Các phép tính cơ bản liên quan đến đối đạo hàm của ánh xạ đa trị..... Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bất đắng thức biến phân là việc xây dựng phương pháp giải.. Có rất n
Trang 1TIM HIEU VE PHEP TOAN DOL
DAO HAM LIEN QUAN DEN BAT DANG THUC BIEN PHAN AFIN CHUA THAM SO
Giáo viên hướng dẫn — : Nguyễn Thị Toàn Sinh viên thực hiện + Thái Thị Kim Liên
VINH - 2011
Trang 2MUC LUC
e2 ồ 1 Chương I BÁT ĐĂNG THỨC BIÉN PHÂN TRONG #” 2:+ 3 1.1 Điểm bất động 2- 22+ ©22222EE12E21271122111121112211121112111.1111111 111 11 xe 3
1.2 Bất đắng thức biến phân 2 2+©2+EE£+EE£2EE2EE1EE12711271271211 22121 ee 3
Chương II CÁC PHÉP TÍNH CƠ BẢN LIÊN QUAN ĐÉN ĐÓI ĐẠO HÀM CỦA
2.1 Các khái niệm và tính chất cơ SỞ -2 2£ 2 2+++++++22+z+txxv+zxxevrvreee 5
2.2 Các phép tính cơ bản liên quan đến đối đạo hàm của ánh xạ đa trị 6
Chương III TÍNH CHÁT AUBIN CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM - 20 3.1 Các khái niệm và tính chất CƠ SỞ - 2+ ©++++2+++t2E++2EEExrrrrrxrcrrkee 20
3.2 Tính chất Aubin của ánh xạ H209 0 3 22
4500007902155 2” 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 222-2252 SEE9EEE‡2EEEEE2EEEEEE22211127112212221Excre 35
Trang 3MO DAU
Bất đắng thức biến phân được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác
nhau như kinh tế, kỹ thuật, vật lý toán Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bất đắng thức biến phân là việc xây dựng phương pháp giải Có rất nhiều
phương pháp giải bất đẳng thức biến phân đã được nghiên cứu như: phương pháp dựa trên kỹ thuật hàm chắn, phương pháp dựa trên cách tiếp cận điểm bắt động, phương pháp dựa trên tính ôn định nghiệm của bài toán Gần đây, bài toán về
tính ổn định nghiệm của bắt đắng thức biến phân afin chứa tham số là một đề tài
được nhiều người quan tâm nghiên cứu
Năm 1979 S M Robinson (xem [7]) đã xét đến tính chất liên tục Lipschitz của
ánh xạ nghiệm của bài toán bất đắng thức biến phân afin chứa tham số Trong
khoảng những năm 1993-1996 B S Mordukhovich (xem [5], [6]) công bố một loạt bài báo quan trọng ở đó ông đưa ra nhiều ý tưởng và kỹ thuật mới, phát triển
một phiên bản vô hạn chiều sâu sắc và đẹp đẽ cho lý thuyết vi phân của ông, đồng thời chỉ ra rằng một số tính chất cơ bản của ánh xạ đa trị (như tính giả-Lipschitz theo nghĩa Aubin, tính chính quy mêtric, tính mở địa phương) có thể đặc trưng bằng cách sử dụng công cụ đối đạo hàm qua giới hạn
Dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Nguyễn Thị Toàn chúng tôi chọn đề tài:
“Tim hiếu về phép toán đối đạo hàm liên quan đến bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số va ứng dụng của nó”, dựa trên bài báo của GS TSKH
