Đạo hàm liên kết của các dạng vi phân trên rn

k – dạng vi phân với giá thực có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực vật lý vàcác ngành khác nhau của toán học như: giải tích, hình học – tôpô.. Các k – dạng vi phân đã được trình bày tron

MỤC LỤC Trang

LỜI NÓI ĐẦU……… 2

CHƯƠNG I KHÔNG GIAN ¡ n ……… 4

I CÁC CẤU TRÚC CƠ BẢN TRONG¡ n ……… 4

II LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN ¡ n ……… 8

CHƯƠNG II ĐẠO HÀM LIÊN KẾT CỦA k – DẠNG VI PHÂN VỚI LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH(k = 1, k = 2) ……… 18

I ĐẠO HÀM LIÊN KẾT CỦA 1 – DẠNG VI PHÂN VỚI GIÁ TRỊ VECTƠ ……… 18

II ĐẠO HÀM LIÊN KẾT CỦA 2 – DẠNG VI PHÂN VỚI GIÁ TRỊ VECTƠ ……… 26

KẾT LUẬN ……… 33

TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… 34

LỜI NÓI ĐẦU

k – dạng vi phân với giá thực có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực vật lý vàcác ngành khác nhau của toán học như: giải tích, hình học – tôpô k – dạng vi phân

là một công cụ nghiên cứu các bài toán về biến phân thể tích của các miền compactcùng biên trên các đa tạp Riemann Vì vậy nó được các nhà toán học trong nước vànước ngoài quan tâm nghiên cứu Các k – dạng vi phân đã được trình bày trongnhiều tài liệu chuyên khảo về giải tích và hình học hiện đại

Trên cơ sở một số kết quả của các nhà toán học đã nghiên cứu được và trình

bày trong các tài liệu theo hướng trên, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS.

Nguyễn Hữu Quang, chúng tôi đã lựa chọn đề tài cho luận văn của mình là “Đạo hàm liên kết của các dạng vi phân trên ¡ ”.n

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản của đạo hàmcủa các dạng vi phân liên kết với liên thông tuyến tính Với nội dung đó luận vănđược trình bày trong hai chương:

Chương 1 Không gian ¡ Trong chương này, chúng tôi trình bày các cấun

trúc cơ bản trong ¡ như: trường vectơ tiếp xúc trên n ¡ , liên thông tuyến tính trênn n

¡ Chương 1 gồm các kiên thức cở sở chuẩn bị cho việc trình bày của chươngsau

Chương 2 Đạo hàm liên kết của k – dạng phân với liên thông tuyến tính(k = 1, k = 2) Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm của 1 –

dạng, 2 – dạng lấy giá trị trên B( )¡ n , đạo hàm liên kết của 1 – dạng, 2 – dạng vớiliên thông tuyên tính, tích ngoài của 1 – dạng, vi phân ngoài của 1 – dạng liên kếtvới liên thông tuyến tính

Luận văn được hoàn thành vào tháng 10 năm 2014 tại trường Đại học Vinh

dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp này,

tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới thầy, người đã trực tiếp giảng dạy và tậntình hướng dẫn tác giả trong quá trình nghiên cứu hoàn thành luận văn này Tác giả

xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Khoa Toán, các thầy cô trong tổ Hình học– Tôpô, trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốtthời gian học tập

Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, các họcviên trong lớp cao học 20 chuyên ngành hình học – tôpô đã cộng tác, tạo điều kiệngiúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Vinh, tháng 10 năm 2014

Tác giả

CHƯƠNG I KHÔNG GIAN ¡ n

Trong chương này, chúng tôi trình bày một vài tính chất trên không gian ¡ n

như: các cấu trúc cơ bản của ¡ , trường vectơ trên n ¡ , liên thông tuyến tính trênn n

Trong mục này, chúng tôi trình bày một vài tính chất của ¡ như: cấu trúcn

Ơclit, cấu trúc tôpô tự nhiên, trường vectơ trên ¡ n

x d

Vậy B là cơ sở của tôpô trên ¡ n

b ¡ với tôpô tự nhiên là Tn 2 – không gian

Thật vậy, ∀x y R, ∈ n và x ≠ y Ta đặt ( , )

2

1

y x d

được gọi là trường vectơ tiếp xúc của ¡ n

Nếu X :p a thì X được gọi là trường vectơ song song ứng với vectơ a

Ta chú ý rằng, với mỗi i = 1, 2,…,n, ta xét E i :p e i, ∀p ∈ ¡ và {En 1, E2, …,En}được gọi là trường mục tiêu tự nhiên trên ¡ n

