công thúc cna hat nhân tín hi¾u 35

3.1.3 Phân bo Wigner 36

3.1.4 Phân bo Wigner-Ville 37

3.2 Phương pháp 2: M¾t đ® pho năng lưong bien thiên theo

thòi gian 42

3.2.1 Pho cna quá trình ngau nhiên không dùng 42

3.2.2 Ưóc lưong pho Wigner-Ville 43

3.3 Phương pháp 3: Bien đoi Fourier cúa so 45

3.3.1 STFT và ánh pho 45

3.3.2 Đ® dài cúa so toi ưu cna ánh pho 45

3.3.3 STFT so sánh vói bien đoi Gabor 46

3.4 Phương pháp 4: Hàm loc cna thòi gian 48

3.4.1 Dãy loc và sonograph 48

3.4.2 Tương đương vói ánh pho 48

3.5 Phương pháp 5: Pho năng lưong túc thòi 49

3.5.1 Phân bo trang 49

3.6 Phương pháp 6: M¾t đ® năng lưong 51

3.6.1 M¾t đ® năng lưong phúc cna Rihaczek 51

3.6.2 M¾t đ® năng lưong thnc cna Levin 53

3.6.3 Các phân bo Rihaczek và Levin cúa so 53

Lài cám ơn

Lu¾n văn này đưoc thnc hi¾n và hoàn thành tai trưòng Đai hoc

Sư pham Hà N®i 2, dưói sn hưóng dan nhi¾t tình cna Tien sĩ Bùi KiênCưòng, ngưòi thay đã truyen cho tác giá nhung kinh nghi¾m quí báutrong hoc t¾p và nghiên cúu khoa hoc Thay luôn day báo và đ®ngviên đe tác giá vươn lên trong hoc t¾p và vưot qua nhung khó khăntrong chuyên môn Tác giá xin bày tó lòng kính trong và lòng biet

ơn chân thành nhat đoi vói thay

Tác giá xin chân thành cám ơn Ban Giám hi¾u Trưòng Đai hoc

Sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, Khoa Toán và To Giái tíchcùng vói quý thay cô đã tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ketthúc tot đep chương trình cao hoc và hoàn thành lu¾n văn tot nghi¾p

Tác giá trân trong cám ơn Trưòng Cao đang Công nghi¾p Hóachat đã tao moi đieu ki¾n giúp đõ đe tác giá an tâm hoc t¾p và hoànthành tot lu¾n văn

Hà N®i, tháng 7 năm 2012

Tác giá

Lê Th% Phong Lan

Lài cam đoan

Tôi xin cam đoan lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôidưói sn hưóng dan trnc tiep cna Tien sĩ Bùi Kiên Cưòng Lu¾n vănkhông he trùng l¾p vói đe tài khác

Hà N®i, tháng 7 năm 2012

Tác giá

Lê Th% Phong Lan

Má đau

1 Lý do chon đe tài

Hai bieu dien co đien các tín hi¾u là bieu dien theo mien thòi

gian s (t) và bieu dien theo mien tan so S (f ) Trong cá hai bieu dien này, các bien t và f đang đưoc coi là loai trù nhau: đe có đưoc

bieu dien này thì bieu dien kia phái là bien lay tích phân Do đó moibieu dien co đien tín hi¾u là không đ%a phương hóa đưoc đoi vói bienkia, túc là bieu dien tan so là trung bình hau khap nơi cna bieu dienthòi gian và bieu dien thòi gian là trung bình hau khap nơi cna bieudien tan so (phép bien đoi Fourier và bien đoi Fourier ngưoc) Đieunày đòi hói ngành phân tích tín hi¾u phái cái tien ky thu¾t xú lý tínhi¾u sao cho bieu dien đong thòi bien thòi gian và bien tan so, túc làvùa phái xú lý đ%a phương hóa đong thòi thông tin ve tín hi¾u cátheo thòi gian và tan so Sn phát trien cna lý thuyet hàm và giái tíchhàm là m®t công cu th¾t tot cho vi¾c nghiên cúu và trien khai van đenêu trên Gabor, E.P Wigner là nhung nhà toán hoc tiên phong trongvi¾c tìm ra các giái pháp bieu dien thòi gian – tan so m®t cách đongthòi và đ%a phương hóa đưoc Đen nay, giái tích thòi gian – tan so đãtró thành m®t ngành toán hoc đ®c l¾p, là m®t nhánh cna giái tíchđieu hòa, đã đưoc phát trien manh me, có ánh hưóng đen nhieu lĩnhvnc toán hoc khác Đoi vói giái tích thòi gian – tan so, thông thưòngcan có m®t so giá thiet đe phù hop vói các úng dung thnc tien Chính

vì the, đã có nhieu dang bieu dien thòi gian – tan so đưoc thiet

l¾p: bieu dien Wigner, bieu dien Gabor, bieu dien Rihaczek, Moidang bieu dien này đeu xuat phát tù m®t yêu cau cu the nào đótrong úng dung Vói mong muon hieu biet sâu hơn ve lý do hìnhthành các phân bo thòi gian-tan so kieu như mô tá trên và đưoc snđong ý hưóng dan cna tien sĩ Bùi Kiên Cưòng tôi lna chon đe tài

“M®t so phương pháp hình thành phân bo thòi gian-tan so” đe thnchi¾n lu¾n văn

2 Mnc đích nghiên cNu

Tìm hieu giái tích thòi gian-tan so

so

Tìm hieu m®t so phương pháp hình thành phân bo thòi gian-tan

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

Trình bày ve giái tích thòi gian-tan so

Trình bày ve m®t so phương pháp hình thành phân bo thòi tan so

gian-4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Đoi tưong nghiên cúu: M®t so phương pháp hình thành phân bothòi gian-tan so

Pham vi nghiên cúu: Các tài li¾u liên quan đen phương pháp hình thành phân bo thòi gian-tan so

5 Phương pháp nghiên cNu

Sú dung các kien thúc và phương pháp cna giái tích hàm đe tiepc¾n van đe

6 NhÑng đóng góp cúa lu¾n văn

Lu¾n văn là m®t công trình nghiên cúu tong quan ve các

phương pháp xây dnng giái tích thòi gian - tan so

1.1.1 Không gian các hàm cơ bán

Đ%nh nghĩa 1.1 Không gian D (Ω) là không gian gom các hàm ϕ ∈

0 (Ω) vói khái ni¾m h®i tu sau: dãy {ϕ j }

đưoc goi là h®i tu đen hàm ϕ0 ∈ C ∞ (Ω) neu

(i) Có m®t t¾p compact K ⊂ Ω mà supp ϕ j ⊂ K,j = 0, 1, 2,

(ii) lim sup |D α ϕ j (x) − D α ϕ (x)| = 0, ∀α ∈ Z n

1.1.2 Không gian các hàm suy r®ng

Đ%nh nghĩa 1.2 Moi phiem hàm tuyen tính liên tuc f trên D (Ω) đưoc

goi là m®t hàm suy r®ng trên Ω T¾p tat cá các hàm suy r®ng trên Ω

đưoc kí hi¾u là D r (Ω) Hàm suy r®ng f ∈ D r (Ω) tác đ®ng lên moi ϕ

cùng vói khái ni¾m h®i tu như sau: Dãy {ϕ k } ∞ ⊂ S(R n) đưoc goi là

h®i tu tói ϕ ∈ S(R n ) trong S(R n) neu

lim sup .x α D β ϕ k (x) − x α D β ϕ(x) = 0, α, β ∈ Z n k→∞ x∈R n

Không gian các hàm suy r®ng tăng ch¾m Sr (R n) là không gian

tat cá các phiem hàm tuyen tính liên tuc trên S(R n)

Đ%nh nghĩa 1.6 Cho f k , f ∈ S r(Rn ), k = 1, 2, Dãy

là h®i tu trong S r(Rn ) tói hàm f ∈ S r(Rn), neu

1. Có m®t so tn nhiên m và so dương C sao cho

1.2 Bien đoi Fourier

1.2.1 Bien đoi Fourier và bien đoi fourier ngưac

Đ%nh nghĩa 1.7 Neu f ∈ L1 (Rn ) thì phép bien đoi Fourier cnaf , kí

Đ%nh nghĩa 1.8 Vói x, ω, y, t ∈ R n và f ∈ S(R n) ta đ%nh nghĩa cáctoán tú như sau:

1 Phép t%nh tien theo x cna f , kí hi¾u T x f là sn d%ch chuyen

thòi gian đưoc xác đ%nh bói T x f (x) = f (t − x).