Nguyễn Đông Yên (xem [9], [10]) Mục đích của luận văn là tập trung nghiên cứu
tính chất Aubin và tính chính quy mêtric địa phương của các ánh xạ nghiệm của bắt đẳng thức biến phân afin chứa tham số
Với mục đích trên luận văn được chia làm ba chương:
Chương I Bắt đẳng thức biến phân trong R”
Chương II Các phép tính cơ bản liên quan đến đối đạo hàm của ánh xạ đa trị Chương III Tinh chat Aubin của ánh xạ nghiệm
Trang 4Phần lớn các kết quả trình bày trong luận văn đã thu được bởi một số tác giả
trong các tài liệu [1], [2] [3] [8] [9] [10] và đã được trích dẫn trong luận văn Một số kết quả khác đã được tác giả chứng minh chỉ tiết đưới dạng nhận xét, bố đề
hoặc mệnh đề Tuy đã có nhiều có gắng nhưng vì năng lực và thời gian có hạn nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót cả về nội dung lẫn hình thức Vì vậy, tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo quý báu của các Thầy giáo, Cô giáo
và những góp ý của bạn đọc
Nhân địp này, cho phép tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với Cô giáo Nguyễn Thị Toàn người đã hướng dẫn nhiệt tình tác giả trong quá trình nghiên cứu Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo trong tổ
Giải tích và trong khoa Toán đã tận tình giảng dạy, động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả học tập và hoàn thành khóa luận này
Vinh, thang 5 nam 2011
Tac gia
Trang 5Chuong I
BAT DANG THUC BIEN PHAN TRONG R”
1.1 DIEM BAT DONG
1.1.1 Định nghĩa Cho 4 là một tap hop va anh xa F: A> A Mét diém xe 4
được gọi là điểm bát động của F nếu F(x)= x
Hay nói cách khác, các điểm bất động của # là nghiệm của phương trình
F(x)=x
1.1.2 Định nghĩa Cho Š là một không gian mêtric Một ánh xạ F: SS
được gọi là ánh xạ corút nếu
d(F(x),F(y))<a@d(x,y), VxyeS (1)
và mỗi a: 0<a@<l
Khi cho a@=1, anh xa F dugc gọi là không giãn
1.1.3 Định lý[`1] Cho S là một không gian mêtric đây đủ và F: S—>Š là một
ánh xạ corút Khi đó ton tai duy nhất một điểm bất động của F'
1.1.4 Định lý (brower)[1] Cho Ƒ là một ánh xạ liên tục từ một hình cầu đóng BCR" vào chính nó Khi đó F tôn tại ít nhất một điểm bắt động
1.2 BAT DANG THUC BIEN PHAN
1.2.1 Định nghĩa Không gian đối ngấu (R"} của ®“ là không gian của tất cả
các dạng tuyến tính
a:R"->R
xa <a,x>,
xác dinh trén R”
Trang 61.2.2 Dinh ly[1] Cho K CR" la tap compact, ldi va dnh xa F: K>(R") la
liên tục Khi đó, có một điểm xeK sao cho:
<F(x),y-x><0, Vyek (2)
1.2.3 Hệ quá[1] Cho x là một nghiệm của bắt đẳng thức biến phân (2) và giá
sử rằng xeintK, phần trong của K Khi đó, F(x)=0
