Chiều hữu hạn và tập các Iđêan nguyên tố liên kết của môđun hữu hạn sinh

Mæun húu h¤n sinh.. Chi·u Krull cõa mæun.. Mæun èi çng i·u àa ph÷ìng.. Chi·u húu h¤n cõa mët mæun èi vîi mët i¶an... Khi â tªp hñp ¦u ti¶n khæng húu h¤n sinh... Nguy¹n ThàHçng Loan... àn

HÇ V‹N THANH

CHI—U HÚU H„N V€ TŠP CC I–AN NGUY–N TÈ LI–N K˜T

CÕA MÆUN HÚU H„N SINH

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

Ngh» An - 2014

HÇ V‹N THANH

CHI—U HÚU H„N V€ TŠP CC I–AN NGUY–N TÈ LI–N K˜T

CÕA MÆUN HÚU H„N SINH

Chuy¶n ng nh: „I SÈ V€ LÞ THUY˜T SÈ

MÖC LÖC

1.1 V nh v  mæun Noether 8

1.2 Mæun húu h¤n sinh 10

1.3 Tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t 11

1.4 V nh v  mæun àa ph÷ìng hâa 12

1.5 Phê cõa v nh v  gi¡ cõa mæun 14

1.6 Chi·u Krull cõa mæun 15

1.7 D¢y ch½nh quy v  ë s¥u 16

1.8 D¢y ch½nh quy låc v  d¢y ch½nh quy suy rëng 17

1.9 Mæun èi çng i·u àa ph÷ìng 19

2 Chi·u húu h¤n v  tªp c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa mæun húu h¤n sinh 22 2.1 Chi·u húu h¤n cõa mët mæun èi vîi mët i¶an 23

2.2 D¢y I-låc ch½nh quy v  mæun èi çng i·u àa ph÷ìng 23

2.3 T½nh húu h¤n cõa tªp c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t 25

T i li»u tham kh£o 32

MÐ †U

Trong to n bë luªn v«n luæn kþ hi»u R l  mët v nh giao ho¡n Noether,

I l  mët i¶an cõa R, M l  mët R-mæun húu h¤n sinh º nghi¶n cùuc§u tróc cõa c¡c mæun Noether, ng÷íi ta th÷íng quan t¥m ¸n tªp c¡ci¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa chóng

Lþ thuy¸t èi çng i·u àa ph÷ìng ÷ñc giîi thi»u bði A Grothendieck

v o n«m 1967 Bði t½nh linh ho¤t trong sû döng còng vîi kh£ n«ng °ct£ nhi·u c§u tróc to¡n håc cõa nâ, ng y nay èi çng i·u àa ph÷ìng ¢trð th nh mët cæng cö quan trång trong nghi¶n cùu nhi·u l½ thuy¸t to¡nhåc, trong â câ ¤i sè giao ho¡n C¡c mæun èi çng i·u àa ph÷ìng

HIi(M ), nh¼n chung l  khæng húu h¤n sinh Do â, mët v§n · quan trångtrong ¤i sè giao ho¡n l  t¼m c¡c i·u ki»n º mæun èi çng i·u àaph÷ìng húu h¤n sinh

N«m 1992, C Huneke [6] ¢ °t ra c¥u häi: Ph£i ch«ng tªp hñp AssHi

I(M )c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa Hi

I(M ) luæn húu h¤n vîi måi i ≥ 0? C¥uhäi n y, sau â, ¢ câ c¥u tr£ líi phõ ành bði c¡c nh  to¡n håc A K Singh[14] v  M Katzman [8] M°c dò vªy, c¥u häi n y v¨n câ c¥u tr£ líi kh¯ng

ành vîi nhúng i·u ki»n nh§t ành, ch¯ng h¤n, AssHt

I(M ) l  mët tªp húuh¤n n¸u Hi

I(M ) l  húu h¤n sinh vîi måi i < t ho°c Supp(Hi

I(M )) l  mëttªp húu h¤n vîi måi i < t (xem [4],[10]) Têng hñp hai tr÷íng hñp n y,Ph¤m Hòng Quþ [12] ¢ chùng minh ÷ñc r¬ng tªp hñp AssHt

