Đai Số Tổ Hợp-Nhị Thức Newton

Cĩ bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đơi một khác nhau lấy từ tập A vàkhơng bắt đầu bởi 123.. Cĩ thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khácnhau đơi một từ X chữ số đầu tiên phải

Trang 1

Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Tuyển tập Đại số tổ hợp

Phần 1 BÀI TỐN ĐẾM

1. (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1 1999)

Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

1 Cĩ bao nhiêu tập con X của tập A thoả điều kiện X chứa 1 và khơng chứa 2

2 Cĩ bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đơi một khác nhau lấy từ tập A vàkhơng bắt đầu bởi 123

2. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1 1999)

Một học sinh cĩ 12 cuốn sách đơi một khác nhau, trong đĩ cĩ 2 cuốn sách Tốn,

4 cuốn sách Văn và 6 cuốn sách Anh Hỏi cĩ bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốnsách lên một kệ sách dài, nếu các cuốn sách cùng mơn được xếp kề nhau?

3. (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 2 1999)

Một bàn dài cĩ hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy cĩ 6 ghế Người ta muốn xếpchỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nĩi trên Hỏi

cĩ bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau:

1 Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường vớinhau

2 Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau

4. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 2 1999)

Cho tập X = {0,1,2,3,4,5,6,7} Cĩ thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khácnhau đơi một từ X (chữ số đầu tiên phải khác 0) trong mỗi trường hợp sau:

1 n là số chẵn

2 Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1

5. (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999)

Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng Người ta chọn ra 4viên bi từ hộp đĩ Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra khơng cĩ đủ

cả 3 màu?

6. (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999)

Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu cĩ ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhau

1 Cĩ bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luơn ở cạnh nhau?

2 Cĩ bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhĩm chẵn lẻ riêng biệt(chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)?

7. (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999)

Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đĩ xếp thứ tự ngẫunhiên thành một hàng

1 Cĩ bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành?

2 Cĩ bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành?

8. (HV Ngân hàng TPHCM 1999)

Xét những số gồm 9 chữ số, trong đĩ cĩ năm chữ số 1 và bốn chữ số cịn là 2, 3,

4, 5 Hỏi cĩ bao nhiêu số như thế, nếu:

1 Năm chữ số 1 được xếp kề nhau

2 Các chữ số được xếp tuỳ ý

9. (ĐH Hàng hải 1999)

Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn học sinh A, B, C, D, E vào một chiếc ghế dàisao cho:

Trang 2

Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Sĩ Tùng

1 Bạn C ngồi chính giữa

2 Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế

10 (HV BCVT 1999)

Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ

số khác nhau, sao cho trong các chữ số đĩ cĩ mặt số 0 và 1

1 Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách thuộc 2thể loại Văn và Nhạc Hỏi cĩ bao nhiêu cách tặng?

2 Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba loại sáchtrên đều cịn lại ít nhất một cuốn Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn?

13 (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000)

Một lớp cĩ 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ Cĩ 6 học sinh được chọn ra đểlập một tốp ca Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn khác nhau nếu:

1) phải cĩ ít nhất là 2 nữ

2) chọn tuỳ ý

14 (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000)

Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 Từ các chữ số đã cho ta cĩ thể lập được:

1 Bao nhiêu số chẵn cĩ bốn chữ số và bốn chữ số đĩ khác nhau từng đơi một

2 Bao nhiêu số chia hết cho 5, cĩ ba chữ số và ba chữ số đĩ khác nhau từng đơimột

3 Bao nhiêu số chia hết cho 9, cĩ ba chữ số và ba chữ số đĩ khác nhau từng đơimột

1 Cĩ bao nhiêu số trong đĩ phải cĩ mặt chữ số 2

2 Cĩ bao nhiêu số trong đĩ phải cĩ mặt hai chữ số 1 và 6

17 (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000)

Một đội văn nghệ cĩ 20 người, trong đĩ cĩ 10 nam và 10 nữ Hỏi cĩ bao nhiêucách chọn ra 5 người sao cho:

1 Cĩ đúng 2 nam trong 5 người đĩ

2 Cĩ ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đĩ

18 (ĐH Thái Nguyên khối D 2000)

Từ 3 chữ số 2, 3, 4 cĩ thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong

đĩ cĩ mặt đủ 3 chữ số trên

2

Trang 3

19 (ĐH Thái Nguyên khối G 2000)

Cĩ bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ

20 (ĐH Cần Thơ khối AB 2000)

Cĩ 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng cĩ kích thước đơi một khác nhau

1 Cĩ bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đĩ cĩ đúng 2 viên bi đỏ

2 Cĩ bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đĩ số bi xanh bằng số bi đỏ

21 (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000)

Cĩ 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen, đánh dấu mỗi loại theo các số 1, 2, 3, 4, 5 Cĩ baonhiêu cách sắp xếp tất cả các thẻ này thành một hàng sao cho hai thẻ cùng màukhơng nằm liền nhau

22 (ĐH Sư phạm HN 2 khối A 2000)

Cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6 trong đĩcác chữ số 1 và 6 đều cĩ mặt 2 lần, các chữ số khác cĩ mặt 1 lần

23 (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000)

Cĩ bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số làmột số chẵn

24 (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000)

Tìm tất cả các số tự nhiên cĩ đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đĩ chữ số đứngsau lớn hơn chữ số đứng liền trước

25 (HV Kỹ thuật quân sự 2000)

Một đồn cảnh sát khu vực cĩ 9 người Trong ngày, cần cử 3 người làm nhiệm vụ

ở địa điểm A, 2 người ở địa điểm B, cịn 4 người thường trực tại đồn Hỏi cĩ baonhiêu cách phân cơng?

26 (ĐH GTVT 2000)

Một lớp học cĩ 20 học sinh, trong đĩ cĩ 2 cán bộ lớp Hỏi cĩ bao nhiêu cách cử 3người đi dự hội nghị Hội sinh viên của trường sao cho trong 3 người đĩ cĩ ítnhất một cán bộ lớp

27 (HV Quân y 2000)

Xếp 3 viên bi đỏ cĩ bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau vào mộtdãy 7 ơ trống Hỏi:

1 Cĩ bao nhiêu cách xếp khác nhau?

2 Cĩ bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên

bi xanh xếp cạnh nhau?

28 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000)

Cĩ bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9?

29 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000)

Cĩ bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau lớn hơn 500000?

30 (CĐSP Nha Trang 2000)

Với các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ

số khác nhau và trong đĩ phải cĩ mặt chữ số 0

31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

Một lớp học sinh mẫu giáo gồm 15 em, trong đĩ cĩ 9 em nam, 6 em nữ Cơ giáochủ nhiệm muốn chọn một nhĩm 5 em để tham dự trị chơi gồm 3 em nam và 2

em nữ Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn?

32 (ĐH An ninh khối D 2001)

Trang 4

Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 Hỏi cĩ thể thành lập được bao nhiêu số cