Một số tính chất của đạo hàm lie các dạng vi phân trên r ( n=2, n=3)

ĐẠO HÀM LIE CỦA CÁC DẠNG VI PHÂN .... LỜI NÓI ĐẦU Đạo hàm Lie các dạng vi phân đã xuất hiện đầu thế kỷ 20 và đã được trình bày trong nhiều tài liệu chuyên khảo về hình học hiện đại [ 1]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN VĂN HÒA

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐẠO HÀM LIE

(n = 2, n = 3)

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN VĂN HÒA

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐẠO HÀM LIE

(n = 2, n = 3)

Chuyên ngành: Hình học - Tôpô

Mã số: 60.46.01.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS NGUYỄN HỮU QUANG

NGHỆ AN - 2016

MỤC LỤC

Trang

LỜI NÓI ĐẦU 1

Chương I CÁC DẠNG VI PHÂN TRÊN n( n = 2, n = 3) 3

1.1 Liên thông tuyến tính trên n 4

1.2 1 - dạng vi phân và 2 - dạng vi phân trong n 13

Chương II ĐẠO HÀM LIE CỦA CÁC DẠNG VI PHÂN 21

2.1 Đạo hàm Lie của k - dạng với giá trị thực 21

2.2 Đạo làm Lie của K- dạng với giá trị vectơ 27

KẾT LUẬN 31

TÀI LIỆU THAM KHẢO 32

LỜI NÓI ĐẦU

Đạo hàm Lie các dạng vi phân đã xuất hiện đầu thế kỷ 20 và đã được trình bày trong nhiều tài liệu chuyên khảo về hình học hiện đại ( [ 1] , [ 2], [ 8],…)

Đạo hàm Lie các dạng vi phân có nhiều ứng dụng trong toán học, vật lý

Luận văn được trình bày trong hai chương:

Chương I Các dạng vi phân trên n(n = 2, n = 3)

1.1 Liên thông tuyến tính trên n

1.2 1 - dạng vi phân và 2 - dạng vi phân trên n(n=2, n=3)

Chương II Đạo hàm Lie của các dạng vi phân

2.1 Đạo hàm Lie của k - dạng với giá trị thực

2.2 Đạo hàm Lie của k - dạng với giá trị vectơ

Luận văn được hoàn thành vào tháng 8 năm 2016 tại Trường Đại học Vinh dưới

sự hướng dẫn của thầy giáo PGS TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đã hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong bộ môn Hình học - Tôpô, các thầy cô giáo trong khoa Toán học, khoa đào tạo Sau đại học - Trường Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy, góp ý và tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn

Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè, gia đình đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Nghệ An, tháng 8 năm 2016

Tác giả

Chương I CÁC DẠNG VI PHÂN TRÊN n( n = 2, n = 3)

Ta ký hiệu là trường các số thực Với mỗi số nguyên không âm n, không gian của các bộ n số thực tạo thành một không gian vectơ n chiều trên ,

ký hiệu là n và thường được gọi là không gian các tọa độ thực

Như ta đã biết, một phần tử của n được viết là xx x1 , 2 , ,x n, trong đó mỗi x i là một số thực và các phép toán trên n được định nghĩa bởi:

 1 1 , 2 2 , , n n

a x a x a x , , , 1 2 a x n;a Khi đó n cùng hai phép toán trên là không gian vectơ thực với cơ sở:

e1  (1, 0, , 0),e2  (0,1, 0, , 0), ,e n  (0, 0, , 0,1)

và mỗi vectơ x trong n

được viết dưới dạng:

    giữa x và y được cho bởi:

φ = cos-1(‖x‖‖y‖x y ), trong đó cos-1

là hàm lượng giác ngược arccos

Cuối cùng, khoảng cách hai điểm trên được xác định bởi:

1.1 Liên thông tuyến tính trên n

Ta ký hiệu: 𝐵( n) = {X/ X là trường vectơ khả vi trong n}

nếu  thỏa mãn các tính chất: (𝑇1): ∇(𝑋1+𝑋2)𝑌 = ∇𝑋1𝑌 + ∇𝑋2𝑌; ∀𝑋1, 𝑋2, 𝑌𝜖𝐵( n)

𝑖=1

= 𝑋[𝜑] Y + φ 𝐷𝑋Y Vậy D là liên thông tuyến tính

b Giả sử D là một đạo hàm tự nhiên của trường vectơ trong 3, xét ánh

= 𝜑𝐷𝑋𝑌 + 𝜑(𝑋  𝑌)

= 𝜑 (𝐷𝑋𝑌 + (𝑋  𝑌)) = 𝜑∇𝑋𝑌

(𝑇3) ∇𝑋(𝑌 + 𝑍) = 𝐷𝑋(𝑌 + 𝑍) + (𝑋 (𝑌 + 𝑍))

= 𝐷𝑋𝑌 + 𝐷𝑋𝑍 + 𝑋  Y + X  Z

= (𝐷𝑋𝑌 + (𝑋  𝑌)) + (𝐷𝑋𝑍 + (𝑋𝑍))

= ∇𝑋𝑌 + ∇𝑋𝑍 (𝑇4) ∇𝑋(𝜑𝑌) = 𝐷𝑋(𝜑𝑌) + (𝑋 ∧ 𝜑𝑌)

= 𝑋[𝜑]𝑌 + 𝜑𝐷𝑋𝑌 + 𝜑(𝑋 ∧ 𝑌)

= 𝑋[𝜑]𝑌 + 𝜑(𝐷𝑋𝑌 + (𝑋 ∧ 𝑌))

= 𝑋[𝜑]𝑌 + 𝜑∇𝑋𝑌 Vậy  là một liên thông tuyến tính trên 3

= 𝐷𝑋𝑌 + 𝐷𝑋𝑍 + 𝑆(𝑋, 𝑌) + S(X, Z)

= [𝐷𝑋𝑌 + 𝑆(𝑋, 𝑌)] + [𝐷𝑋𝑍 + 𝑆(𝑋, 𝑍)]

= ∇𝑋𝑌 + ∇𝑋𝑍 (𝑇4) ∇𝑋(𝜑𝑌) = 𝐷𝑋(𝜑𝑌) + 𝑆(𝑋, 𝜑𝑌)

= 𝑋[𝜑]𝑌 + 𝜑𝐷𝑋𝑌 + 𝜑𝑆(𝑋, 𝑌)

= 𝑋[𝜑]𝑌 + 𝜑(𝐷𝑋𝑌 + 𝑆(𝑋, 𝑌))

