iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của mô đun đối đồng điều địa phương có đối chiều bé

HỒ CHÍ MINH --- Lê Đình Nghĩa IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA CÁC THÀNH PHẦN PHÂN BẬC CỦA MÔ ĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CÓ ĐỐI CHIỀU BÉ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

-

Lê Đình Nghĩa

IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA CÁC THÀNH PHẦN PHÂN BẬC CỦA MÔ ĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU

ĐỊA PHƯƠNG CÓ ĐỐI CHIỀU BÉ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

-

Lê Đình Nghĩa

IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA CÁC THÀNH PHẦN PHÂN BẬC CỦA MÔ ĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU

ĐỊA PHƯƠNG CÓ ĐỐI CHIỀU BÉ

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mục Lục

Lời cảm ơn 3

Phần mở đầu 4

Bảng kí hiệu 8

Chương 1: Kiến thức cơ sở 9

1.1 Iđêan nguyên tố liên kết 9

1.2 Độ cao của một iđêan 10

1.3 Chiều của một iđêan 10

1.4 Độ sâu của mô đun 11

1.5 Vành Cohen – Macaulay 13

1.6 Vành phân bậc 13

1.7 Hàm tử xoắn 14

1.8 Mô đun đối đồng điều địa phương 16

1.9 Tính không xoắn của mô đun đối đồng điều địa phương 18

Chương 2: Iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của mô đun đối đồng điều địa phương có đối chiều bé 20

2.1 Khái niệm về sự ổn định tiệm cận 20

2.2 Sự ổn định tiệm cận của iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của mô đun đối đồng điều địa phương 21

2.3 Iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc có đối chiều 1 21 2.4 Iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc trong mô đun đối đồng điều nửa địa phương có số chiều 2 28

KẾT LUẬN 35

TÀI LIỆU THAM KHẢO 36

Lời cảm ơn

Sau hai năm học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Sư phạm Thành

phố Hồ Chí Minh dưới sự hướng dẫn và hỗ trợ tận tình của PGS TS Trần Tuấn Nam thì bài luận văn tốt nghiệp của tôi đã được hoàn thành Nhân dịp

này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy đã giúp đỡ cho tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang, T.S Trần Huyên, PGS.TS Bùi Tường Trí, PGS.TS Bùi Xuân Hải, cùng quý thầy trong Khoa Toán – Tin Trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Cuối cùng tôi xin gởi lời cám ơn đến người thân, bạn bè và tất cả những người đã giúp đỡ và hỗ trợ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 3 năm 2012

Học viên

Lê Đình Nghĩa

H +(M) là thành phần phân bậc thứ n của mô đun i

n R

H +(M ) Trong quá trình nghiên cứu và tìm hiểu về mô đun đối đồng điều địa phương i

R

H +(M) các nhà toán học đã thu được nhiều kết quả hết sức thú vị và đặc biệt về mô đun i

R

H +(M)và một trong những tính chất thú vị đó là tính ổn định tiệm cận của tập hợp

Ass H +(M) ổn định tiệm cận tại mọi i”,

Vấn đề đặt ra ở đây là trong kết quả (2) khi mở rộng thêm giả thiết thì

trường hợp R0 không là địa phương thì chúng ta có sự ổn định tiệm cận hay không hoặc cần bổ sung những điều kiện gì nữa để tính ổn định tiệm cận vẫn còn? Trong trường hợp không có điều kiện địa phương thì cần những điều kiện gì của R0 để cho 0( )

Để mở rộng (2) trong trường hợp bỏ đi tính địa phương R0, chúng ta cần thêm một số điều kiện nhỏ thể hiện trong các kết quả sau:

(3) [2.3.3] G iả sử R 0 là mở rộng nguyên hữu hạn của miền nguyên A 0 sao cho

0∩A0 =0

q với mỗi iđêan tối tiểu q0 của R 0 Thì với mỗi i∈

(i) Τ = Τi i(M) : {= ∈p Ass (HR iR+(M)) | ht(p∩R) 1}≤ là hữu hạn

Trong trường hợp đặc biệt, khi dim(R ) 10 ≤ ta có kết quả:

(5) [2.3.9] Giả sử dim(R ) 10 ≤ và R 0 hoặc là vành nữa đơn hoặc là mở rộng của một miền nguyên hoặc là loại chủ yếu hữu hạn trên một trường Thì với mỗi i∈

Ngoài ra còn có một hướng mở rộng (2) trong trường hợp dim R( )0 =2

nhưng vẫn giữ nguyên tính địa phương của R0, ta có kết quả yếu hơn:

(6) [2.4 7] Giả sử R 0 là vành nửa địa phương với dim( )R 0 =2 Với i∈ Thì

i

R

H +(M) là thuần hóa

Đặc biệt, khi thêm vài điều kiện nhỏ thì ta có kết quả:

(7) [2.4.8] Giả sử R 0 là vành nửa địa phương với dimR0 ≤2 Nếu R 0 hoặc

mở rộng nguyên hữu hạn của một miền nguyên hoặc là loại chủ yếu hữu hạn trong một trường Thì với mọi i∈ tập hợp 0( )

i

n

Ass H +(M) ổn định tiệm cận

Những vấn đề trên có vai trong quan trọng trong chuyên ngành đại số, đại số giao hoán và đại số đồng điều, vì thế nó thu hút sự quan tâm của nhiều

nhà toán học

2 Mục đích của đề tài

Mục đích của luận văn này là hệ thống lại một số kiến thức cần thiết về đại số giao hoán, đại số đồng điều có liên quan đến vấn đề tìm hiểu và nghiên cứu, sau đó trình bày lại chi tiết các bài chứng minh cho các kết quả (3), (4) Bên cạnh đó sẽ trình bày một cách hệ thống các bổ đề tính chất để đi đến kết quả (6), (7)

3 Đối tượng và phương pháp nghiên cứu

Bài nghiên cứu sẽ trình bày một vài khái niệm cơ bản cùng các kiến thức hỗ trợ và tập trung làm việc trên tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của mô đun đối đồng điều địa phương

Luận văn được chia làm hai chương:

Chương 1 trình bày lại các kiến thức cơ sở về đại số giao hoán, đại số đồng điều nhằm phục vụ việc chứng minh các kết quả của chương sau

Chương 2 gồm hai phần, phần 1 phần chính của bài luận văn, phần này trình bày các bổ đề liên quan sau đó trình bày chi tiết bài chứng minh các kết quả (3), (4) cùng với hệ quả liên quan Phần 2 trình bày các bổ đề liên quan sau đó dẫn đến kết quả (6), (7)

R/p – vành thương của R theo p

Spec(R) - tập hợp các iđêan nguyên tố của R

V( )a - tập hợp các iđêan nguyên tố chứa a

1

S R− - vành các thương của vành R theo tập con nhân S

Rp - vành địa phương tại p

Ann(M) - linh hóa tử của M

Chương 1: Kiến thức cơ sở

1.1 Iđêan nguyên tố liên kết

Định nghĩa 1.1.1 Cho R là một vành Noether và M là một R – mô đun Một

iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu nó thỏa một trong hai điều kiện tương đương sau:

(i) Tồn tại một phần tử x∈M sao cho Ann(x) = p

(ii) M chứa một mô đun con đẳng cấu với R/p

Tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu AssR(M)

Tính chất 1.1.2 Cho R là vành, giả sử p là phần tử tối đại của {Ann(x) |

Ass (M ')=f (Ass (M '))=Ass (M)∩ p p| ∩ = ∅S

Trong đó f :Spec(R ') Spec(R)→ là một đồng cấu

Đặc biệt, AssR ( ) {M = R | ∈Ass (M),R ⊆ }

Định lý 1.1.5 Cho R là vành Noether và M là một R – mô đun Thì AssR(M)

⊆ SuppR(M), và với mọi phần tử tối tiểu của SuppR(M) đều nằm trong AssR(M)