I(M ) l  húuh¤n n¸u Ht

I(M ) l  mæun èi çng i·u àa ph÷ìng ¦u ti¶n khæng húuh¤n sinh v  Supp(Ht

I(M )) l  khæng húu h¤n Nh÷ vªy, t½nh húu h¤n sinh

cõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìng li¶n quan ¸n tªp c¡c i¶an nguy¶n

tè li¶n k¸t cõa chóng

Nh÷ ¢ nâi ð tr¶n, n¸u t l  sè nguy¶n nhä nh§t sao cho Ht

I(M ) khænghúu h¤n sinh th¼ tªp AssHt

I(M ) l  húu h¤n Sè nguy¶n nh÷ vªy ÷ñc gåi

l  chi·u húu h¤n cõa M t÷ìng ùng vîi i¶an I v  ÷ñc kþ hi»u l  fI(M ),

nâ ÷ñc ành ngh¾a cö thº nh÷ sau

fI(M ) = inf

i ∈N|HIi(M ) khæng húu h¤n sinh

ð ¥y ta quy ÷îc gi¡ trà nhä nh§t cõa mët tªp réng l  ∞ Trong [13], Ph¤mHòng Quþ ¢ chùng minh ÷ñc r¬ng chi·u húu h¤n d¨n ¸n mët k¸t qu£quan trång v· t½nh húu h¤n cõa tªp c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t, thº hi»ntrong ành lþ sau

ành lþ Cho I l  mët i¶an cõa R v  M l  mët R-mæun húu h¤n sinh.Cho t ≤ fI(M ) l  mët sè nguy¶n d÷ìng v  x1, , xt l  mët d¢y I-låc ch½nhquy cõa M Khi â tªp hñp

¦u ti¶n khæng húu h¤n sinh

Ngo i ph¦n mð ¦u, k¸t luªn v  t i li»u tham kh£o, nëi dung cõa luªnv«n ÷ñc chia th nh hai ch÷ìng Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc chu©n bà Trongch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m cõa ¤i sè giao ho¡n,

°c bi»t l  v· èi çng i·u àa ph÷ìng nh¬m möc ½ch l m cì sð cho vi»c

tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa luªn v«n ð Ch÷ìng 2 Ngo i ra chóng tæi cántr½ch d¨n mët sè k¸t qu£ ¢ câ d÷îi d¤ng nhúng t½nh ch§t, m»nh · nh¬mphöc vö cho c¡c chùng minh ð ph¦n sau.

Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i håc Vinh d÷îi sü h÷îng d¨ntªn t¼nh, chu ¡o v  h¸t sùc nghi¶m kh­c cõa cæ gi¡o TS Nguy¹n ThàHçng Loan T¡c gi£ xin ÷ñc b y tä líi c£m ìn s¥u s­c nh§t ¸n cæ gi¡o

TS Nguy¹n Thà Hçng Loan ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n, ëng vi¶n v  t¤o i·uki»n thuªn lñi cho t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  l m · t i.Nh¥n dàp n y, t¡c gi£ tr¥n trång c£m ìn c¡c th¦y cæ gi¡o trong Bë mæn

¤i sè, c¡c th¦y cæ gi¡o Khoa To¡n ¢ trüc ti¸p gi£ng d¤y lîp cao håc ¤i

sè T¡c gi£ xin c£m ìn Pháng  o t¤o Sau ¤i håc -Tr÷íng ¤i håc Vinh,Pháng  o t¤o Sau ¤i håc - Tr÷íng ¤i håc çng Th¡p ¢ t¤o i·u ki»nthuªn lñi cho t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n

Ngh» An, th¡ng 06 n«m 2014

T¡c gi£

CH×ÌNG 1

KI˜N THÙC CHU‰N BÀ

Trong ch÷ìng n y chóng tæi tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc v· ¤i sè giaoho¡n nh÷ v nh àa ph÷ìng, v nh Noether, àa ph÷ìng hâa, tªp i¶annguy¶n tè li¶n k¸t, mæun èi çng i·u àa ph÷ìng, nh¬m möc ½ch l m

cì sð cho vi»c tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa luªn v«n ð Ch÷ìng 2 Ngo i

ra chóng tæi cán tr½ch d¨n mët sè k¸t qu£ ¢ câ d÷îi d¤ng nhúng m»nh ·nh¬m phöc vö cho c¡c chùng minh ð ph¦n sau