= 𝑋[𝜑]𝑌 + 𝜑∇𝑋𝑌 Vậy  là liên thông tuyến tính trên n

𝑖=1

= ∇𝑋𝑌 + ∇𝑋𝑍 (𝑇4) ∇𝑋(𝜑𝑌) = 𝐷𝑋(𝜑𝑌) +1

= (𝜑𝐷𝑋𝑌)𝑇

= 𝜑(𝐷𝑋𝑌)𝑇

= 𝜑∇𝑋𝑌; ∀𝜑 ∈ 𝐹(𝑆) (𝑇3) ∇𝑋(𝑌 + 𝑍) = (𝐷𝑋(𝑌 + 𝑍))𝑇

= (𝐷𝑋𝑌 + 𝐷𝑋𝑍)𝑇

= (𝐷𝑋𝑌)𝑇 + (𝐷𝑋𝑍)𝑇

= ∇𝑋𝑌 + ∇𝑋𝑍

(𝑇4) ∇𝑋(𝜑𝑌) = (𝐷𝑋(𝜑𝑌))𝑇

= (𝑋[𝜑] 𝑌 + 𝜑𝐷𝑋𝑌)𝑇

= (𝑋[𝜑] 𝑌)𝑇 + 𝜑(𝐷𝑋𝑌)𝑇

= 𝑋[𝜑] 𝑌 + 𝜑(𝐷𝑋𝑌)𝑇

= 𝑋[𝜑] 𝑌 + 𝜑∇𝑋𝑌; ∀𝜑 ∈ 𝐹(𝑆) Vậy XY là một liên thông tuyến tính trên S

Bây giờ ta xét ., với  𝐹( n),  là liên thông tuyến tính trên n

(𝑇1) ∇𝑋+𝑋′𝑌 = (𝜑∇1+ Ψ∇2)𝑋+𝑋′𝑌

= 𝜑∇𝑋+𝑋′1 𝑌 + 𝜓∇𝑋+𝑋′2 𝑌

= (𝜑∇1+ 𝜓∇2)𝑋𝑌 + (𝜑∇1+ 𝜓∇2)𝑋′𝑌

= ∇𝑋𝑌 + ∇𝑋′𝑌 (𝑇2) ∇𝛼𝑋𝑌 = (𝜑∇1+ Ψ∇2)𝛼𝑋𝑌

= 𝜑∇𝛼𝑋1 𝑌 + 𝜓∇𝛼𝑋2 𝑌

= 𝛼𝜑∇𝑋1𝑌 + 𝛼𝜓∇𝑋2𝑌

= 𝛼(𝜑∇1+ 𝜓∇2)𝑋𝑌; ∀𝛼 ∈ 𝐹( n) (𝑇3) ∇𝑋(𝑌 + 𝑌′) = (𝜑∇1+ Ψ∇2)𝑋(𝑌 + 𝑌′)

Tổng của hai liên thông tuyến tính nói chung không phải là một liên thông tuyến tính, nhưng  = 1

là một liên thông tuyến tính trên n

1.2 1 - dạng vi phân và 2 - dạng vi phân trong n

Trong mục này ta ký hiệu Tp* n là không gian vectơ đối ngẫu của không gian tiếp xúcTP n, nghĩa là:

Do X là trường vectơ khả vi và  là hàm khả vi nên X[] khả vi, ta suy ra

d khả vi

Giả sử có i: n sao cho:∑𝑛𝑖=1𝜑𝑖 dx i = 0

a Trong 3, xét các trường vec tơ X (x, 1, 1); Y(1, y, z) và giả sử

1 = xydx + y2dy; 2 = dx + ydz

Vậy: 2(XY) = (dx + ydz) ((z - y)E1 +(1 - xz)E2 + (xy - 1)E3)

= (z - y)dxE1 + y(xy - 1)dzE3

Thật vậy, ta cần chứng minh  là ánh xạ song tuyến tính, phản xứng: +  là ánh xạ song tuyến tính

Thật vậy: với X, X’, Y, Y’ 𝐵( 2),  Ta có:

𝜔(𝑋 + 𝑋′, 𝑌) = |𝑋1+ 𝑋𝑌 ′1 𝑋2+ 𝑋′2

= |𝑋𝑌1 𝑋2

1 𝑌2| + |𝑋′𝑌′11 𝑋′𝑌′22| = (X, Y) + (X’, Y)

𝜔(𝜆𝑋, 𝑌) = |𝜆𝑋𝑌1 𝜆𝑋2

= 𝜆 |𝑋𝑌1 𝑋2

1 𝑌2| = 𝜆𝜔(𝑋, 𝑌)

 là tuyến tính đối với biến thứ nhất

Hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được:

 (X, Y+Y’) = (X, Y) + (X, Y’)

(X, Y) = (X, Y)

 tuyến tính đối với biến thứ hai

Vậy:  là ánh xạ song tuyến tính

+  phản xứng

1 𝑌2| Vậy:  là 2 - dạng vi phân

Chương II ĐẠO HÀM LIE CỦA CÁC DẠNG VI PHÂN

2.1 Đạo hàm Lie của k - dạng với giá trị thực

2.1.1 Định nghĩa

Giả sử f 𝐹 ( n), X 𝐵( n)