Hệ quả 1.1.6 Giả sử I là iđêan của vành R Thì iđêan nguyên tố liên kết tối

tiểu của R- mô đun R/I là iđêan nguyên tố tối tiểu của I

Định lý 1.1.7 Cho R là vành Noether và M là R – mô đun hữu hạn sinh,

M≠0 Thì tồn tại dãy các mô đun con (0)=M0⊂ ⊂ Mn 1− ⊂Mn =M sao

cho i

i

i 1

M− ≅ p với mọi pi∈Spec(R),1 i≤ ≤n

Bổ đề 1.1.8 Nếu 0 M' M→ → →M ''→ 0 là một dãy khớp các R – mô đun thì khi đó Ass(M') Ass(M) Ass(M') Ass(M'')⊆ ⊆ ∪

Tính chất 1.1.9 Cho R là vành Noether và M là R – mô đun hữu hạn sinh

Thì AssR(M) là hữu hạn Hơn nữa, Ass (M)R ⊆V(Ann(M))và mỗi phần tử tối tiểu của V(Ann(M)) đều thuộc Ass (M)R Vì thế Ann(M) là giao các iđêan nguyên tố liên kết của M

Tính chất 1.1.10 Nếu N là R – mô đun con của M Thì

Ass (N)⊆Ass (M)⊆Ass (M / N)R ∪Ass (N)R .

1.2 Độ cao của một iđêan

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử R là một vành Một chuỗi hữu hạn của n + 1 iđêan

nguyên tố p0⊃ ⊃p1 p2⊃ ⊃pn được gọi là chuỗi nguyên tố có độ dài n Nếu p∈Spec(A), thì cận trên của chuỗi nguyên tố với p p= 0 được gọi là độ cao của p kí hiệu là: ht(p)

Nhận xét 1.2.2

(i) Nếu ht(p) = 0 điều đó có nghĩa p là một iđêan nguyên tố tối tiểu của R

(ii) Nếu I là một iđêan của R Độ cao của I là độ cao thấp nhất của

iđêan nguyên tố chứa I Tức là: ht(I) inf{ht( )|= p p⊇I}

1.3 Chiều của một iđêan

Định nghĩa 1.3.1 Cho R là vành, chiều của R được định nghĩa là cận trên của

độ cao của các iđêan nguyên tố trong R

dim(R) sup{ht( ) |= p p∈Spec(R)}

Nếu dim(R) là hữu hạn thì nó chính là chiều dài của chuỗi nguyên tố dài nhất trong R

Nhận xét 1.3.2

(i) ht( )p =dim(R ), Spec(R)p p∈

(ii) Với mọi iđêan I của R ta có: dim(R ) ht(I) dim(R)

Tính chất 1.3.3 Giả sử M 0≠ là một R – mô đun khi đó số chiều của mô đun

M được định nghĩa là chiều của vành thương R

Ann(M) Tức là:

R Ann(M)

dim(M) dim 

=

Khi M = 0 ta qui ước dim(M) = -1

Tính chất 1.3.4 Với R là vành Noether và M 0≠ là hữu hạn trên R thì ta có các điều kiện tương đương sau:

(i) M là một R – mô đun có chiều dài hữu hạn

(ii) Vành R

Ann(M) là vành Artin

(iii) dim(M) = 0

1.4 Độ sâu của mô đun

Định nghĩa 1.4.1 Cho R là vành giao hoán Noether và M là R – mô đun hữu

hạn sinh khác 0 Dãy các phần tử a , ,a1 n∈ R được gọi là dãy M – chính quy nếu:

(i)

n 1

(a , ,a )M≠

(ii) ai là phần tử

n 1

M(a , ,a )M - chính quy, với mọi i 1, ,n=

Độ dài của M – dãy là số phần tử của dãy M – dãy không có phần tử nào gọi

a , ,a ,a + là M – dãy chính quy có độ dài n + 1

Định nghĩa 1.4.4 Cho R là vành giao hoán Noether và M là R – mô đun hữu

hạn sinh khác 0 Lấy a là iđêan của R sao cho M≠aM Khi đó mọi dãy chính quy của M trong a đều có thể mở rộng thành dãy chính quy tối đại trong a và các dãy chính quy tối đại của M trong a có cùng độ dài Độ dài này gọi chung là độ sâu của M trong a

M ≠ (a , ,a )M Chú ý ta có M≠mM theo bổ đề Nakayama Do đó dãy các phần tử của R là M – dãy chính quy khi và chỉ khi nó là M – dãy chính quy trong m Trong trường hợp này, độ sâu của M trong m gọi là độ sâu của

