Về tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương

NGUYỄN THỊ THÙY TRANGVỀ TÍNH HỮU HẠN CỦA TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2014... NGUYỄN THỊ THÙY TRANGVỀ TÍNH HỮU

NGUYỄN THỊ THÙY TRANG

VỀ TÍNH HỮU HẠN CỦA TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2014

NGUYỄN THỊ THÙY TRANG

VỀ TÍNH HỮU HẠN CỦA TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN

Nghệ An - 2014

MỤC LỤC

1.1 Vành địa phương 7

1.2 Môđun hữu hạn sinh 8

1.3 Giá của môđun 9

1.4 Iđêan nguyên tố liên kết 9

1.5 Môđun xoắn, hàm tử xoắn 11

1.6 Môđun đối đồng điều địa phương 12

1.7 Hàm tử Tor 14

1.8 Hàm tử Ext 15

2 Về tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương 18 2.1 Kết quả của Brodmann-Faghani và Khashyarmanesh-Salarian 19

2.2 Môđun FSF 23

2.3 Về chứng minh kết quả chính của Phạm Hùng Quý [10] 25

Tài liệu tham khảo 30

Như ta đã biết, môđun đối đồng điều địa phương thứ i với giá là iđêan atriệt tiêu (tức Hai(M ) = 0) với mọi số nguyên i > dimM hoặc i < gradeM(a)

(gradeM(a) là độ dài chung của các dãy chính qui cực đại trong a; khi (R,m)

là vành địa phương thìgradeM(m) = depth(M )là độ sâu của M) Năm 1992,

C Huneke [4] đã đặt ra câu hỏi: Nếu M là một môđun hữu hạn sinh, phảichăng tập các iđêan nguyên tố liên kết AssHai(M ) của môđun đối đồng điềuđịa phương Hai(M ) là một tập hợp hữu hạn với mọi i ≥ 0? Khi vành cơ sở

R là chính quy, các kết quả liên quan đến vấn đề này được đưa ra bởi C.Huneke-R Y Sharp [5], G Lyubznik [9] và A K Singh-U Walther [12] Khivành cơ sởR không là vành chính quy, A K Singh [11] và M Katzman [6] đãđưa ra phản ví dụ cho câu hỏi trên của C Huneke, cụ thể, tồn tại một vànhđịa phương Noether R và một iđêan a sao cho AssHa2(R) là tập hợp vô hạn.Tuy nhiên câu hỏi này vẫn có câu trả lời khẳng định với những điều kiện nhấtđịnh, chẳng hạn, M Brodmann-A L Faghani [3] và K Khashyarmanesh-Sh

Salarian [7] đã chứng minh được rằng: AssHat(M ) là một tập hữu hạn nếumột trong hai điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) Hai(M ) là hữu hạn sinh với mọi i < t (xem [3] và [7]);

(ii) Supp(Hai(M )) là tập hữu hạn với mọi i < t (xem [7] và [8])

Trong [10], Phạm Hùng Quý đã tổng hợp hai trường hợp nói trên như sau:Cho a là một iđêan của R, vàM là một R-môđun hữu hạn sinh Xét t là một

số nguyên không âm sao cho Hai(M ) là hữu hạn sinh hoặc Supp(Hai(M )) làmột tập hữu hạn với mọi i < t Khi đó AssHat(M ) là một tập hữu hạn.Như vậy, tập hợp AssHat(M ) là hữu hạn nếu Hat(M ) là môđun đối đồngđiều địa phương đầu tiên không hữu hạn sinh và Supp(Hat(M )) là không hữuhạn Đây là kết quả chính trong bài báo [10] của Phạm Hùng Quý Có thểnói, nó là một mở rộng của [3] và [7]

Mục đích chính của luận văn là trình bày lại các kết quả trong bài báo[10] của Phạm Hùng Quý Để dễ theo dõi, trong luận văn này, chúng tôi cũngtrình bày chứng minh kết quả nói trên của M Brodmann-A L Faghani [3]

và K Khashyarmanesh-Sh Salarian [7]

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, nội dungluận văn được chia làm 2 chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trongchương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán

có sử dụng trong luận văn nhằm giúp cho người đọc dễ theo dõi nội dungchính của luận văn Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã cónhằm phục vụ cho các chứng minh ở Chương 2 Chương 2: Về tính hữu hạncủa tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương.Phần đầu chương này, chúng tôi dành trình bày chứng minh kết quả chínhcủa M Brodmann-A L Faghani trong [3] và của K Khashyarmanesh-Sh.Salarian trong [7] Chú ý rằng K B Lorestani, P Sahandi và T Sharif [8] đãchứng minh lại kết quả của K Khashyarmanesh-Sh Salarian trong [7] mộtcách đơn giản hơn Vì thế, chúng tôi trình bày chứng minh theo [3] và [8]

Phần tiếp theo của chương, chúng tôi trình bày một cách chi tiết kết quảtrong bài báo [10] của Phạm Hùng Quý.

