Tìm hệ số tìm số hạng trong khai triển Ví dụ 1: Trong khai triển nhị thức hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào n biết.. Tìm tất cả các hạng tử hữu tỷ của khai triển đó đã cho... T i lià ệ
Trang 1T i lià ệu ụn thi đại học Phạm Quang Thành
Nhị thức newton và ứng dụng
I Nhị thức newton
1 Công thức nhị thức Newton:
Với mọi cặp số a, b và mọi số nguyên dơng ta có:
(a + b)n = co an + c1 an – 1 b + c2 c1n – 2 b2 + + c… nn-1 abn – 1 + cnbn n n k k(*)
n k
k
=
∑
=
2 Các nhận xét về công thức khai triển:
+ Tổng các số mũ của a, b trong mỗi số hạng bằng n
+ Các hệ số của khai triển lần lợt là:
C0
n; C1; C2; … Cn-1 n; Cn; Với chú ý: Ck = Cn –k 0 < k < n
+ số hạng = hạng tử và được kớ hiệu là : Tk+1 = Ckan-kbk
II CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Tớnh tổng
Vớ dụ 1 : Tính cỏc tổng sau:
a: S1 = C0 + C1 + C2 + + C… 6
6 b: S2 = C0 + 2C1 + 22 C2 + +2… 5 C5 c: S3 = 317 C0 17 – 4 1 316 C1 17 + 4 2 315 C2 17 – 4 3.314 C3 + -4… 17.C17
17 d: S4 = C6 11 + C 7 11 + C 8 11 + C 9 11 + C 10 11 + C 11
11
1
2001 2002
2001 2002 2002
2000 2001
1 2002
2001 2002
0 2002
k
+ + +
−
Vớ dụ 2: Tìm số nguyên dơng n sao cho:
2 C1 + 4 C2 + + 2… n Cn = 242
Vớ dụ 3: Với n số nguyên dơng CMR
a) C1 n + 2 C 2 + + (n – 1) C… n-1 n + n C n = n 2n-1
b) 2.1 C2 + 3.2 C3 + + n (n – 1) C… n = n (n – 1) 2n-2
c) S = 2 1 C1 + 3 2 C2 + + n (n – 1) C… nn-1 + (n + 1) n Cn
d)4n Co – 4n-1 C1 + 4 n-2 C2 + + (-1)… n Cn.= Co + 2 C1 + + n 2… n-1 Cn + + 2… n Cn
e) C1 + 4 C2 + + n.2… n-1 Cn = n 4n-1 Co – (n-1) 4n-2 C1 n + (n-2) 4 n-3 C2 n + + (-1)… n-1 Cnn-1
Dạng 2 Tìm hệ số (tìm số hạng) trong khai triển
Ví dụ 1: Trong khai triển nhị thức hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào n biết
Cn + Cn-1 n + C n-2 n = 79
Ví dụ 2: Cho biết ba số hạng đầu tiên của KT
Có các hệ số hạng liên tiếp của một cấp số cộng Tìm tất cả các hạng tử hữu tỷ của khai triển đó đã cho
Ví dụ 3: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + x)n
Ví dụ 4:Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của khai triển (a + b)n biết rằng tổng các hệ số bằng 4096
Ví dụ 5: Khai triển đa thức Px = ( 1 + 2x) 12
Thành dạng P(x) = a0 + a1x + a2x2 + + a… 20x 10 Max (a1 a2 a… 12)
Vớ dụ 6: Tìm n của khai triển biết hạng tử thứ 9 có hệ số lớn nhất
1
x x
x3 + − 28 / 15
n
x
2
1 (
4 +
n
x
) 5
2 5 ( +
Trang 2T i lià ệu ôn thi đại học Phạm Quang Thành
Ví dụ 7: T×m c¸c h¹ng tö lµ sè nguyªn trong khi khai triÓn ( 3+3 2)19
Ví dụ 8 : a) Cho x>0 v à 1 2 3 2 1 2 2 1 36
2n 1 2n 1 2n 1 2n1 2n1 2n1 2
+ + + + + + + + + + + + = Tìm số hạng không phụ
thuộc x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 5 1 n
x x
−
b) Tìm hệ số của x6 trong khai triển thành đa thức của 2( )5 ( )7
P x = x − x − x + x
c) Tìm hệ số của x5 trong khai triển biểu thức ( ) 2( )2
P x= − x +x + x , biết rằng 2 1
1 5
n
A −C +− =
d) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton 3 1
2
n
x x
, biết rằng
n
+
e) Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của biểu thức: 4 (1+ +x 4 )x2 10
f) Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức 4 2 3 n
x x
, biết n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức
n
C −− +nA =
g) Tìm hệ số của x7 trong khai triển nhị thức
n
x
3
4 1
2 ,(x≠0) Biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn 112
2 2
2 + A +n=
h) Tìm hệ số của x10 trong khai triển ( x−3x2)n, ( x > 0 , n nguyên dương) biết tổng tất cả các hệ số trong khai triển bằng - 2048
i)Tìm hệ số của 8
x trong khai triển nhị thức NewTon 13 5
n
x x
, biết tổng các hệ số trong khai triển trên bằng 4096 ( trong đó n là số nguyên dương và x > 0)
j)Tìm số hạng chứa x trong khai triển của biểu thức 19 P= (2x− 1) (9 x+ 2)n Biết rằng
n
C0+C1+C2+ + C = 2048 và n là số nguyên dương.
k ) Tìm hệ số của x trong khai triển x8 ( 3−2x2+ −x 2)6
l) Tìm hệ số của x8 trong khai triển nhị thức Niu–tơn của ( )n
x2+2 , biết: A n3−8C n2+C n1=49 (n ∈ N, n > 3)
m) Tìm hệ số x3 trong khai triển 2+2
n x
x biết n thoả mãn: 1 3 2 1 23
2 + 2 + + 2n− = 2
n) Tìm hệ số của x20 trong khai triển Newton của biểu thức 5
3
2
n x
Biết rằng: 0 1 1 1 2 1 1
( 1)
+
n
2