M và kí hiệu là: depth(M)

1.5 Vành Cohen – Macaulay

Định nghĩa 1.5.1 Cho R là vành Noether địa phương và M là R – mô đun

hữu hạn sinh M được gọi là Cohen – Macaulay (CM) nếu M 0≠ và depth(M)

= dim M

Nếu R là R – mô đun Cohen – Macaulay thì R được gọi là vành Cohen – Macaulay

Định nghĩa 1.5.2 Cho R là vành Noether ta gọi R là vành CM nếu Rmlà

vành CM địa phương với mọi iđêan tối đại m của R

Tính chất 1.5.3 Cho R là vành Noether địa phương M là CM R – mô đun

Thì

(i) Với mọi p∈Ass M( ), depth M = dim R/p

(ii) x = x1, x2,…xn là một M – dãy nếu và chỉ nếu dim M/xM = dim M – r

Tính chất 1.5.4 R là vành Noether M là R – mô đun hữu hạn sinh Giả sử x

là một M – dãy Nếu M là CM thì M/xM cũng CM

Đặc biệt, nếu R là vành địa phương và M/xM là CM thì M là CM

Tính chất 1.5.5 Cho M là CM và S là tập con nhân đóng trong R Thì S M−1

là CM S R−1 - mô đun Đặc biệt, Nếu p∈SuppM thì Mp là CM Rp- mô đun

Tính chất 1.5.6 Cho R là vành Noether và M là CM R – mô đun hữu hạn

sinh Thì dim M=dim Mp+dim M / Mp với mọi p∈Supp M( )

Định nghĩa 1.6.2 Một R - mô đun phân bậc là một R – mô đun M nếu

N = ⊕ N∩M Nếu R là vành phân bậc thì n

Tính chất 1.6.6 Cho R là một vành Noether phân bậc và M là một R – mô

đun phân bậc khi đó

(i) Mọi iđêan nguyên tố liên kết p của M là iđêan phân bậc và tồn tại một phần tử thuần nhất x của M sao cho p = Ann(x)

(ii) Với mỗi p∈Ass(M) chúng ta có thể chọn một p – nguyên sơ phân bậc Q( )p sao cho

Định nghĩa 1.7.1 Cho M là một R – mô đun, tập hợp

n N

∈

Γa =  a = ∈ ∃ ∈ a = là mô đun con của M

Nếu f :M→ là N đồng cấu các R - mô đun

(i) Γa(M)≠0 nếu và chỉ nếu a⊆ZD(M)

Trong đó ZD(M) {a R: 0 m M sao cho a.m = 0}= ∈ ∃ ≠ ∈

(ii) Ass(Γa(M))=Ass(M)V( )a và Ass M /( Γa(M))=Ass(M) \ V( )a

Tính chất 1.7.3 Γ −a( ) bảo toàn tính khớp trái của dãy khớp ngắn

Do f đơn cấu nên anm=0⇒ m∈Γa(M), x∈Γa(f )

⇒kerΓa(g) im= Γa(f )

1.8 Mô đun đối đồng điều địa phương

Định nghĩa 1.8.1 Cho M là R – mô đun và a là iđêan của R Cho giải nội xạ của M

(iii) Mọi phần tử của H (M)ia linh hóa bởi an với n nào đó

Tính c hất 1.8.3 Cho R là vành Noether S là tập đóng nhân của R, M là R –

mô đun, a là ideal của R Thì

p

a p a p với mọi iđêan nguyên tố p của R

Tính chất 1.8.4 Giả sử (R, m) là vành địa phương, M là R – mô đun hữu hạn sinh Thì H (M)im là mô đun Artin với mọi i

Tính chất 1.8.5 Cho dãy khớp ngắn 0→L→ → f N g M→ khi đó với 0mỗi i∈ Tồn tại một đồng cấu nối 0 H (N)ai →H (L)i 1a+ và những đồng cấu nối tạo nên một dãy khớp dài