Luận văn được hoàn thành vào tháng 09 năm 2014 dưới sự hướng dẫn tậntình của Cô, TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp này chúng tôi xin bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô Đồng thời, tác giả cũng xin được cảm ơn cácthầy, cô trong khoa Toán, phòng Đào tạo Sau đại học của trường Đại họcVinh, trường Đại học Đồng Tháp; cảm ơn các bạn bè, đồng nghiệp và giađình đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình học tập và nghiên cứu

Nghệ An, tháng 09 năm 2014

Tác giả

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức về Đại số giaohoán như: iđêan nguyên tố liên kết, vành địa phương, môđun hữu hạn sinh,giá của môđun, môđun xoắn, hàm tử xoắn, môđun đối đồng điều địa phương,hàm tử Tor, hàm tử Ext, nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nộidung chính của luận văn ở Chương 2 Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một sốkết quả đã có dưới dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh

ở phần sau

1.1 Vành địa phương

1.1.1 Định nghĩa (i) Vành R được gọi là vành địa phương nếu trong R chỉ

có duy nhất một iđêan cực đại m Khi đó vành thương R/m là một trường vàgọi là trường thặng dư của vành R Ký hiệu vành địa phương là (R,m) hoặc

(ii) Giả sử m là một iđêan cực đại của R Nếu mọi phần tử của tập hợp

1 +m = {1 + a | a ∈ m}

đều khả nghịch trong vành R thì R là vành địa phương với iđêan cực đại duynhất là m

1.1.3 Định nghĩa Cho R và S là các vành Khi đó một đồng cấu vành

f : R → S được gọi là đồng cấu địa phương nếu f (mR) ⊆ mS, với mọi iđêancực đại mR của vành R (mS là iđêan cực đại của vành S)

1.2 Môđun hữu hạn sinh

1.2.1 Định nghĩa Cho M là một R-môđun Một hệ các phần tử {xi}i∈I

với xi ∈ M được gọi là hệ sinh của R-môđun M nếu mọi phần tử x ∈ M đều

là tổ hợp tuyến tính trên R của hệ {xi}i∈I, nghĩa là, với mọi x ∈ M đều tồntại tập con hữu hạn J ⊆ I sao cho x = P

i∈J

aixi, ai ∈ R

Chú ý rằng mọi môđun đều có hệ sinh Hệ sinh của mỗi môđun là khôngduy nhất Giả sử S là một hệ sinh của R-môđun M Khi đó ta nói S là hệsinh tối thiểu của M nếu khi ta bớt đi bất kỳ một phần tử nào của S thì hệcòn lại không còn là hệ sinh của M

1.2.2 Định nghĩa Cho M là một R-môđun Nếu M có hệ sinh gồm hữuhạn phần tử thì M được gọi là môđun hữu hạn sinh

1.2.3 Mệnh đề M là R-môđun hữu hạn sinh khi và chỉ khi M đẳng cấu vớimôđun thương của R-môđun tự do Rn (n ∈ N∗)

1.2.4 Định lí (Định lí đặc trưng của môđun Noether) Cho M là một Rmôđun Các điều kiện sau là tương đương:

-(i) M là R-môđun Noether;

(ii) Mọi tập hợp khác rỗng các môđun con của M đều có phần tử cực đạitheo quan hệ bao hàm;

(iii) Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh

Chú ý rằng, nếu R là vành Noether và M là một R-môđun hữu hạn sinhthì M là R-môđun Noether

1.3 Giá của môđun

1.3.1 Định nghĩa Iđêan p của R được gọi là iđêan nguyên tố nếu p 6= R vàvới mọi a, b ∈ R mà ab ∈ p thì a ∈ p hoặc b ∈ p Kí hiệu SpecR là tập tất cảcác iđêan nguyên tố của vành R Với mỗi iđêan I của R ta kí hiệu