Khi đó, ta có sự biểu diễn X =X1E1 + X2E2 + + X n E n; trong đó : n

j

X ¡ →¡ và

(X1,X2, ,Xn) được gọi là tọa độ của X đối với trường mục tiêu tự nhiên {E1, E2,

…,En}

X được gọi là khả vi khi và chỉ khi Xj khả vi với mọi j = 1, 2, … ,n

Bây giờ ta kí hiệu B( )¡ n = {X: X khả vi trong ¡ } và n B( )¡ n được trang bị cácphép toán sau:

1.5 Định lý.(Xem [4]) B( )¡ n cùng với hai phép toán ở trên là một môđun n chiều trên vành F( )¡ n

• ( ) ( ) ( )( ).f g X p = f g p Xuuurp

( ( ) ( ))

( ).( ( ) )( ).( )( ).( )( );

¡( ).f g X = f g X f g.( ); , ∈F(¡ n);X ∈B(¡ n)

X p = p Xuuur= uuur uuurX = X ∀ ∈p ¡ X ∈B ¡

1.X = X X; ∈B(¡ n)

Ta thấy rằng, {E1, E2, …,En} là cơ sở của B( )¡ n Do đó dimB( )¡ n =n

II LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN ¡ n

1.6 Định nghĩa Một liên thông tuyến tính trên ¡ là ánh xạn

i X (Yi + Y~i).Ei

= ∑

=

n 1

i X (Yi).Ei +∑

=

n 1

i X (Y~i).Ei

= ∇XY + ∇xY~ .(T2) ∇X(ϕY) = ∑

=

n 1

i X (ϕYi).Ei

= ( i ( )i ) i 1

i X (Yi) Ei

= ϕ.∇XY

Vậy ∇ là một liên thông tuyến tính trên ¡ n

Liên thông tuyến tính ∇ xác định trong ví dụ trên được gọi là liên thôngchính tắc trên ¡ n

n 1

i iE ; °i

1

n

i i i

=

=∑ ;trong đó ϕi, ψi ∈ F( )¡ n , i∀ = 1,n

Từ giả thiết: Xp = X~ p; ta suy ra ϕi(p) = ψi(p), i∀ = 1,n Ta có:

E p

E p

α ∈uur , ta luôn có trường vectơ X mà uuur uurX p =αp Từ mệnh

đề trên, ta có thể xây dựng được định nghĩa đạo hàm của Y theo αuurp bằng cáchsau: ∇ Υ = ∇αuuurp ( X Y) p, ở đây uuur uurX p =αp

1.9 Mệnh đề (Xem [5]) (∇XY)p phụ thuộc các giá trị của trường vectơ Y trong

một lân cận của điểm p.

i n

i

X

Y Y Y Y

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕϕ

Từ mệnh đề trên ta thấy rằng, tổng của các liên thông tuyến tính không phải

là một liên thông tuyến tính

1.11 Nhận xét Giả sử ∇ là liên thông tuyến tính trên ¡ Ta đặt:3

Vậy ∇~ là một liên thông tuyến tính trên ¡ 3

1.12 Định nghĩa Giả sử :f ¡ n →¡ là vi phôi và n ∇ là một liên thông tuyến tínhtrên ¡ n Khi đó, f được gọi là bảo toàn ∇ nếu và chỉ nếu

Chứng minh Để chứng minh mệnh đề 1.13 ta cần bổ đề sau:

Bổ đề X là trường vectơ song song khi và chỉ khi D Z X = 0; ∀Z ∈ B ( ) ¡ n

i i i

E]X[

i

X[

0E]X[

E ; ∀ j = n1,

⇒1

0

n i i

X E x

⇒ Xi là hàm hằng, ∀ i = n1 Vậy X là trường vectơ song song.,

+) Bây giờ ta trở lại với việc chứng minh mệnh đề 1.13

Điều kiện cần: Giả thiết f vi phôi và bảo toàn D, ta chứng minh f là phép Afin.

Giả sử X là trường vectơ song song Khi đó, DZX = 0, ∀ Z ∈ B ( ) ¡ n

⇒ f*(DZX) = 0 (vì f* là ánh xạ tuyến tính)

⇒ Df Zf*X 0

* = ; ∀ Z (vì f vi phôi và bảo toàn D)

⇒ f*X là trường vectơ song song

⇒ Jf là ma trận hằng

n 1 i

= ∑ [ ]

=

−ϕ

n 1

1 i

n 1 i

E = là trường mục tiêu

tự nhiên trong ¡ Khi đó, ta có sự biểu diễn:n ∇EjEi = ∑

=

n 1

CHƯƠNG II ĐẠO HÀM LIÊN KẾT CỦA k – DẠNG VI PHÂN

VỚI LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH(k = 1, k = 2)

