Tìm hiểu về phép toán đối đạo hàm liên quan đến bất đẳng thức phân afin chứa tham số và ứng dụng của nó

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Đề tài: TÌM HIỂU VỀ PHÉP TOÁN ĐỐI ĐẠO HÀM LIÊN QUAN ĐẾN BẤT ĐẲNG THỨC BIÊN PHÂN AFIN CHỨA THAM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ Giáo viên hướng dẫn : Nguyễn Thị Toàn

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Đề tài:

TÌM HIỂU VỀ PHÉP TOÁN ĐỐI

ĐẠO HÀM LIÊN QUAN ĐẾN BẤT ĐẲNG THỨC BIÊN PHÂN AFIN CHỨA THAM SỐ

VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ

Giáo viên hướng dẫn : Nguyễn Thị Toàn Sinh viên thực hiện : Thái Thị Kim Liên

VINH – 2011

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương I BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG R 3 n 1.1 Điểm bất động 3

1.2 Bất đẳng thức biến phân 3

Chương II CÁC PHÉP TÍNH CƠ BẢN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỐI ĐẠO HÀM CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ 5

2.1 Các khái niệm và tính chất cơ sở 5

2.2 Các phép tính cơ bản liên quan đến đối đạo hàm của ánh xạ đa trị………… 6

Chương III TÍNH CHẤT AUBIN CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM 20

3.1 Các khái niệm và tính chất cơ sở 20

3.2 Tính chất Aubin của ánh xạ nghiệm 22

KẾT LUẬN 34

TÀI LIỆU THAM KHẢO 35

MỞ ĐẦU

Bất đẳng thức biến phân được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác

nhau như kinh tế, kỹ thuật, vật lý toán… Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bất đẳng thức biến phân là việc xây dựng phương pháp giải Có rất nhiều phương pháp giải bất đẳng thức biến phân đã được nghiên cứu như: phương pháp dựa trên kỹ thuật hàm chắn, phương pháp dựa trên cách tiếp cận điểm bất động, phương pháp dựa trên tính ổn định nghiệm của bài toán Gần đây, bài toán về tính ổn định nghiệm của bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số là một đề tài được nhiều người quan tâm nghiên cứu

Năm 1979 S M Robinson (xem [7]) đã xét đến tính chất liên tục Lipschitz của ánh xạ nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số Trong khoảng những năm 1993-1996 B S Mordukhovich (xem [5], [6]) công bố một loạt bài báo quan trọng ở đó ông đưa ra nhiều ý tưởng và kỹ thuật mới, phát triển một phiên bản vô hạn chiều sâu sắc và đẹp đẽ cho lý thuyết vi phân của ông, đồng thời chỉ ra rằng một số tính chất cơ bản của ánh xạ đa trị (như tính giả-Lipschitz theo nghĩa Aubin, tính chính quy mêtric, tính mở địa phương) có thể đặc trưng bằng cách sử dụng công cụ đối đạo hàm qua giới hạn

Dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Nguyễn Thị Toàn chúng tôi chọn đề tài:

“Tìm hiểu về phép toán đối đạo hàm liên quan đến bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số và ứng dụng của nó”, dựa trên bài báo của GS TSKH

Nguyễn Đông Yên (xem [9], [10]) Mục đích của luận văn là tập trung nghiên cứu tính chất Aubin và tính chính quy mêtric địa phương của các ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số

Với mục đích trên luận văn được chia làm ba chương:

Chương I Bất đẳng thức biến phân trong R n

Chương II Các phép tính cơ bản liên quan đến đối đạo hàm của ánh xạ đa trị Chương III Tính chất Aubin của ánh xạ nghiệm