V (I) = {p ∈ SpecR | p ⊇ I}

1.3.2 Định nghĩa Tập con

SuppM = {p ∈ SpecR | Mp 6= 0}

của SpecR được gọi là giá của môđun M Với mỗi x ∈ M ta kí hiệu

AnnR(x) = {a ∈ R | ax = 0},AnnR(M ) = {a ∈ R | ax = 0, ∀x ∈ M }

Ta có AnnR(x) và AnnR(M ) là những iđêan của R; AnnR(M ) được gọi làlinh hóa tử của môđun M Hơn nữa SuppM = V (AnnRM ) nếu M là môđunhữu hạn sinh

1.4 Iđêan nguyên tố liên kết

1.4.1 Định nghĩa Giả sửM là mộtR-môđun Một iđêan nguyên tố p của R

được gọi là iđêan nguyên tố liên kết củaM nếu tồn tại phần tử x ∈ M, x 6= 0

sao cho

p = (0:Rx) = AnnR(x)

Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được ký hiệu là AssR(M ), hoặc

Ass(M ) nếu không cần thiết phải nhấn mạnh vào vành R Vậy

AssR(M ) = {p ∈ SpecR | ∃x ∈ M, x 6= 0 và p = AnnR(x)}

Sau đây là một số tính chất cơ bản của tập các iđêan nguyên tố liên kết.1.4.2 Mệnh đề Cho M là một R-môđun và p là một iđêan nguyên tố củavành R Khi đó p ∈ AssR(M ) khi và chỉ khi tồn tại một môđun con N của

M sao cho N ∼= R/p

1.4.3 Mệnh đề Giả sử R là vành Noether và M là một R-môđun

(i) Ký hiệu P= {AnnR(x)/x ∈ M } Khi đó, nếu p là phần tử cực đại của

P theo quan hệ bao hàm thì p∈ AssR(M )

(ii) AssR(M ) 6= ∅ khi và chỉ khi M 6= 0

(iii) Ký hiệu tập các ước của không của M là

1.4.4 Định lí Giả sử R là vành Noether và M là một R-môđun Khi đó

AssR(M ) ⊆ SuppR(M ) và bất kỳ phần tử tối thiểu nào của SuppR(M ) theoquan hệ bao hàm đều thuộc AssR(M )

1.4.5 Định lí Nếu M là R-môđun Noether thì tập AssR(M ) là hữu hạn

1.5 Môđun xoắn, hàm tử xoắn

1.5.1 Định nghĩa Cho R-môđun M, I là iđêan của R, ta đặt:

1.5.5 Mệnh đề Hàm tử I-xoắn ΓI là hàm tử khớp trái, nghĩa là, với mỗidãy khớp ngắn các R-môđun

0 → M0 → M → M00 → 0

ta có cảm sinh sau đây cũng khớp

0 → ΓI(M0) → ΓI(M ) → ΓI(M00)

1.6 Môđun đối đồng điều địa phương

1.6.1 Định nghĩa Cho a là một iđêan của vành R Với mỗi số tự nhiên i,hàm tử dẫn xuất phải thứ i của Γa được kí hiệu là Hai và được gọi là hàm tửđối đồng điều địa phương thứ i với giá là a

Với một R-môđun M, ta kí hiệu Hai(M ) là ảnh của M qua tác động bởihàm tử Hai Khi đó Hai(M ) là một R-môđun và được gọi là môđun đối đồngđiều địa phương thứ i của môđun M với giá là iđêan a

Từ định nghĩa trên ta có thể xác định Hai(M ) như sau Trước hết ta lấylời giải nội xạ

Cần chú ý rằng Hai(M ) không phụ thuộc vào việc chọn lời giải nội xạ của M.

Dễ thấy Ha0(M ) = Γa(M ) Do đó Ha0(M ) = Γa(M ) là một môđun con của

M

Sau đây là một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương

1.6.2 Mệnh đề Nếu M là một R-môđun a-xoắn thì Hai(M ) = 0 với mọi

chính là độ sâu của M

1.6.4 Mệnh đề Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và aM 6= M Khi

đó Hai(M ) = 0 với mọi số nguyên i > dim M hoặc i < gradeM(a)

1.6.5 Mệnh đề Giả sử (R,m) là vành Noether địa phương và M là một

R-môđun hữu hạn sinh khác không chiều d Khi đó ta luôn có Hmd(M ) 6= 0

1.6.7 Mệnh đề Giả sử a là iđêan của vành R, M là một R-môđun hữu hạnsinh và t là một số nguyên dương Khi đó các phát biểu sau là tương đương:(i) Hai(M ) là R-môđun hữu hạn sinh với mọi i < t;