1.2.4 Bai toan Cho K 1a một tập đóng, lỗi trong R” va anh xa F: K>(R")
là liên tục Tìm xeK sao cho
<F(x),y-x>>0, VyeK @)
Định lý sau đây, đưa ra điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm của Bài toán 1.2.4
1.2.5 Định lý[1] Cho K CR" là tập đóng, lôi và ánh xạ F: K—(R") là liên
tục Điều kiện cần và đủ để Bài toán 1.2.4 có nghiệm là tôn tại R>0 sao cho có mot nghiém xp €Kp cua diéu kién (3) thoa man : lại <R
Trong d6 Kp =KO B(0,R) với B(0, R) là hình câu đóng tâm 0e R", bán kính R
1.2.6 Hệ quả[1] Cho Ƒ: K—>(R"} thỏa mãn
SEN te khi |x| >-+00, xe K, (4)
với xụ K bất kỳ Khi đó, tôn tại một nghiệm của Bài toán 1.2.4
1.2.7 Định nghĩa Điều kiện (4) của Hệ quả 1.2.6 được gọi là điều kiện cưỡng bức
1.2.8 Định nghĩa Ánh xạ F: K—(R"} được gọi là đơn điệu nếu
<F(x)-F(x).x-x >>0, Vx,xeK (5)
Ánh xạ Ƒ được gọi là đơn điệu ngặt nếu dấu "=" của (Š) xảy ra khi và chi khi x =x’
Trang 7Chương II CAC PHEP TINH CO BAN LIEN QUAN DEN DOI DAO HAM CUA
ANH XA DA TRI
2.1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHÁT CƠ SỞ
2.1.1 Định nghĩa Cho X, Y là hai tập hợp bất kỳ, F:X —>Y là ánh xạ từ X
vào tập hợp gồm toàn bộ các tập con của Y ( được ký hiệu là 2Ÿ) Ta nói F là ánh
xa đa trị từ X vào Y Như vậy, với mỗi x e X, F(x) là một tập hợp con của Y
Ta sử dụng ký hiệu F:X => Y để chỉ F là ánh xạ đa trị từ X vào Y
2.1.2 Định nghĩa Cho X và Y là các không gian định chuẩn Đồ /hj¡ gphƑ, miễn hữu hiệu dom F` và miễn ảnh røe Ƒ của ánh xạ đa trịF: X =% Y tương ứng được xác định bằng các công thức
gph F={(x,y)eXxY:yeF(x)},
dom F ={xe X: F(x)#0},
va rgeF={yeY: dxeX saocho yeF (x)}
Anh xa da tri F duoc gọi là có đồ thị đóng địa phương trong lân cận điểm
(X.Y) € gphF nếu tồn tại một hình cầu đóng B tâm (xạ.vạ) trong X x Y, có
bán kính dương mà BO gphF la tap dong trong X x Y
2.1.3 Dinh nghia Tap M c R* duoc goi là áp lồi đa điện nêu M có thể biểu
diễn đưới dạng giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng của R*
2.1.4 Định nghĩa Cho © là một tập con của RỲ Khi đó các ký hiệu Q, intQ
và coneQ_ tương ứng biểu thị bao đóng của ©, phần trong của ©, hình nón sinh
boi Q, nghia 1a coneQ = {tz: zEQ,t 20}
2.1.5 Định nghĩa Cho X, Y là các không gian Euclide, ®: X =3Y là hàm đa trị Khi đó, giới hạn trên theo dãy theo nghĩa Painlevé-Kurafowski của ®(x) khi
Trang 8x->x được ký hiệu Lim sup ®(x)= tế € Y: 4 day x, > x, 6, >€, VỚI
x: x
§,€ O(x,), VA=L2 }
2.1.6 Định nghĩa Cho X 1a khéng gian Euclide, Q c X Tap Ne (x;Ð) là zập
các véctơ e- pháp tuyến Fréchet của © tại xe được cho bởi công thức:
yy UP Pu-xP —
ký hiệu u—Ê9 vy nghĩa là „—>x và e @