1.1 V nh v  mæun Noether

1.1.1 ành ngh¾a Cho M l  R-mæun Khi â

(i) Mæun M ÷ñc gåi l  mæun Noether n¸u måi d¢y t«ng c¡c mæuncon cõa M ·u døng, ngh¾a l  n¸u

tr÷íng th°ng d÷ cõa v nh R Kþ hi»u v nh àa ph÷ìng (R,m) ho°c(R,m, k) vîi (k = R/m).

(ii) V nh R ÷ñc gåi l  v nh nûa àa ph÷ìng n¸u R câ húu h¤n i¶an cüc

¤i

1.1.3 ành l½ Cho R l  mët v nh

(i) Gi£ sû m 6= R l  mët i¶an cõa v nh R Khi â R l  v nh àa ph÷ìngvîi i¶an cüc ¤i duy nh§t m khi v  ch¿ khi måi ph¦n tû x ∈ R \m ·ukh£ nghàch trong v nh R

(ii) Gi£ sû m l  mët i¶an cüc ¤i cõa R N¸u måi ph¦n tû cõa tªp hñp

1 +m = {1 + a|a ∈ m} ·u kh£ nghàch trong v nh R th¼ R l  v nh àaph÷ìng vîi i¶an cüc ¤i duy nh§t l  m

1.1.4 ành ngh¾a Cho R v  S l  c¡c v nh Khi â mët çng c§u v nh

f : R → S ÷ñc gåi l  çng c§u àa ph÷ìng n¸u f(mR) ⊆ mS, vîi måi i¶ancüc ¤i mR cõa v nh R (mS l  i¶an cüc ¤i cõa v nh S)

1.1.5 ành l½ (ành l½ °c tr÷ng cõa mæun Noether)

Cho mæun M Khi â c¡c i·u ki»n sau l  t÷ìng ÷ìng:

(i) M l  R-mæun Noether

(ii) Måi tªp hñp kh¡c réng c¡c mæun con cõa M ·u câ ph¦n tû cüc ¤itheo quan h» bao h m

(iii) Måi mæun con cõa M ·u húu h¤n sinh

1.1.6 H» qu£ Cho v nh R Khi â c¡c i·u ki»n sau l  t÷ìng ÷ìng:(i) R l  v nh Noether

(ii) Måi tªp hñp kh¡c réng c¡c i¶an cõa R ·u câ ph¦n tû cüc ¤i theoquan h» bao h m

(iii) Måi i¶an cõa R ·u húu h¤n sinh.

1.2 Mæun húu h¤n sinh

1.2.1 ành ngh¾a Cho M l  mët R-mæun, S l  mët tªp hñp con cõa

M Khi â giao cõa t§t c£ c¡c mæun con cõa M chùa S l  mët mæuncon cõa M chùa S Mæun n y ÷ñc gåi l  mæun con sinh bði tªp S; k½hi»u: <S>

Khi â S ÷ñc gåi l  h» sinh hay tªp sinh cõa < S >

1.2.2 Chó þ

(i) < S > l  mæun con b² nh§t cõa M chùa S

(ii) Méi ph¦n tû cõa < S > l  mët tê hñp tuy¸n t½nh tr¶n R cõa S, tùc

(i) N¸u M húu h¤n sinh th¼ P công húu h¤n sinh;

(ii) N¸u N v  P húu h¤n sinh th¼ M công húu h¤n sinh

Gi£ sû N l  mët mæun con cõa M Tø m»nh · tr¶n ta suy ra n¸u

M l  mæun húu h¤n sinh th¼ mæun th÷ìng M/N công húu h¤n sinh.Ng÷ñc l¤i, n¸u N v  M/N ·u húu h¤n sinh th¼ M húu h¤n sinh Chó þr¬ng mæun con cõa mæun húu h¤n sinh câ thº khæng húu h¤n sinh Do