//M ⊗RP1 d∗1 //M ⊗RP0 d∗0 //0. (2)

Môđun đồng điều thứncủa dãy phức (2):Hn(M ⊗RPN)được gọi là môđundẫn xuất trái thứncủa hàm tử tenxơM ⊗R−và được ký hiệu là:TorRn(M, N ).Khi đó

TorRn(M, −) : µR −→ µR

N 7−→ TorRn(M, N )

được gọi là hàm tử dẫn xuất trái thứ n của hàm tử tenxơ

1.7.2 Định lí Hàm tử T ornR(A, B) không phụ thuộc vào sự lựa chọn giải xạảnh của B

1.7.3 Mệnh đề (i) TorRn(M, N ) = 0, ∀n < 0

1.7.5 Mệnh đề (i) Nếu M là môđun xạ ảnh thì T ornR(M, N ) = 0 với mọi

n ≥ 1 và với mọi môđun N

(ii) Nếu N là môđun xạ ảnh thì T ornR(M, N ) = 0 với mọi n ≥ 1 và với mọimôđun M

Môđun đồng điều thứ n của dãy phức (2): Hn(HomR(M, EN)) được gọi

là môđun dẫn xuất phải thứ n của hàm tử HomR(M, −) và được ký hiệu là:

ExtnR(M, N )

Khi đó

ExtnR(M, −) : µR −→ µR

N 7−→ ExtnR(M, N )

được gọi là hàm tử dẫn xuất phải thứ n của hàm tử HomR(M, −)

1.8.2 Mệnh đề (i) Hàm tử Ext không phụ thuộc vào sự lựa chọn vào giảinội xạ (giải xạ ảnh)

(ii) ExtnR(M, N ) = 0, ∀n < 0

(iii) Ext0R(M, N ) ∼= HomR(M, N )

1.8.3 Định lí Từ dãy khớp ngắn các môđun

0 //N0 //N //N00 //0,

ta được dãy khớp dài

0 //HomR(M, N0) //HomR(M, N ) //HomR(M, N00) //

(ii) Nếu N là môđun nội xạ thì

ExtnR(M, N ) = 0,

với mọi số nguyên dương n và với mọi môđun M

1.8.5 Mệnh đề Cho I là một iđêan của vành R và M là một R-môđun.Khi đó với mọi số tự nhiên i tồn tại duy nhất đẳng cấu tự nhiên

CHƯƠNG 2

VỀ TÍNH HỮU HẠN CỦA TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI

ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

Trong chương này vẫn giả thiết vành R là vành giao hoán Noether có đơnvị; a là một iđêan của R và M là một R-môđun Môđun đối đồng điều địaphương Hai(M ) không phải luôn hữu hạn sinh ngay cả khi M là môđun hữuhạn sinh Nếu (R,m) là vành địa phương thì lớp môđun M mà Hmi(M ) hữuhạn sinh với mọi i 6= dim M được gọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng.Chú ý rằng, một môđun không hữu hạn sinh nhưng tập các iđêan nguyên tốliên kết của nó có thể vẫn hữu hạn

Một vấn đề được nhiều người quan tâm trong Đại số giao hoán là xácđịnh xem khi nào thì tập các iđêan nguyên tố liên kết AssHai(M ) của môđunđối đồng điều địa phương Hai(M ) là một tập hợp hữu hạn? Khi vành cơ sở

R là chính quy, các kết quả liên quan đến vấn đề này được đưa ra bởi C.Huneke-R Y Sharp [5], G Lyubznik [9] và A K Singh-U Walther [12] Khivành cơ sởR không là vành chính quy, A K Singh [11] và M Katzman [6] đãđưa ra phản ví dụ cho câu hỏi trên của C Huneke, cụ thể, tồn tại một vànhđịa phương Noether R và một iđêan a sao cho AssHa2(R) là tập hợp vô hạn.Tuy nhiên câu hỏi này vẫn có câu trả lời khẳng định với những điều kiện nhấtđịnh, chẳng hạn, M Brodmann-A L Faghani [3] và K Khashyarmanesh-Sh.Salarian [7] đã chứng minh được rằng: AssHat(M ) là một tập hữu hạn nếu

một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) Hai(M ) là hữu hạn sinh với mọi i < t (xem [3] và [7]);

(ii) Supp(Hai(M )) là một tập hữu hạn với mọi i < t (xem [7] và [8])