Phần lớn các kết quả trình bày trong luận văn đã thu được bởi một số tác giả trong các tài liệu [1], [2], [3], [8], [9], [10] và đã được trích dẫn trong luận văn Một số kết quả khác đã được tác giả chứng minh chi tiết dưới dạng nhận xét, bổ đề hoặc mệnh đề Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng vì năng lực và thời gian có hạn nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót cả về nội dung lẫn hình thức Vì vậy, tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo quý báu của các Thầy giáo, Cô giáo

và những góp ý của bạn đọc

Nhân dịp này, cho phép tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với Cô giáo Nguyễn Thị Toàn người đã hướng dẫn nhiệt tình tác giả trong quá trình nghiên cứu Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo trong tổ Giải tích và trong khoa Toán đã tận tình giảng dạy, động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả học tập và hoàn thành khóa luận này

Vinh, tháng 5 năm 2011

Tác giả

Chương I BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG R n

1.1 ĐIỂM BẤT ĐỘNG

1.1.1 Định nghĩa Cho A là một tập hợp và ánh xạ F A: A Một điểm x A

được gọi là điểm bất động của F nếu F x x

Hay nói cách khác, các điểm bất động của F là nghiệm của phương trình

Khi cho  1, ánh xạ F được gọi là không giãn

1.1.3 Định lý[`1] Cho S là một không gian mêtric đầy đủ và F S: S là một ánh xạ corút Khi đó tồn tại duy nhất một điểm bất động của F

1.1.4 Định lý (brower)[1] Cho F là một ánh xạ liên tục từ một hình cầu đóng

1.2.2 Định lý[1] Cho K R n là tập compact, lồi và ánh xạ F K:  R n  là

liên tục Khi đó, có một điểm xK sao cho:

F x y x ,   0,  y K. (2)

1.2.3 Hệ quả[1] Cho x là một nghiệm của bất đẳng thức biến phân (2) và giả

sử rằng x int K , phần trong của K Khi đó, F x 0

1.2.4 Bài toán Cho K là một tập đóng, lồi trong R và ánh xạ n F K:  R n 

là liên tục Tìm x K sao cho

F x y x ,   0,  y K (3) Định lý sau đây, đưa ra điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm của Bài toán 1.2.4

1.2.5 Định lý[1] Cho KR n là tập đóng, lồi và ánh xạ F K:  R n  là liên

tục Điều kiện cần và đủ để Bài toán 1.2.4 có nghiệm là tồn tại R0 sao cho có một nghiệm x RK R của điều kiện (3) thỏa mãn : x R R

Trong đó K R KB 0,R với B , 0 R là hình cầu đóng tâm 0R n , bán kính R

1.2.6 Hệ quả[1] Cho F K:  R n  thỏa mãn

với x0K bất kỳ Khi đó, tồn tại một nghiệm của Bài toán 1.2.4

1.2.7 Định nghĩa Điều kiện (4) của Hệ quả 1.2.6 được gọi là điều kiện cưỡng

bức

1.2.8 Định nghĩa Ánh xạ F K:  R n  được gọi là đơn điệu nếu

F x F x  ,x x   0, x x, K. (5) Ánh xạ F được gọi là đơn điệu ngặt nếu dấu " " của (5) xảy ra khi và chỉ khi xx

Chương II CÁC PHÉP TÍNH CƠ BẢN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỐI ĐẠO HÀM CỦA