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm về 1– dạng, 2 – dạng

vi phân lấy giá trị trên B( )¡ n , đạo hàm liên kết của 1 - dạng, 2 - dạng vi phân vớiliên thông tuyến tính trên ¡ và trình bày các tính chất cở bản của nó n

Trong chương này, ta luôn kí hiệu:

∇ là một liên thông tuyến tính trên ¡ n

Bây giờ ta kí hiệu: Ω1(¡ n,B( )¡ n ) ={θ θ là 1 – dạng vi phân trên ¡ với giá trịn

trong B( )¡ n } và trang bị cho Ω1(¡ n,B( )¡ n ) hai phép toán sau:

2.3 Định nghĩa Giả sử ∇ là một liên thông tuyến tính trên ¡ Đạo hàm hiệp biếnn

của θ ∈Ω1(¡ n,B( )¡ n ) theo hướng X∈B( )¡ n liên kết với ∇ được kí hiệu ∇Xθ

và được xác định bởi: ( ) ( ) ( ( ) ) ( ); ( )n

2.4 Các ví dụ.

a) Trong ¡ , ta lấy 2 ∇ = D; θ :B( )¡ 2 →B( )¡ 2 với:

II ĐẠO HÀM LIÊN KẾT 2 – DẠNG VI PHÂN LẤY GIÁ TRỊ VECTƠ

2.11 Định nghĩa 2 – dạng vi phân trên B( )¡ n lấy giá trị trên B( )¡ n đó là ánhxạ

( ) ( ) ( )

ϖ B ¡ ×B ¡ →B ¡ ( X Y, ) a ϖ( X Y, ), thỏa mãn các điều kiện:

Bây giờ ta kí hiệu: Ω2( ¡ n, B ( ) ¡ n ) = { ϖ ϖ là 2 - dạng vi phân trên ¡ n, lấy giátrị trên B ( ) ¡ n } và trang bị cho Ω2( ¡ n, B ( ) ¡ n ) hai phép toán sau:

2.12 Định nghĩa Giả sử ∇ là một liên thông tuyến tính trên¡ Đạo hàm hiệpn

biến của ϖ ∈Ω2(¡ n,B( )¡ n ) theo hướng X∈B( )¡ n liên kết với ∇ được kí hiệu

ϖ a f*ϖ được gọi là ánh xạ đối tiếp xúc của f

2.15 Định lý Giả sử ∇ là liên thông tuyến tính trên ¡ và : n f ¡ n →¡ là một vi n

∇ o = o∇ Chứng minh

vi phân ngoài của các 1 – dạng liên kết với ∇.

Nhận xét d∇θ là 2 – dạng vi phân lấy giá trị trên B( )¡ n

2.20 Ví dụ Trong ¡ , 2 ∇ =D, θ:B( )¡ 2 →B( )¡ 2

X X X( 1, 2) a θ( ) (X = X X1, 1+X2), là 1 – dạng viphân lấy giá trị trên B( )¡ 2 , X x y Y( ) (, , 1,xy Khi đó, ta có:)

1 Trình bày hệ thống các khái niệm, chứng minh chi tiết một số tính chất cơ

bản trên không gian ¡ n

2 Trình bày cách xây dựng k – dạng vi phân (k = 1, k = 2) với giá trị vectơ,

đạo hàm liên kết của 1 – dạng, 2 – dạng với liên thông tuyến tính ∇, vi phânngoài liên kết với liên thông tuyến tính ∇

3 Phát biểu và chứng minh mệnh đề nói về các tính chất cơ bản của đạo hàm

hiệp biến theo hướng X liên kết với ∇ (mệnh đề 2.5, 2.6, 2.14)

4 Phát biểu và chứng minh mệnh đề nói về tính giao hoán của f và * ∇ (mệnh

TÀI LIỆU THAM KHẢO

I TIẾNG VIỆT

1 Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn (2011), Lý thuyết liên thông và hình

học Riemann, Nhà xuất bản đại học sư phạm.

2 Lê Thị Hương (2010), Đạo hàm của k – dạng vi phân liên kết với liên thông

tuyến tính và ứng dụng, Luận văn thạc sỹ Toán học, Đại học Vinh.

3 John L.Kelley (1973), Tôpô đại cương, NXB đại học và trung học chuyên

nghiệp Hà Nội

4 Nguyễn Hữu Quang (2007), Bài giảng Đa tạp khả vi, Đại học vinh.

5 Nguyễn Hữu Quang (2007), Bài giảng Hình học Riemann, Đại học vinh.

6 Đoàn Quỳnh (2000), Hình học vi phân, Nhà xuất bản giáo dục

II TIẾNG ANH

7 Jost (2000), Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Fourth Edition

With 14 Figures, Springer

8 Sigmundur.G (2010), An Introduction to Riemannian Geometry, Lecture

Notes in Mathematics, Lund University