Nếu e=0' thì tập (1.1) là một hình nón lồi đóng và được gọi là nón pháp tuyến
Fréchet cha © tại x và được ký hiệu bởi N(x;Q)
2.1.7 Định nghĩa Cho X là không gian Euclide, Q c X Hinh non
^
N(x;O)= (@)= lim lim | supNe(x:0) Ne(x;Q) (12) 1.2 được gọi là nón pháp tuyến theo nghĩa Mordukhovich của © tại X
2.1.8 Định nghĩa Cho X và Y là các không gian Euclide Khi đó ánh xạ
D'®(x,ÿ): YÝ =s X được xác định bởi công thức
D*® (x,y)(y")= fx" € X :(x*,-y*) e N((X, ¥); gph ®)} (1.3)
được gọi là đối đạo hàm chuẩn tắc (hay đối đạo hàm qua giới hạn, đối đạo hàm
Mordukhovich) của ® tại (x y)
2.2 CÁC PHÉP TÍNH CƠ BẢN LIÊN QUAN ĐÉN ĐÓI ĐẠO HÀM CỦA ÁNH
XẠ ĐA TRỊ
2.2.1 Bài toán Xét bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số
Trang 9được ký hiệu AVI(M, q, A, b), với (q, b) e R°"x R” mô tả nhiễu tuyến tính; M e
R"*", A ce R"*";, A(A,b)={xeR":Ax<b} là tập lỗi đa diện; N(x; A(4,))) ={veR”:<v,„—x><0,VweA(A,b)} là nón pháp tuyến
lỗi của A(A, b) tại xeA(A,) và < v,ø > biểu thị tích vô hướng của v và uw
Quy ước N(x A(4,0))=Ø khi x#A(4,b) Tập nghiệm của (1.4) được ký hiệu là S(q, b) Nhu vay, x € S(q, b) nghĩa là x e A(4,b) và
<Mx+q,u—x>>0, VueA(A,b)
(1.5) Trong chương này ta đặt C = A(4,b), X là không gian Euclide
2.2.2 Nhận xét Cho A4 = - E, với E là ma trận đơn vị trong R"*" và b = 0
R" Khi đó x thóa mãn (1.4) nếu và chỉ nếu
Mx+q20,x20,<Mx+q,x> =0
Chứng minh Cần Giả sử x thỏa mãn (1.4) Ta có A(A, b) = {x eR": Ax<
b} Ma theo gia thiết A = - E, b= 0, đo do A(-E, 0) = {x € R": -Ex <0}={x &
R": x >0} Tachon wu = 2.x thay vao (1.5) tadugc < Mx +q,x>2>0,max >
0 nên Mx+q20 Chonu = s4 thay vào (1.5) ta được < Mx+q,x><0.Do
do <Mx+q,x>=0
Di Gia st Mx+q20,x20,<Mx+q,x> = 0 Ta dé dàng chứng minh được x thỏa mãn (1.4)
2.2.3 Chú ý|9] Néu 2 =X là tập lôi và X là không gian Euclide thì
Trang 10A, la ma tran hgp thanh bởi các hàng 41,, ¡ e I (định nghĩa 4r tương tự) Khi đó
giả mặt F, của C= A(A,b) tương ứng tập chỉ số I được định nghĩa bởi công thức
tị =[xeR" :A,x=b,, Arx<b,}
Pos| 4? lie 1 là nón lỗi được tạo bởi các véctơ cột Lư :ịc 1}
2.2.5 Chú ý Nón pháp tuyến X(x;C) của C tai x € C 1a nón đối ngẫu của nón
tiếp tuyến 7(x:C), nghĩa là
N(x;C)=(7(x:C))Ì ={x' eX*:<x”,v><0,Vve7(x;C)}, (1.7)
trong do C CX, voi X là không gian Euelide, X” là không gian đối ngẫu của X 2.2.6 Định lý|3] (bố đề Farkas trong không gian véctơ tùy ý) Cho W là một không gian véctơ chiều tùy ý Giả sử rằng sự kéo theo sau đúng với bắt kỳ u e W [<x7,u><0, Viel] > [<x*,u><0],
trong đó ICN là tập chỉ số hữu hạn, với x} va x" la cdc phan tử của X*, Viel Khido sé tén tai %4>0,¡eT sao cho