(ii) H (M)im n là R0 – mô đun Artin với mọi i, với mọi n

Tính chất 1.8.9 Cho (R, m) là vành Noether địa phương với số chiều d, a

là một iđêan của R và M là R – mô đun hữu hạn sinh Thì

RSupp H (M)a hữu hạn với mọi i nếu dim(R / ) 1a ≤

Tính chất 1.8.10 Với mọi i ∈ thì R – mô đun i 0

R R (

+ Γm là mô đun Artin Định lý: Giả sử dim(R ) 1 0 ≤ , với mọi i ∈ thì 0 ( i )

Hm H + M) là các R – mô đunArtin

Tính chất 1.8.11 Cho R là vành địa phương và M là R – mô đun hữu hạn

sinh với số chiều d 3≤ Thì ( i )

RAss H (M)a hữu hạn với mọi iđêan a của R

Tính chất 1.8.12 Với mỗi iđêan nguyên tố p của R ta có

1.9 Tính không xoắn của mô đun đối đồng điều địa phương

Định nghĩa 1.9.1 Cho M là R – mô đun Một phần tử x của M được gọi là

phần tử xoắn khi nó có một phần tử linh hóa khác không

Nếu R là miền nguyên, tập hợp các phần tử xoắn của M kí hiệu : T(M)

là một R – mô đun xoắn con của M

Khi T(M) = M thì M được gọi là mô đun xoắn

Khi T(M) = 0 thì M được gọi là mô đun không xoắn

Định nghĩa 1.9.2 Cho R là một vành tùy ý, M là một R – mô đun, S là tập

con nhân của R Một phần tử m của M được gọi là phần tử S – xoắn nếu tồn tại s trong S linh hóa m

Định lý 1.9.3 Cho R0 là miền nguyên, giả sử s R {0}∈ 0\

và giả sử i∈ Thì 0

s 0 s R

R =(R ) ⊗ R và ( )Rs + =R R+ s =( )R+ s ta có các mệnh đề tương đương sau:

( )R0 t  x =( )R0 tx , x , x1 2 d →Rt sao cho

t

0 t (R )

K x

dim  (K⊗ M )=dvà

t t

0

t (R ) t (R ) x

H +(M )= ∀ > 0, i d

Bổ đề 1.9.6 Giả sử R=R0 x =R0x , x , x1 2 d là vành đa thức trên miền Noether R0 với trường các thương K và giả sử M là R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh Khi đó nếu K⊗R0 M là

Chương 2: Iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của mô đun đối đồng điều địa phương có đối chiều

bé

2.1 Khái niệm về sự ổn định tiệm cận

Định nghĩa 2.1.1 Giả sử (S )n n Z∈ là họ các tập hợp Ta nói Sn là ổn định tiệm

cận khi n → −∞ nếu tồn tại n0∈ sao cho

0

n n

S =S với mọi n≤n0 Như vậy, tập hợp

H +(M) =0 với n đủ nhỏ hoặc n

i

R

H +(M) ≠0 với n đủ nhỏ

H +(M) là thuần hóa

Trước khi đi vào nội dung chính của luận văn chúng ta nhìn lại một số kết quả đã có về tính ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết của mô đun đối đồng điều địa phương mà các nhà toán học đã nghiên cứu được

2.2 Sự ổn định tiệm cận của iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của mô đun đối đồng điều địa phương

Định lý 2.2.1 Cho R0 là vành địa phương và M là R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh Giả sử i∈ sao cho HRj+(M) là R – mô đun hữu hạn sinh với mọi j

Định lý 2.2.3 Nếu R0 là vành địa phương (nữa địa phương) có số chiều

Định lý 2.2.4 Nếu R là một vành Cohen – Macaulay với dim(R0) = 1 và M là Cohen – Macaulay R – mô đun thì 0 i

n

R RAss (H +(M) ) ổn định tiệm cận với mọi

i∈

Tiếp theo ta sẽ đi tìm hiểu phần chính của luận văn, phần mở rộng (4)

về hướng bỏ qua tính địa phương của R0 đồng thời thêm vào một số điều kiện nhỏ cho R0 Trong trường hợp đặc biệt dim R0 = 1 chúng ta có một kết quả hoàn chỉnh hơn về sự mở rộng của (4)

2.3 Iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc có đối chiều 1