ÁNH XẠ ĐA TRỊ

2.1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ SỞ

2.1.1 Định nghĩa Cho X, Y là hai tập hợp bất kỳ, F: X Y là ánh xạ từ X

vào tập hợp gồm toàn bộ các tập con của Y ( được ký hiệu là 2Y

) Ta nói F là ánh

xạ đa trị từ X vào Y Như vậy, với mỗi x  X, F(x) là một tập hợp con của Y

Ta sử dụng ký hiệu F: X Y để chỉ F là ánh xạ đa trị từ X vào Y

2.1.2 Định nghĩa Cho X và Y là các không gian định chuẩn Đồ thị gph , F

miền hữu hiệu dom F và miền ảnh rge F của ánh xạ đa trị F: X Y tương ứng

được xác định bằng các công thức

gphF x y,  X Y y F x:    ,

domF  x X F x:  0 ,

và rgeF y Y: x Xsaochoy F x   

Ánh xạ đa trị F được gọi là có đồ thị đóng địa phương trong lân cận điểm

x y0, 0 gphF nếu tồn tại một hình cầu đóng B tâm x y0, 0 trong X  Y, có

bán kính dương mà B gphF là tập đóng trong X  Y

2.1.3 Định nghĩa Tập M  Rk được gọi là tập lồi đa diện nếu M có thể biểu

diễn dưới dạng giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng của Rk

2.1.4 Định nghĩa Cho  là một tập con của Rk Khi đó các ký hiệu , int

và cone tương ứng biểu thị bao đóng của , phần trong của , hình nón sinh

bởi , nghĩa là cone t z z:  ,t 0

2.1.5 Định nghĩa Cho X, Y là các không gian Euclide, : X Y là hàm đa

trị Khi đó, giới hạn trên theo dãy theo nghĩa Painlevé-Kuratowski của (x) khi

xx được ký hiệu sup  

2.1.6 Định nghĩa Cho X là không gian Euclide,   X Tập N x; là tập

các véctơ  - pháp tuyến Fréchet của  tại x được cho bởi công thức:

Nếu  = 0 thì tập (1.1) là một hình nón lồi đóng và được gọi là nón pháp tuyến

Fréchet của  tại x và được ký hiệu bởi N x  ;

2.1.7 Định nghĩa Cho X là không gian Euclide,   X Hình nón

được gọi là nón pháp tuyến theo nghĩa Mordukhovich của  tại x

2.1.8 Định nghĩa Cho X và Y là các không gian Euclide Khi đó ánh xạ

D x y : Y X được xác định bởi công thức

D x y y  xX x y N x y gph (1.3)

được gọi là đối đạo hàm chuẩn tắc (hay đối đạo hàm qua giới hạn, đối đạo hàm

Mordukhovich) của  tại x y , 

2.2 CÁC PHÉP TÍNH CƠ BẢN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỐI ĐẠO HÀM CỦA ÁNH

XẠ ĐA TRỊ

2.2.1 Bài toán Xét bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số

0M x q N x ;A b,   (1.4)

được ký hiệu AVI(M, q, A, b), với (q, b)  Rn  Rm mô tả nhiễu tuyến tính; M 

lồi của (A, b) tại x   A b ,  và v u,  biểu thị tích vô hướng của v và u

Quy ước N x ; A b,   khi x A b, Tập nghiệm của (1.4) được ký hiệu là

S(q, b) Như vậy, x S(q, b) nghĩa là x A b,  và

M xq u,   x 0,  u A b, 

(1.5) Trong chương này ta đặt C A b, , X là không gian Euclide

2.2.2 Nhận xét Cho A = - E, với E là ma trận đơn vị trong R n  n và b = 0 

n

R Khi đó x thỏa mãn (1.4) nếu và chỉ nếu

M x  q 0, x0, M x q x,   0

Chứng minh Cần Giả sử x thỏa mãn (1.4) Ta có (A, b) = { x  Rn : A x 

b} Mà theo giả thiết A = - E, b = 0, do đó (-E, 0) = { x  Rn : -E x  0} = { x 

Rn : x  0} Ta chọn u = 2 x thay vào (1.5) ta được  M x q x,  0, mà x 

0 nên M x q 0 Chọn u = 1

2 x thay vào (1.5) ta được M xq x,  0 Do

đó  M x  q x ,   0

Đủ Giả sử M x  q 0, x0,M x  q x,  = 0 Ta dễ dàng chứng

minh được x thỏa mãn (1.4)