2 Sn đieu bien theo ω cna f , kí hi¾u M ω f đưoc xác đ%nh bói

Đ%nh nghĩa 1.9 Cho f ∈ L1 (Rn ) Bien đoi Fourier ngưoc cna hàm f ,

ký hi¾u là F −1 f đưoc đ%nh nghĩa bói

1.2.2 Bien đoi Fourier và đao hàm

riêng, và χ α f (x) = x α f (x) là toán tú nhân.

Dùng bien đoi Fourier chúng ta thu đưoc:

đưoc goi là hàm Gauss không chuan hoá vói đ® r®ng a > 0 trên R n

Bo đe 1.2 (Bien đoi Fourier cúa hàm Gauss) Vói moi a > 0

1.2.4 Bien đoi Fourier cúa các hàm suy r®ng

Bo đe 1.3 M®t so tính chat cúa phép bien đoi Fourier

(i) F ϕ(ξ − h) = F .e jhx ϕ(x) (ξ), ξ, h ∈ R n , ϕ ∈ S(R n)

(ii) F (ϕ(x − h))(ξ) = e −jhξ F ϕ(ξ), ξ, h ∈ R n , ϕ ∈ S(R n)

(iii) F (ϕ(tx))(ξ) = |t| −n F ϕ( ξ ), t ƒ= 0,ξ ∈ R n , ϕ ∈ S(R n)

(iv) Neu A ∈ GL(R n ) thì F (ϕ(Ax))(ξ) = 1 F ϕ((A −1)t ξ), trong

đó, GL(Rn ) là không gian tat cá các ma tr¾n khá ngh%ch cap n.

Đ%nh nghĩa 1.11 Cho f ∈ S r(Rn) Bien đoi Fourier cna hàm suy r®ng

f , kí hi¾u Ff là hàm suy r®ng tăng ch¾m đưoc xác đ%nh bói

Chương 2

GIÁI TÍCH THèI GIAN -TAN SO

2.1 Can phái có phân bo thài gian-tan so

2.1.1 Bieu dien mien thài gian

Bieu dien m®t tín hi¾u như m®t hàm cna cá thòi gian và tan so

là rat huu ích và đưoc minh hoa bói 3 tín hi¾u thnc tien quan trong:

1 Tín hi¾u FM hình sin: M®t kênh âm thanh tivi mono xem nhưm®t kênh FM radio mono đưoc truyen qua m®t máy phát bien đi¾utan so Neu tín hi¾u audio mono là m®t giai đi¾u tinh khiet cna tan so(tan so bien đi¾u) thì tan so cna máy phát có dang

f i (t) = f c + f d cos [2πf m t + φ] (2.1)

trong đó t là thòi gian, f i (t) là bien đi¾u tan so, f ε là tan so truyen tái

chính (ho¾c “trung tâm”), f d là đ® l¾ch tan so t®t đính và tính đen φ là

pha cna tín hi¾u bien đi¾u Biên đ® cna máy phát là hang so

2 Tín hi¾u FM tuyen tính: Xét m®t tín hi¾u hình sin trong

khoáng thòi gian toàn phan T , vói biên đ® hang so mà tan so tăng

tù f0 tói f0 +B tai m®t tí so hang so α = BT Neu goc cna thòi gian

đưoc chon sao cho

nhung tín hi¾u bat đau tai t = 0, thì tan so lu¾t bien đi¾u FM đưoc viet

f i (t) = f0 + αt; 0 ≤ t ≤ T. (2.2)

3 Cau tao âm nhac: M®t not nhac bao gom m®t so “thành phan”tan so khác nhau, trong so đó tan so thap nhat đưoc goi là cơ bán vàphan còn lai đưoc goi phan bo sung Chúng xuat hi¾n trong m®tkhoáng thòi gian cu the và có the bien đoi biên đ® trong khoáng này.Trong ký hi¾u âm nhac hi¾n đai, moi not nhac đưoc kí hi¾u bói m®t

“đau” V% trí thang đúng cna đau (cùng vói khóa nhac và dau khóa)

đe chí đ® cao cna not nhac đó, nghĩa là tan so cna thành phan cơ báncna not V% trí nam ngang cna “đau” cùng vói các ký hi¾u khác đechí thòi gian bat đau và quãng thòi gian not nhac đó đưoc sú dung