â n¸u M húu h¤n sinh th¼ N v¨n câ thº khæng húu h¤n sinh

1.2.4 M»nh · M l  R-mæun húu h¤n sinh khi v  ch¿ khi M ¯ng c§uvîi mæun th÷ìng cõa mæun tü do Rn (vîi n ∈N n o â).

1.3 Tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t

1.3.1 ành ngh¾a (i) Gi£ sû M l  mët R-mæun Mët i¶an nguy¶n tè p

cõa R ÷ñc gåi l  i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa M n¸u tçn t¤i x ∈ M, x 6= 0sao cho

Kþ hi»u SpecR l  tªp t§t c£ c¡c i¶an nguy¶n tè cõa v nh R

1.3.2 V½ dö Gi£ sû p l  mët i¶an nguy¶n tè cõa v nh R Ta x²t v nhth÷ìng R/p nh÷ l  R-mæun Khi â p l  mët i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõamæun R/p Thªt vªy, gi£ sû ¯x l  mët ph¦n tû kh¡c khæng tuý þ cõa R/p,tùc l  ¯x = x +p vîi x ∈ R, x /∈ p Ta câ

AnnR(¯x) = {a ∈ R| a¯x = ¯0} = {a ∈ R| ax ∈ p} = {a ∈ R| a ∈ p} = p

Tø chùng minh tr¶n ta cán suy ra p l  i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t duy nh§tcõa mæun R/p Do â AssR(R/p) = {p}

Sau ¥y l  mët sè t½nh ch§t cõa i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t

1.3.3 M»nh · Gi£ sû M l  mët R-mæun v  p l  mët i¶an nguy¶n tècõa v nh R, p ∈ AssRM khi v  ch¿ khi M chùa mët mæun con N sao cho

N ∼= R/p

1.3.4 M»nh · K½ hi»u P

l  tªp hñp t§t c£ c¡c i¶an cõa R câ d¤ngAnn(x) vîi x ∈ M, x 6= 0 N¸u P l  ph¦n tû cüc ¤i trong P

theo quan h»bao h m th¼ P ∈ AssM

Tø k¸t qu£ tr¶n ta suy ra: M = 0 khi v  ch¿ khi AssRM = ∅ Do â

M 6= 0 khi v  ch¿ khi AssRM 6= ∅ K½ hi»u D l  tªp hñp t§t c£ c¡c ÷îc cõakhæng cõa M Khi â D = S

p∈AssRM

p

1.3.5 M»nh · Gi£ sû 0 → M0 → M → M00 → 0 l  mët d¢y khîp ng­nc¡c R-mæun Khi â

AssRM0 ⊆ AssRM ⊆ AssRM0 ∪ AssRM00.1.3.6 ành l½ Gi£ sû M l  R-mæun Noether khi â tªp hñp AssRM l húu h¤n

1.3.7 ành l½ Cho I l  mët i¶an cõa v nh R v  M l  mæun húu h¤nsinh Khi â c¡c tªp AssR(M/InM ) v  AssR(In−1M/InM ) khæng phö thuëc

v o n khi n õ lîn

1.4 V nh v  mæun àa ph÷ìng hâa

Cho S l  tªp nh¥n âng cõa v nh R Tr¶n t½ch ·-c¡c

K½ hi»u r/s thay cho (r, s) v 

S−1R = R × S/ ∼ = {r/s | r ∈ R, s ∈ S}

l  tªp th÷ìng cõa R × S theo quan h» t÷ìng ÷ìng ∼

Tr¶n S−1R trang bà hai ph²p to¡n cëng (+) v  nh¥n (.), khi â S−1Rtrð th nh mët v nh v  gåi l  v nh c¡c th÷ìng cõa R theo tªp nh¥n âng S.Méi i¶an cõa v nh c¡c th÷ìng S−1R ·u câ d¤ng S−1I, trong â I l i¶an cõa v nh R Ta câ S−1I = S−1R ⇔ I ∩ S 6= φ Do â S−1I l  i¶anthüc sü cõa S−1R khi v  ch¿ khi I ∩ S = φ