Ánh xạ Lxf: n⟶

p ↦ (X [f(p)])p được gọi là đạo hàm Lie của f theo trường vectơ X

được gọi là ánh xạ kéo lùi k - dạng vi phân 𝜔 theo hướng X, trong đó iX𝜔 được xác định bởi: (iX𝜔)(X1, X2, , Xk-1) = 𝜔(X, X1, X2, , Xk-1);

2.1.6 Mệnh đề

Giả sử , k

( n, 𝐵( n)); 𝐹( n), f𝐹( n, ); X, Y 𝐵( n) Khi đó:

ii) Với mọi  = (1, ,n)k

iii) Với mọi  = (1, ,n)𝐹( n),

ta có: d = (d1, ,dn)

Do đó: iXd = (iXd1, , iXdn)

= (d1(X), , dn(X))

= (X[1], , X[n]) = X[]

iv) Với mọi  = (1, ,n) k

( n, 𝐵( n

)); f𝐹( n

, ),

(X1, X2, , Xk) ↦ LX(X1, X2, , Xk) Xác định bởi:

LX(X1, X2, , Xk)

= [𝑋, 𝜔(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑘)] − ∑ 𝜔(𝑋1, , [𝑋, 𝑋𝑖], , 𝑋𝑘)

𝑘

𝑖=1

được gọi là đạo hàm Lie của k - dạng vi phân  với giá trị vectơ theo trường vectơ X

2.2.2 Ví dụ

Trong 2, với {E1, E2} là trường mục tiêu tự nhiên,

cho X1 = (x, 1), X2 = (1, y), X = (x, y),

= (xy3 + y(2xy - 1)).E1 + (x(3xy2 - 2y) + yx2).E2

- (y2(xy - 1).1 + x(xy - 1).0).E1 - (y2(xy-1).0 +x(xy - 1).1).E2

= (2xy2 - y2 - y).E1 + 3(x2y2 - 2xy + x).E2

iX: k

( n, 𝐵( n)) k-1

( n, 𝐵( n))  ↦iX = (iX1, , iXn)

được gọi là ánh xạ kéo dài k - dạng vi phân  với giá trị vectơ theo hướng X, trong đó iXj được xác định bởi:

KẾT LUẬN

Luận văn đã đạt được những kết quả chính sau:

- Chứng minh chi tiết một số tính chất cơ bản của liên thông tuyến tính trên n (các mệnh đề (1.1.3), (1.1.5), (1.1.6), (1.1.7))

- Chứng minh chi tiết tính chất cơ bản của 1 - dạng vi phân và 2 - dạng vi phân trên n (mệnh đề (1.2.3), (1.2.8))

- Chứng minh các tính chất đạo hàm Lie của k - dạng với giá trị thực (các mệnh đề (2.1.3), (2.1.5), (2.1.6))

- Chứng minh tính chất đạo hàm Lie của k - dạng với giá trị vectơ (các mệnh đề (2.2.4), (2.2.5), (2.2.6), (2.2.7))

- Chỉ ra các ví dụ minh họa (1.1.2), (1.2.2), (1.2.5), (1.2.9), (2.1.2), (2.2.2)

- Trong thời gian tới, chúng tôi sẽ tiếp tục tìm hiểu đạo hàm Lie của các liên thông trên n và các ứng dụng của nó trong việc xác định độ cong và độ xoắn của n

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[5] Lê Thị Thơm (2009), Độ cong và độ xoắn trên đa tạp Riemann, Luận văn

thạc sỹ Toán học, Trường Đại học Vinh

[6] Xpivak.M (1985), Giải tích toán học trên đa tạp, NXB Đại học và Trung

học chuyên nghiệp

Tiếng Anh:

[7] Sigmundur G ( 2010), An Introduction to Riemannian Geometry, Lecture Notes in Mathematics, Lund University

[8] Sultanov A Ya (2010), Derivations of linear algebras and linear connections,

Journal of Mathematical Sciences, Vol.169, No.3,2010