Moi m®t ví du trong ba ví du trên đeu có sn bien thiên ve thòigian và bien thiên ve tan so theo thòi gian Nhung tín hi¾u như thethưòng đưoc goi là tín hi¾u không dùng

Đ%nh nghĩa 2.1 Tín hi¾u bieu dien như m®t hàm cna thòi gian, đưoc

viet là s(t) Bieu dien này dan trnc tiep tói năng lưong túc thòi, đưoc

viet là |s(t)|2, chí năng lưong tín hi¾u đưoc phân bo theo thòi gian nhưthe nào, năng lưong tín hi¾u toàn phan là

sin [2πf m t + φ] + ψ), (2.4)

trong đó A là biên đ® và ψ là pha bù, phân so f d

m đưoc goi là chí so bien

đi¾u và đ® l¾ch pha toi đa đen 2πf c t Trong phương trình này chưa

nói rõ tan so bien thiên theo thòi gian như the nào

2 Tín hi¾u FM tuyen tính mà tan so thóa mãn phương trình (2.2)đưoc viet

trong đó A là biên đ® và ψ là pha bù Hàm rect là xung lưong chu nh¾t

có chieu cao đơn v% và khoáng thòi gian đơn v%, đưoc t¾p trung tronggoc cna thòi gian, túc là

Vì the nhân tú rect[ ] bang 1 trong khoáng 0 ™ t ™ T và bang 0

trong các trưòng hop còn lai Tuy nhiên lai van không chí rõ

phương trình

(2.5) lai thóa mãn lu¾t FM

3 Cau tao âm nhac đưoc bieu dien như đưòng cong áp suatkhông khí tai 1 điem cu the trong không gian Moi đưòng cong như the

là m®t áp suat bien thiên theo thòi gian và đưoc thay đoi bói m®t

micrô và máy khuech đai vào tín hi¾u đi¾n có dang s3(t) Ba ví du này

chí ra rang sn bieu dien mien xác đ%nh thòi gian dan đen thông tin m

%t mù ve tan so, vì ta giá thiet rang 2 bien t và f là loai trù lan nhau.

f

2

2

2.1.2 Bieu dien mien tan so

Tín hi¾u s(t) đưoc bieu dien trong mien xác đ%nh tan so bói bien

đoi Fourier cna nó, cho bói

Bien đoi Fourier là nói chung hàm phúc, mô đun |S(f )| cna nó goi là

pho đ® lón và pha cna nó goi là pha pho Bình phương cna mô đun goi

là pho năng lưong và chí năng lưong cna tín hi¾u đưoc phân bo trênmien xác đ%nh cna tan so, năng lưong toàn b® cna tín hi¾u là

trong đó dau (∗) bieu th% so phúc liên hop M¾c dù bieu dien S(f ) là

hàm cna tan so còn bien thòi gian đưoc lay tích phân nhưng bien đoiFourier là bieu dien đay đn cna tín hi¾u vì tín hi¾u đưoc khôi phuc lainhò sú dung bien đoi Fourier ngưoc:

Tuy nhiên, bieu dien theo mien tan so lai “che giau” thông tin ve thòi

gian, vì S(f ) không đe c¾p tói bien t

Khi nhung bieu dien quy ưóc trong mien thòi gian ho¾c tan so làkhông đay đn thì giái pháp rõ ràng là tìm ra m®t bieu dien tín hi¾u nhưhàm 2 bien ho¾c hàm suy r®ng mà mien xác đ%nh là không gian 2

chieu (t, f ) Co đ%nh bien t thì giá tr% cna hàm so bieu dien nhung

∆

t f

tan so tai thòi điem t còn co đ%nh bien f thì giá tr% cna hàm so bieu

dien nhung

thòi điem mà tan so f có m¾t Nhung bieu dien như the goi là bieu

dien thòi gian – tan so

Bieu dien thòi gian – tan so cna nhung tín hi¾u không dùng cóhi¾u quá không chí ó phát thanh, kháo sát đ%a chan, âm thanh như ó

ba ví du đã mô tá bên trên, mà còn hi¾u quá đoi vói nhieu lĩnh vnckhoa hoc công ngh¾, chang han trong rada, truyen thông, xú lí tiengnói, kháo sát y hoc,

Xú lý tín hi¾u thòi gian – tan so là xú lý m®t tín hi¾u nào đó nhòbieu dien thòi gian – tan so