Cho p ∈ SpecR Khi â S = R\p l  mët tªp nh¥n âng cõa v nh R

V nh S−1R trong tr÷íng hñp n y l  v nh àa ph÷ìng, k½ hi»u l  Rp, vîii¶an cüc ¤i duy nh§t l  pRp = {a/s | a ∈ p, s ∈ R\p} n¶n ÷ñc gåi l 

v nh àa ph÷ìng hâa cõa v nh R t¤i i¶an nguy¶n tè p

Cho M l  mët R-mæun Tr¶n t½ch ·-c¡c M × S ta x²t quan h» haingæi

(m, s) ∼ (m0, s0) ⇔ ∃t ∈ S : t(s0m − sm0) = 0

D¹ th§y ∼ l  mët quan h» t÷ìng ÷ìng tr¶n M × S Khi â M × S ÷ñcchia th nh c¡c lîp t÷ìng ÷ìng Vîi méi ph¦n tû (m, s) ∈ M × S, k½ hi»um/s l  lîp t÷ìng ÷ìng chùa (m, s), tùc l 

(m/s) = {(m0, s0) ∈ M × S | (m0, s0) ∼ (m, s)}

= {(m0, s0) ∈ M × S | ∃t ∈ S : t(s0m − sm0) = 0}.K½ hi»u S−1M = M × S/ ∼ l  tªp th÷ìng cõa M × S theo quan h» t÷ìng

÷ìng ∼, tùc l :

S−1M = M × S/ ∼ = {m/s | m ∈ M, s ∈ S}

Chó þ r¬ng trong S−1M : m/s = m0/s0 ⇔ ∃t ∈ S : t(s0m − sm0) = 0

Tr¶n S−1M trang bà hai ph²p to¡n cëng (+) v  nh¥n (.) Khi â S−1M

l  mët S−1R-mæun v  gåi l  mæun c¡c th÷ìng cõa M theo tªp nh¥n âng

S, vîi ph¦n tû khæng l  0/1 = 0M/s, ∀s ∈ S

S−1M công câ c§u tróc l  mët R-mæun vîi ph²p nh¥n vîi væ h÷îngx¡c ành nh÷ sau:

rm/s = r/1.m/s = rm/s,trong â r ∈ R v  m/s ∈ S−1M

Cho p ∈ SpecR Khi â S = R\p l  mët tªp nh¥n âng cõa v nh R.Trong tr÷íng hñp n y ta vi¸t Rp thay cho S−1R v  vi¸t Mp thay cho S−1M.Mæun Mp ÷ñc gåi l  mæun àa ph÷ìng hâa cõa M t¤i i¶an nguy¶n tè

p

1.5 Phê cõa v nh v  gi¡ cõa mæun

1.5.1 ành ngh¾a (i) Kþ hi»u SpecR l  tªp t§t c£ c¡c i¶an nguy¶n tècõa v nh R

(ii) Cho I l  mët i¶an cõa v nh R K½ hi»u

V (I) = {p ∈ SpecR |p ⊇ I}

(iii) Kþ hi»u Max(R) l  tªp c¡c i¶an tèi ¤i cõa v nh R

(iv) Vîi méi tªp con T cõa SpecR, k½ hi»u min(T ) l  tªp c¡c ph¦n tûtèi thiºu cõa T theo quan h» bao h m

1.5.2 ành ngh¾a K½ hi»u Supp(M) l  tªp c¡c i¶an nguy¶n tè cõa Rsao cho Mp 6= 0 Tªp Supp(M) ÷ñc gåi l  gi¡ cõa mæun M

Chó þ r¬ng SuppM 6= ∅ khi v  ch¿ khi M 6= 0 Tªp hñp

AnnRM = {a ∈ R|aM = 0} = {a ∈ R|ax = 0, ∀x ∈ M }

l  mët i¶an cõa v nh R v  ÷ñc gåi l  linh hâa tû cõa mæun M Hìnnúa, n¸u M l  R- mæun húu h¤n sinh th¼

Supp(M ) = {p ∈ SpecR|p ⊇ AnnR(M )} = V (AnnR(M ))