Trong [10], Phạm Hùng Quý đã tổng hợp hai trường hợp nói trên như sau:Cho a là một iđêan của R, vàM là một R-môđun hữu hạn sinh Xét t là một

số nguyên không âm sao cho Hai(M ) là hữu hạn sinh hoặc Supp(Hai(M )) làmột tập hữu hạn với mọi i < t Khi đó AssHat(M ) là một tập hữu hạn

Như vậy, tập hợp AssHat(M ) là hữu hạn nếu Hat(M ) là môđun đối đồngđiều địa phương đầu tiên không hữu hạn sinh và Supp(Hat(M )) là không hữuhạn Đây là kết quả chính trong bài báo [10] của Phạm Hùng Quý Có thểnói, nó là một mở rộng của [3] và [7]

Mục đích chính của chương này là trình bày lại kết quả trong bài báo[10] của Phạm Hùng Quý Để dễ theo dõi, phần đầu của chương, chúng tôidành trình bày chứng minh kết quả chính của M Brodmann-A L Faghanitrong [3] và của K Khashyarmanesh-Sh Salarian trong [7] Chú ý rằng K

B Lorestani, P Sahandi và T Sharif [8] đã chứng minh lại kết quả của K.Khashyarmanesh-Sh Salarian trong [7] một cách đơn giản hơn Vì thế, chúngtôi trình bày chứng minh theo [3] và [8] Phần tiếp theo của chương, chúngtôi trình bày một cách chi tiết kết quả trong bài báo [10] của Phạm HùngQuý

2.1 Kết quả của Brodmann-Faghani và

Khashyarmanesh-Salarian

Cho R là vành Noether, a là iđêan của R và M là một R-môđun hữu hạnsinh Chot một số nguyên không âm Kết quả chính của M Brodmann-A L.Faghani trong [3] chỉ ra rằng: AssHat(M ) là một tập hợp hữu hạn nếuHai(M )

là hữu hạn sinh với mọi i < t Kết quả chính của K Khashyarmanesh-Sh.Salarian trong [7] là: AssHat(M ) là một tập hợp hữu hạn nếu một trong các

điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) Hai(M ) là hữu hạn sinh với mọi i < t;

(ii) Supp(Hai(M )) là một tập hợp hữu hạn với mọi i < t

Bài báo [3] của M Brodmann-A L Faghani ra năm 2000, nó được gửi đi vàotháng 09 năm 1998; còn bài báo [7] của K Khashyarmanesh-Sh Salarian ranăm 1999 Vì thế hai kết quả này là độc lập Chứng minh trong [3] khá đơngiản, tuy nhiên chứng minh trong [7] phức tạp hơn, phải dùng đến kỹ thuậtdãy a-lọc chính quy Đến năm 2006, P Sahandi và T Sharif [8] đã chứngminh lại kết quả (ii) của [7] đơn giản hơn rất nhiều Vì thế chúng tôi sẽ trìnhbày chứng minh hai kết quả này theo [3] và [8]

Trước hết, chúng tôi trình bày chứng minh kết quả chính của M

Brodmann-A L Faghani trong [3]

2.1.1 Mệnh đề Giả sử t là một số nguyên không âm sao cho Hai(M ) làhữu hạn sinh với mọi i < t và N là một môđun con hữu hạn sinh của Hat(M ).Khi đó tập AssR(Hat(M )/N ) là hữu hạn

Chứng minh Chúng ta chứng minh bằng qui nạp theo t Trường hợp t = 0

thì rõ ràng Ha0(M ) là hữu hạn sinh Vì thế, giả sử t > 0 và M := M/Γ¯ a(M ).

Vì Ha0( ¯M ) = 0và trong đẳng cấu tự nhiên Hak( ¯M ) ∼= Hak(M ) ∀k ∈ N, chúng

ta có thể thay thế M bởi M¯ và do đó, có thể giả thiết rằng Γa(M ) = 0 Do

đó tồn tại một phần tử M-chính qui y ∈ a Bởi sự lựa chọn của N, tồn tại

n ∈ N sao cho ynN = 0

Đặt x := yn, và áp dụng tính chất đối đồng điều vào dãy khớp ngắn

0 //M x //M //M/xM //0.

Từ đó suy ra Hal(M/xM ) là hữu hạn sinh với mọi l < t − 1 Hơn thế nữa, ta

có biểu đồ sau giao hoán với các dòng và các cột là khớp, trong đó δ là đồng