Trong giái tích thòi gian – tan so, nhung tính chat sau đây thưòngđưoc yêu cau đoi vói bieu dien thòi gian – tan so:

- Bieu dien thòi gian – tan so là thnc (bói năng lưong là thnc);

- Tích phân cna bieu dien thòi gian trên toàn m¾t phang thòi gian– tan so là năng lưong toàn phan cna tín hi¾u;

- Tích phân trên m®t hình chu nh¾t cna m¾t phang thòi gian –tan so, tương úng vói dái tan huu han và khoáng thòi gian huu hanxap xí vói năng lưong tín hi¾u mà dái tan trái qua trong khoáng thòigian đó, mien là dái tan và khoáng thòi gian là đn lón

2.2 Công thNc tín hi¾u và nhÑng đ¾c trưng trong

mien xác đ%nh (t, f )

2.2.1 NhÑng mô hình tín hi¾u đưac dùng trong m¾t

phang thài gian - tan so (t, f )

Đe bieu dien tín hi¾u như FM tuyen tính, m®t vài kieu mô hìnhtín hi¾u thưòng đưoc dùng trong phân tích và xú lý tín hi¾u Vi¾cchon mô hình phu thu®c vào so và tham so tn nhiên can đe mô tá tínhi¾u Ví du, m®t đưòng hình sin đơn vói tan so hang so và biên đ®đưoc bình thưòng hóa và pha đưoc mô tá bói

s4(t) = cos2πf c t (2.10)

trong đó chí có tham so là tan so f c Neu biên đ® và pha có nghĩa trongúng dung thì hai tham so đưoc sú dung M®t sn phoi hop tuyen tínhcna nhung tín hi¾u như the có the đưoc viet dưói dang

é đó, hàm s5 chúa tói 3M tham so Vì s4(t) và s5(t) chúa nhung so

hang (ho¾c “nhung thành phan") là hang so cna biên đ®, tan so vàpha, chúng đưoc mô tá rõ ràng và đay đn nhò bien đoi Fourier Tuynhiên, m®t tín hi¾u FM hình sin ho¾c tín hi¾u nhó lai đòi hói m®tphân bo thòi gian - tan so M®t tín hi¾u audio âm nhac cũng đưoc goi

là m®t dang cna phân bo thòi gian - tan so và phân bo thòi gian - tan

so lý giái rõ ràng nhung thành phan b®i Sn khác nhau đưoc nâng lênbói nhung tín hi¾u phúc

như

M

) + ω(t). (2.12)

trong đó a k (t) là biên đ® bien thiên theo thòi gian cna thành phan thú

k, f k (t) là tan so bien thiên thòi gian cna thành phan thú k, và ω(t) là

tieng on thêm vào Nhung tín hi¾u như the khi phân tích không chí canphái phân bi¾t các thành phan bien thiên theo thòi gian tù các thànhphan khác, m¾c dù các biên đ® và tan so bien thiên, mà còn phái táchchúng khói nhieu Nhung thành phan như v¾y van đưoc áp dung neu

biên đ® cna thành phan thú k là m®t b®i so cna nhân tú tieng on m k (t),

như trong tín hi¾u

trong đó S(f ) là bien đoi Fourier cna s(t) Nói cách khác, m®t tín hi¾u

thnc là m®t bieu dien Hermite đoi xúng giua nhung tan so dương vàtan so âm Vì v¾y nhung thành phan tan so âm cna tín hi¾u thnc cóthe b% khú tù bieu dien cna m®t tín hi¾u thnc mà không mat thôngtin

Đ%nh nghĩa 2.2 M®t tín hi¾u z(t) đưoc goi là giái tích neu

Z(f ) = 0 vói f < 0, (2.15)

trong đó Z(f ) là bien đoi Fourier cna z(t).

Nói cách khác, m®t tín hi¾u giái tích chúa nhung tan so không âm, nó

có the có m®t thành phan pho tai tan so không (DC)

Đ%nh lý 2.1 Tín hi¾u

z(t) = s(t) + jy(t), (2.16)

trong đó s(t)và y(t)là thnc, là giái tích vói phan thnc có m®t thành phan pho tan so không khi và chs khi

lý và bien đoi Hilbert: vói m®t tín hi¾u thnc s(t) cho trưóc, chúng ta

có the xây dnng tín hi¾u phúc

Và biet z(t)là giái tích và biet z(t) là giái tích z(t) đưoc goi là tín hi¾u giái tích “tương úng vói” ho¾c “liên ket vói” tín hi¾u thnc s(t) Quy ưóc goi z(t)là tín hi¾u tương thích vói s(t).