x= > Ax
2.2.7 Ménh dé Gid se XC, x EF, va I =1(x) duoc xdc định bởi (1.6)
Khi do ta co
với pos| Ay tíc 1 = {Baa tA, >0):
Trang 1110
Do xeF, nén 4x <b, Vie T, do dé sé ton tại một lân cận V của x sao cho
4x <b,VWxeVvàie T Bây giờ ta sẽ chứng minh sự kéo theo sau là đúng
[4,u<0,Viel] => [<x*,u><0] (1.11)
That vay, lay bat ky weR” voi 4u<0, Viel Do V 1a lan can cia x nén
x+” e V, với n đủ lớn Với ¡e Ï, ta có Al*+)<® và khi ¡ € 7 thì n n ta có
Ax = b;, A{x+4] =Ax+A," =b +4,“ <b Do đó A(x} <b Suy ra n n n n
xt eC, với n đủ lớn Bởi vậy theo (1.10) ta có < x”,z>< 0 Khi đó theo bổ đề
Farkas ta có
N(x;C) C pos{A?:¡e 1]
Ta sẽ chứng minh N(x; C) Đ pos{AT:¡e 1] Lấy vepos|A7: iel}, ta cần chứng
minh ve N(x; C) Do ve pos{A}:ie/} nén suy ra v= ¥ AAS A >0, Viel
Chứng minh ve M(x;C) tức cần chứng minh <v,x'—x>< 0, V x'eŒ Với mỗi
(ii) Lay w thuộc về phai cia (1.9), ta sé chtmg minh ueT7(x;C) Voi
ueR",A,us<0, Viel ta da chimg minh được <x",u><0, x* eN(x,C) Từ đó
suy ra uw € T(x; C) Do dé {ue R": Aju <0} CT(x;C)
Ta cần chứng minh {weR":A,u<0}57(x;C) Lay ueT(x;C), ta sẽ
chứng minh øz thuộc về phải của (1.9) Ta có T(x;C) = (N(x: C)) =
{ue R":<u,x* ><0,V x eN(x;C)} Lúc đó, với mỗi ¡e/, chon
Trang 1211
4,>0,4,=0 j#i, jel thi ¥ 4,4) =A,A4! €N(x;C) Tr dé ta c6 <u, 4,47 > < jel
0, VuweT(x;C) Hay (4,u) A, <0, VueT(x,C) Suy ra Aju <0, VueT(x;C)
Do dé T(x; C) cClueR": A4u<0,VieT]}
Vậy T(x;C)={ue R": 4u <0}
Vậy mệnh đề được chứng minh
2.2.8 Định nghĩa Tập @ c R* được gọi là mặ đóng của C nếu ton tai JCJ
sao cho
O=F, ={xe R": Arx=b, ArxSb,]
2.2.9 Chú ý Định nghĩa 2.2.8 sẽ tương đương với phát biểu sau: @ c R" là một mặt đóng của C nếu ton tại š e C và
veN(; C)= pos{A7:¡<1(x)}
sao cho @=Íx€C:<ÿ,x—x>= 0} Nếu C là nón (trong trường hợp b = 0) thì
Q 1a mat đóng của C khi và chỉ khi tồn tại ø eC° mà O={xeC:<ÿ,x>=0}
Tiếp theo chúng ta sẽ nêu ra các bổ đề mà đưa đến đối đạo hàm chuẩn tắc của
hàm đa trị #2(x)= N(x; A(4,ð)) tại điểm (x, v) O 3> Voi Q,= gphFy
2.2.10 Bố đề|9] Néu (x*,v")e N(x, v);Q5) thi
Trang 13Giả sử (#B$eCx N(#C) là phần tử tùy ý với (#6}zZ(x,v), #@C được lấy đủ
gần x sao cho N(%C)c N(x;C); do vậy We N(x;C) Khi đó ta sẽ có đắng thức
sau
(T(x: C)avt) = NG C)F Rv = N(x;C)+R y (1.14)
Thật vậy, lay bat ky x*eN(x;C)+Rv Khi do sé tén tại một dãy
{xn} CN (x; C)+R-v sao cho x*-> x* Ta gia sir rang x*=vett,v voi
v,€N(x;C),t,¢R~ Lay bat ky MeT(x;C)av*, ta có
Đặt Q=1(x), P={ig'| = fig} CQ xét he {4,,}, 9 ta 06
A=T(x:C)v*=|#€ X: A#€ 0, Viel (x)=O, <v, % =0}
Đặt =1, khi đó @'={#€ X:4#£0,Viel'=PUO], với 4;=4,,VieQ