2.2.3 Chú ý[9] Nếu  X là tập lồi và X là không gian Euclide thì

N x ;  N x ;  vX:v u,   x 0, u 

2.2.4 Định nghĩa Cho J = {1, 2, , m} Với mỗi x C , tập chỉ số hoạt ứng

với điểm x được cho bởi

I x  i J A x b: i  i, (1.6)

i

A biểu thị hàng thứ i của A, b là thành phần thứ i của b Tập I i  J, I = J \ I,

2.2.5 Chú ý Nón pháp tuyến N x C ;  của C tại x C là nón đối ngẫu của nón

tiếp tuyến T x C ; , nghĩa là

N x C ; T x C ;  xX:x v,    0, v T x C ;  , (1.7)

trong đó C  X, với X là không gian Euclide, X là không gian đối ngẫu của X

2.2.6 Định lý[3] (bổ đề Farkas trong không gian véctơ tùy ý) Cho W là một

không gian véctơ chiều tùy ý Giả sử rằng sự kéo theo sau đúng với bất kỳ u  W

Do xF I nên A x i  b i,  i I, do đó sẽ tồn tại một lân cận V của x sao cho

Vậy mệnh đề được chứng minh

2.2.8 Định nghĩa Tập Q  Rn được gọi là mặt đóng của C nếu tồn tại I  J

sao cho

I  n: I I, 

QF  x R A xb A x b

2.2.9 Chú ý Định nghĩa 2.2.8 sẽ tương đương với phát biểu sau: Q  Rn là

một mặt đóng của C nếu tồn tại x C và

vN x C ;  pos A : Ti iI x  

sao cho Q x C:v x,   x 0 Nếu C là nón (trong trường hợp b = 0) thì

Q là mặt đóng của C khi và chỉ khi tồn tại vC mà Q x C:v x,  0  Tiếp theo chúng ta sẽ nêu ra các bổ đề mà đưa đến đối đạo hàm chuẩn tắc của hàm đa trị F x3 N x ;A b,   tại điểm x v,  3, với  3 gphF3

2.2.11 Bổ đề Nếu cặp x v,  thoả mãn (1.12) và (1.13) thì x v,  

 , ; 3

N x v 

Chứng minh Giả sử x v,  thỏa mãn (1.12) và (1.13), ta chứng minh

Giả sử  x v,  C N x C ;  là phần tử tùy ý với x v, x v, , x C được lấy đủ

gần x sao cho N x C ;  N x C ; ; do vậy vN x C ;  Khi đó ta sẽ có đẳng thức sau

T x C ; v  N x C ; R v = N x C ; R v (1.14)

Thật vậy, lấy bất kỳ xN x C ; R v Khi đó sẽ tồn tại một dãy

 x n  N x C ; R v sao cho x nx Ta giả sử rằng x n v n t v n với

Vậy bổ đề được chứng minh

2.2.12.Định lý[9] (nón pháp tuyến theo nghĩa Mordukhovich, trường hợp b cố

định) Cho bất kỳ cặp  x v ,  3, khi đ ó

và Q là một mặt đóng của nón lồi đa diện T F I;Cv

Chứng minh Giả sử F I là một giả mặt của C có xF I Khi đó I I x 

Thật vậy, nếu xF I và iI I x\   thì khi đó sẽ tồn tại một dãy xk F I  x mà

,

A x b k Suy ra A x i b i, mâu thuẫn vì iI I x\   Ngược lại, nếu I I x 

và F I   thì x F  I Thật vậy, lấy bất kỳ xF I và đặt x t  1 t x t x với

x  t xt x Từ đó suy ra được x tF I và x tx khi t0

Theo định nghĩa, x v, N x v, ; 3 nếu và chỉ nếu có dãy x v k, k x v,

và x k,v kx,v,v k N x k;C , x k,v kN  x k,v k;3,  k

Từ số giả mặt của C là hữu hạn thì phải tồn tại một tập chỉ số I   J và một dãy

con  x k j của  x k sao cho ,

T F C v

Từ F I  sẽ tồn tại dãy  x k F I hội tụ tới x Q là một mặt đóng của nón lồi đa

diện T F C I; , do đó sẽ có v K pos A : Ti iI sao cho Q T F C  I; v Chọn dãy  t k  0,1 sao cho t k0 khi k Do K là tập lồi nên ta có