Bang cách lay bien đoi Fourier ngưoc cna phương trình (2.17) và

sú dung phương trình (2.19), chúng ta đi đen đ%nh nghĩa súc tích cnabien đoi Hilbert:

Đ%nh nghĩa 2.3 Bien đoi Hilbert cna tín hi¾u s(t),ký hi¾u H {s(t)}, là

H {s(t)} =

F −1

.(−jsgn) F

t→f

{s(t)}

(2.21)

trong đó F { } ký hi¾u cna bien đoi Fourier.

Nói cách khác, bien đoi Hilbert cna s(t) đưoc tính như sau:

1 Lay bien đoi Fourier S(f ) cna s(t);

2 S(f ) vói −j neu f dương, vói j neu f âm và bang 0 neu f = 0;

3 Lay bien đoi Fourier ngh%ch đáo

Theo bưóc 2 cna phương pháp trên, bien đoi Hilbert có m®t pha

j π

tre 90 (khi −j = e − 2 ) sinh ra m®t tín hi¾u vuông góc vói tín hi¾u đauvào Các hi¾u úng tot đưoc minh hoa bói ket quá sau, mà ket quá nàyđưoc suy ra de dàng tù vi¾c sú dung Đ%nh nghĩa 2.5 và báng tínhbien đoi Fourier:

Ví dn 2.1 Neu f0 là m®t hang so dương thì

mà tín hi¾u tương thích vói tín hi¾u thnc s(t) = a(t)cosφ(t) là

z(t) = a(t)cosφ(t) + jH {a(t)cosφ(t)}

= a(t)cosφ(t) + ja(t) sin φ(t)

= a(t)e jφ(t)

(2.25)

Đieu ki¾n dưói mà phương trình (2.24) là bien the cna a(t) là đn ch¾m

đe đám báo “pho ròi nhau”, nghĩa là đe tránh phn lên nhau giua pho cna

a(t) và pho cna cosφ(t) Phương trình (2.8) chí ra rang hàm truyen cna

m®t bien đoi Hilbert là −jsgnf xung đáp trá là

t→f {−jsgnf}

Do đó, dùng ket quá này và úng dung tích chat tích ch¾pcna phương trình (2.21) ta thu đưoc m®t đ%nh nghĩa cna bien đoiHilbert trong mien xác đ%nh thòi gian

m®t tín hi¾u s(t) có bien đoi Fourier là S(f ), khoáng thòi gian cna tín hi¾u là mien nhó nhat cna thòi gian phía ngoài mà S(f ) = 0 Các đ

%nh nghĩa này, như chúng ta se thay, dan đen ket lu¾n rang m®tkhoáng thòi gian

huu han bao hàm băng thông vô han và ngưoc lai Trong thnc te, tuynhiên, bat kì m®t tín hi¾u có ích nào cũng phái có m®t khói đau vàcham dút (thòi gian huu han) và bien đoi Fourier cna nó phái trongpham vi tan so cna các thiet b% đo ho¾c xú lý (huu han băng thông).

Do đó, trong thnc te, các đ%nh nghĩa ch¾t che can phái đưoc phátbieu thnc te hơn theo m®t cách nào đó

M®t tín hi¾u thòi gian đưoc giói han trong khoáng thòi gian T tâm tai thòi gian t = 0, đưoc bieu th% bói

là kí hi¾u tích ch¾p lay theo bien tan so Do đó dái tan so

cna S T (f ) là không huu han Đe tránh ánh hưóng cna tính gián đoan thì thay the rect t bói m®t hàm cúa so trơn có cùng khoáng thòi gian

mà bien đoi Fourier van bao gom m®t tích ch¾p vói sin cf T , cho m®t

dái tan so không huu han Tương tn vói trưòng hop thòi gian đưoc giói

han, m®t tín hi¾u đưoc giói han dái tan so B tâm tai goc, có the bieu

dien trong mien tan so bói

và do đó cho m®t dái thòi gian vô han Như v¾y, vói đ%nh nghĩathông thưòng cna thòi gian và băng thông, m®t băng thông huu hanngu ý thòi gian vô han.