1.5.3 M»nh · Gi£ sû 0 −→ M0 −→ M −→ M00 −→ 0 mët l  d¢y khîp ng­nc¡c R  mæun Khi â

Supp(M ) = Supp(M0) ∪ Supp(M00)

1.6 Chi·u Krull cõa mæun

1.6.1 ành ngh¾a (i) Mët d¢y c¡c i¶an nguy¶n tè cõa v nh R:

p0 ⊃ p1 ⊃p2 ⊃ ⊃ pn

÷ñc gåi l  mët x½ch nguy¶n tè câ ë d i n

(ii) Cho p ∈ SpecR Cªn tr¶n cõa t§t c£ c¡c ë d i cõa c¡c x½ch nguy¶n

tè vîi p0 = p ÷ñc gåi l  ë cao cõa p, k½ hi»u l  ht(p)

(iii) Cho I l  mët i¶an cõa R khi â

ht(I) = inf{ht(p)|p ∈ SpecR,p ⊇ I}

(iv) Cªn tr¶n cõa t§t c£ c¡c ë d i cõa c¡c x½ch nguy¶n tè trong R ÷ñcgåi l  chi·u Krull cõa v nh R, k½ hi»u l  dim R Nh÷ vªy

dim R = sup {ht(p) | p ∈ SpecR} (v) Cho M l  mët R-mæun Khi â dim(R/AnnR(M )) ÷ñc gåi l  chi·uKrull cõa mæun M, k½ hi»u l  dimR(M ) (ho°c dim M) N¸u M l  mæunhúu h¤n sinh, ta câ SuppM = V (AnnR(M ) Do â

dim M = dim(R/AnnR(M )) = sup

p∈ AssM dim(R/

p)

(vi) Vîi méi R- mæun K, °t

dim(SuppK) = max{dim(R/p) | p ∈ SuppK}

N¸u p ⊆ q l  c¡c i¶an nguy¶n tè v  p ∈ SuppK th¼ q ∈ SuppK V¼th¸ dim(SuppK) l  cªn tr¶n cõa c¡c ë d i cõa c¡c x½ch nguy¶n tè trongSuppK

(vii) Vîi méi tªp con T cõa SpecR v  méi sè tü nhi¶n, kþ hi»u

(T )i := {p ∈ T | dim(R/p) = i}, (T )≥i := {p ∈ T | dim(R/p) ≥ i}

1.6.2 M»nh · Gi£ sû I l  mët i¶an cõa v nh R Khi â n¸u dim(M/IM) >

s th¼ tçn t¤i i¶an tèi ¤i m cõa R sao cho dim(Mm/IMm) > s

1.7 D¢y ch½nh quy v  ë s¥u

1.7.1 ành ngh¾a Cho M l  R-mæun húu h¤n sinh

(i) Mët ph¦n tû a ÷ñc gåi l  ph¦n tû ch½nh quy cõa M hay M- ch½nh quyn¸u ax 6= 0 vîi måi x ∈ M, x 6= 0

(ii) Mët d¢y c¡c ph¦n tû x1, x2, , xn cõa R-mæun ÷ñc gåi l  d¢y ch½nhquy cõa R-mæun M hay cán ÷ñc gåi l  M-d¢y n¸u

M/(x1, x2, , xn)M 6= 0 v  xi l  M/(x1, x2, , xn)M-ch½nh quy vîimåi i = 1, , n

1.7.2 Chó þ N¸u a ∈ R l  ph¦n tû ch½nh quy cõa M khi v  ch¿ khi x /∈ p,vîi måi p ∈ AssM Do â, x1, x2, , xn l  d¢y ch½nh quy cõa M khi v  ch¿khi M/(x1, x2, , xn)M 6= 0v  xi ∈ p, vîi måip ∈ AssM/(x1, x2, , xn)Mvîi måi i = 1, , n

1.7.3 ành ngh¾a

(i) Gi£ sû x1, x2, , xn l  mët M-d¢y Khi â n ÷ñc gåi l  ë d i cõad¢y

(ii) Cho I l  mët i¶an tòy þ cõa v nh R sao cho IM 6= M v  x1, x2, , xn

l  mët M-d¢y trong I Khi â x1, x2, , xn ÷ñc gåi l  d¢y ch½nh quycüc ¤i trong I n¸u khæng tçn t¤i y ∈ I sao cho x1, x2, , xn, y l  d¢ych½nh quy cõa M Ta bi¸t r¬ng måi d¢y ch½nh quy cüc ¤i trong còngmët i¶an I ·u câ còng ë d i ë d i n y ÷ñc gåi l  ë s¥u cõa M