và 4=—v nếu ¡eP Chọn x=0e€, lúc đó 1(x)={¡eT': 4x =0} ==T" Do vậy T(x;@')={ue X: 4u„<0,V¡eT] =Ø'
Từ đó ta có
A =(T(x; Q’)) =N(x; @')=|fe X : Ve pos|A? tỉ <r))
Trang 14= [exe Em +a, 4" :0,20,VieQ, or, 20
= [We X:e pos{ AT siel(x)} +a, A", a, >0]
Vậy bổ đề được chứng minh
2.2.12.Định lý|9] (nón pháp tuyến theo nghĩa Mordukhovich, trường hợp b cố
định) Cho bất kỳ cặp (x,v) €Q,, khi đó
Trang 15và Q là một mặt đóng của nón lỗi đa diện TỰ: Cc) avi
Ching minh Gia str F,, 14 mot gia mat cua Œ có xeF, Khi đó /'c/(x)
Thật vậy, nếu xef, và ¡eJ\J(x) thì khi đó sẽ tồn tại một dãy x, fr , x ma
Ax, =b, 0k Suy ra 4.x = b,, mâu thuẫn vì ¡eƑ'\I(x) Ngược lại, nếu J'C I(x)
va F,,#@ thi xeF, That vay, lay bất kỳ xe và đặt x,=(l—f)x+fx' với
te(0,1) Do x,xe#,, nên ta có 4,x=Ù„, Anx<b; và Aux =bu, An,x'<b,, mà
x, =(1-f)x+tx" Tir dé suy ra duge x, €F, và x,—>x khi /—>0”
Theo định nghia, (x*,v*) N(x, v);Q3) nếu và chỉ nếu có đãy (x„.v„)—(%.v)
và (x;.vz)—> (x*,v"), vụ € N(x,;:C), (x4 Je Ñ((x,.v,):9;).v k
Từ số giả mặt của C' là hữu hạn thì phải tồn tại một tập chỉ số /C.! và một dãy
con {x cua {x,| sao cho x, €F,, vi moi &; Khi x, x, ta co I'c I(x) Theo
Do Ye, eN(x, 3] nên ta có <w,,„w><0, với „e7(F,;C) Do đó 7(f„:C) 0 %,
là một mặt đóng của nón lồi đa diện T(F,;C) Ta dat Q = T(F„;C) 0 ve, cho qua
J
giới hạn k,—0, tir (1.17) ta duge (x",v")eQ*xQ Ta suy ra
Trang 16Từ đó ta có vụ € N(x,;C).V&, vị —>v khi &-> và O=7(F„;C) avy, VÉ Do
đó, theo Bổ đề 2.2/11 (x',v')e Ñ((x.v,):©)).V& Ta suy ra (x*v*) €
N((x,v); ©,) Do đó „2 xØ)c N((x, v); ©)
Vậy định lý được chứng minh
2.2.13 Dinh lý|9] (đối đạo hàm chuẩn tắc, b cé dinh) Cho (x,v) € gphF, và
v" ER", khi đó tập D'F(x,v)(v') gồm tất cả x” 6Ñ" sao cho
(x',—v')<@'xQ
với tập chỉ số CI=I1(x) thỏa mãn (1.16) và một mặt đóng Q của nón lôi da diện
T(F„:C)¬ vì
Tiếp theo chúng ta đưa ra ước lượng về đối đạo hàm chuẩn tắc của hàm đa trị
F,(x,b)=N(x:A(4,b)) tại (x,b,v)¢ Q,, voi Q, = gphF,, b eR" tuy y va
xeA(4,?)
Trang 17Chứng minh Giả sử rằng (x, b, v) € Q, V6i 1, ,(x),1,/ duge xdc định như
trong bé dé Gia sir (x*, b*, v") € N((x, b,v); Q,), ta can ching minh (1.18), (1.19)
và (1.20) 1a ding Vi (x*,b",v*)e N(x, b, v);Q.) nên ta có
Trang 18Vv wer” ma PwP=1 Từ đó suy ra x* + A7 dF =0 Vay (1.19) durge chứng minh
Lấy bất kỳ jeJ Tính chất (1.20) sẽ được chứng minh nếu ta chứng minh
được / =0 Giả sử b=, với ieJ\[7\, boe(b,-«, bj +é), trong đó
£=b,—A,x>0 Tirdd tacé 4.x=beviel, 4x<boviel,
Do dé ¥= x sé thude A(4, bY va % v thỏa mãn hệ thức
W pos(A,:¡ Ï)= N[#6A( A4, By)
Lúc đó (9) (x, b,v) khi 9-»b, Do vậy, từ (1.22) ta có
b*( fb)
lim sup —-——— < 0
bh Be bị