2.2.3 Băng thông và thài gian hÑu hi¾u

Neu không có băng thông huu han có chúa tat cá năng lưongcna tín hi¾u, van còn có nhung băng thông huu han có chúa hau hetnăng lưong Do đó, ví du, m®t băng thông có 99% năng lưong tín hi¾u

có the đưoc chap nh¾n như là m®t bi¾n pháp huu ích cna các băngthông tín hi¾u Neu phan đe cú cna năng lưong tín hi¾u đã đưoc han

che giua các tan so f min và f max , băng thông se B = f max − f min

Đ%nh nghĩa 2.4 Băng thông huu hi¾u B e cna m®t tín hi¾u s(t) đưoc

theo tan so Ngan gon, ta goi B2 là

“moment thú hai cna tín hi¾u theo tan so” Neu f là m®t bien ngau

nhiên và |S(f )|2 là hàm m¾t đ® xác suat cna nó thì E s = 1, vì the B2

có phương sai cna f neu giá tr% trung bình cna f là 0.

Đ%nh nghĩa 2.5 Khoáng thòi gian huu hi¾u T e, xác đ%nh bói

t2|s(t)|2 dt (2.36)

là moment thú hai cna |s(t)|2 theo thòi gian, vói goc (t = 0) Ngan

gon,

ta goi T

2 như “moment thú hai cna tín hi¾u theo thòi gian”

Chúng ta xác đ%nh “hàm phat thòi gian” cna s(t) như m®t tín

trong đó t2 > t1, vì the khoáng thòi gian cna ∧ s (t) là t2 − t1

Tích BT là dái tan so và khoáng thòi gian.

Ví dn 2.2 Vói tín hi¾u Gaussian

B e T e = (2.42)

4π

Nó chí ra rang tín hi¾u Gaussian là tín hi¾u duy nhat mà đang thúc

này có đưoc, vói moi tín hi¾u khác thì B e T e > 1

4

π

Đ%nh nghĩa 2.6 M®t tín hi¾u s(t) là ti¾m c¾n khi và chí khi nó có

tính chat sau:

(a) Khoáng thòi gian T đưoc xác đ%nh bói khoáng thòi gian huu

hi¾u là huu han;

(b) Dái tan so B đưoc xác đ%nh bói dái tan so huu han là huu

2.2.4 Thành phan đơn và Tín hi¾u đa thành phan

M®t tín hi¾u thành phan đơn là m®t tín hi¾u giái tích tương thích có dang

2.3 Tan so tNc thài và thài gian tre

Xét tín hi¾u bien đi¾u theo biên đ®

M¾c dù ve trái cna phương trình này (tan so) đưoc giá thiet là hang

so, ve phái bien thiên neu φ(t) là m®t hàm không tuyen tính Ket quá

đưoc mó r®ng vói tan so bien thiên

Xét tín hi¾u mà tín hi¾u giái tích tương úng là

f

f

trong đó a(t) và φ(t) là thnc và a(t) là dương, khi đó a(t) đưoc goi là biên đ® túc thòi và φ(t) đưoc goi là pha túc thòi φ(t) đưoc ưóc lưong

tai t = t1 và t = t2 trong đó t2 > t1 Bang đ%nh lý giá tr% trung bình, neu

φ(t) là khá vi, ton tai m®t thòi gian túc thòi t giua t1 và t2 sao cho

thòi điem t như Đ%nh nghĩa 2.7 So sánh phương trình (2.45) và

(2.51) ta thay

trong đó Re { } kí hi¾u là phan thnc Ta đ%nh nghĩa

y(t)=∆ Im {z(t)} = a(t) sin φ(t) (2.56)

trong đó Im { } kí hi¾u là phan áo Dùng phương trình (2.46), thay

rang nhung tín hi¾u đưoc mô tá bói (2.4) và (2.5) là nhung tan so túcthòi lan lưot trong (2.1) và (2.2)

Đ%nh nghĩa 2.7 chí có nghĩa vói tín hi¾u thành phan đơn, trongtín hi¾u đa thành phái tách các tan so túc thòi theo moi thành phan.Đ¾c bi¾t tan so túc thòi cna tong hai tín hi¾u không là tong cna haitan so túc thòi Tan so túc thòi là sn mô tá chi tiet cna tan so đ¾c

p

1

i