èi vîi i¶an I v  ÷ñc k½ hi»u l  depthIM

• °c bi»t, n¸u I = m th¼ depthm(M ) ÷ñc gåi l  ë s¥u cõa M v 

÷ñc k½ hi»u l  depthM

• N¸u x1, x2, , xn l  mët d¢y ch½nh quy cõa M th¼ nâ công l  mëtph¦n h» tham sè cõa M Do â depthM ≤ dimM

1.8 D¢y ch½nh quy låc v  d¢y ch½nh quy suy rëng

Gi£ thi¸t R l  v nh àa ph÷ìng vîi i¶an cüc ¤i duy nh§t m v  M l 

R-mæun húu h¤n sinh Kh¡i ni»m d¢y ch½nh quy låc ÷ñc ành ngh¾a n«m

1978 bði N T C÷íng, P Schenzel v  N V Trung l  mët mð rëng cõa kh¡ini»m d¢y ch½nh quy

1.8.1 ành ngh¾a

(i) Mët ph¦n tû a ∈ m ÷ñc gåi l  ph¦n tû ch½nh quy låc èi vîi M hay

M-ch½nh quy låc n¸u a /∈ p vîi måi p ∈ AssR(M )\{m}

(ii) Mët d¢y c¡c ph¦n tû x1, x2, , xn cõa R ÷ñc gåi l  mët d¢y ch½nhquy låc cõa M hay M-d¢y låc ch½nh quy n¸u xi l  ph¦n tû ch½nh quylåc cõa M/(x1, , xi−1)M vîi måi i = 1, , n

1.8.2 M»nh · C¡c ph¡t biºu sau l  óng

(i) Ph¦n tû a ∈ m l  M-ch½nh quy låc n¸u v  ch¿ n¸u 0:Ma câ ë d i húuh¤n

(ii) Ph¦n tû a ∈ m l  M-ch½nh quy låc n¸u v  ch¿ n¸u dim(0:Ma) ≤ 0(iii) Ph¦n tû M ch½nh quy låc trong m luæn tçn t¤i Hìn núa, vîi méi sè

tü nhi¶n n luæn tçn t¤i mët M d¢y ch½nh quy låc trong m câ ë d i n.(iv) Cho I l  i¶an cõa R N¸u dim(M/IM) > 0 th¼ méi d¢y M-ch½nh quylåc trong I câ thº mð rëng th nh mët d¢y ch½nh quy låc tèi ¤i, v  c¡c

M-d¢y ch½nh quy låc tèi ¤i trong I ·u câ chung ë d i

Kh¡i ni»m d¢y ch½nh quy suy rëng ÷ñc ành ngh¾a bði L.T.Nh n (2005)

l  mët mð rëng cõa kh¡i ni»m d¢y låc ch½nh quy

1.8.3 ành ngh¾a (i) Mët ph¦n tû a ∈ R ÷ñc gåi l  ph¦n tû ch½nh quysuy rëng èi vîi M n¸u a /∈ p vîi måi p ∈ AssR(M ) thäa m¢n t½nhch§t dim(R/p) > 1

(ii) Mët d¢y c¡c ph¦n tû x1, , xn cõa R ÷ñc gåi l  M-d¢y ch½nh quysuy rëng n¸u ai l  ph¦n tû ch½nh quy suy rëng cõa M/(x1, , xi−1)Mvîi måi i = 1, , n

(iii) Cho I l  i¶an cõa R N¸u dim(M/IM) > 1 th¼ méi M-d¢y ch½nh quysuy rëng trong I câ thº mð rëng th nh mët M-d¢y ch½nh quy suy rëngtèi ¤i, v  c¡c M-d¢y ch½nh quy suy rëng tèi ¤i trong I ·u câ chung

ë d i