Vậy định lý được chứng minh

2.2.13 Định lý[9] (đối đạo hàm chuẩn tắc, b cố định) Cho  x v, gphF3 và

Trước hết, chúng ta đưa ra vài bổ đề về nón pháp tuyến Fréchet của 2 tại

Chứng minh Giả sử rằng x b v, , 2 Với I A b,  x , ,I I được xác định như

trong bổ đề Giả sử x b v, , N x b v   , , ;2, ta cần chứng minh (1.18), (1.19)

Cho bất kỳ xx, ta chọn I I , ,

b  A x b  b v v Dễ thấy

v N x ; A b,  khi x được lấy đủ gần x Ta có b I A x I , thế bộ ba x b v, , 

với cách chọn trên vào (1.22), ta được

x A b A

b I 0 (1.23) thì x b v, , N x b v  , , ;2

Sử dụng Bổ đề 2.2.14 chúng ta đưa ra một ước lượng trên cho nón pháp tuyến Mordukhovich của 2 tại x b v, ,  2

2.2.16 Định lý[9] (Nón pháp tuyến Mordukhovich của 2) Cho bất kỳ điểm

x b v, ,  2, nếu x b v, , R nR mR n mà x b v  , , N x b v  , , ;  2, thì sẽ tồn tại một tập chỉ số

I I A b,  x  i J A x b: i  i (1.24) thỏa mãn

vposA i T :iI (1.25)

và một mặt đóng Q của nón lối đa diện  ' ; 

I

T F C v sao cho x v, QQ , (1.26)

F  x A x  b A x b IJ I

Chứng minh Giả sử x b v, , N x b v  , , ;  2 Khi đó sẽ tồn tại dãy

x b v k, k, kx b v, ,  và x b v k, k, kx b v, ,  sao cho v kN x k;A b, k  và x b v k, k, kN x b v   k, k, k;2, k (1.29)

k I T k ,

I

x A b   (1.31)

Cho k và dựa vào chứng minh của Định lý 2.2.12, từ (1.34), (1.31) và (1.32)

ta suy ra được điều cần chứng minh

Vậy định lý được chứng minh

ta giả sử rằng I k0  I I Nhưng nói chung, khi v kv không kéo theo I I0

Chương III TÍNH CHẤT AUBIN CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM

3.1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ SỞ

Chúng tôi sử dụng bài toán và các định nghĩa, định lý, ký hiệu ở chương II vào chương III nhằm xét điều kiện đủ để ánh xạ nghiệm có tính chất Aubin

3.1.1 Định nghĩa (i) Ánh xạ nghiệm S(q, b) của bài toán (1.4) được gọi là có

tính chất Aubin trong lân cận điểm q b x0, 0, 0 gph S nếu tồn tại các lân cận U1

của q0, U2 của b0, V của x0 và một hằng số l 0 sao cho

S q b   V S q b l qq  bb B , q b , , q b,  U1  U2, trong đó B R n là hình cầu đóng đơn vị trong R n

(ii) Ánh xạ nghiệm S(w, b) của bài toán 0 f x , wN x ;A b,  , với : n s n

f R R R là một hàm véctơ C1 đã cho được gọi là có tính chất Aubin trong

lân cận điểm w ,0 b x0, 0 gph S nếu tồn tại các lân cận W của w , U của 0 b , V 0

của x0 và một hằng số l0 sao cho

w , b  w, b  w w b  R n, w , b , w, b  

S    V S l   b B     W  U

3.1.2 Chú ý dist(u, ) = inf{ u   :   } ký hiệu khoảng cách từ u đến

  Rn

3.1.3 Định nghĩa (i) Ánh xạ nghiệm S(q, b) của bài toán (1.4) là chính quy

mêtric địa phương theo nghĩa Robinson trong lân cận điểm 0 x q b0, 0, 0, 0R n

thỏa mãn 0M x0 q0N x 0;A b, 0  nếu tồn tại các hằng số  0,0 và

các lân cận V của x , 0 U của 1 q , 0 U2 của b sao cho 0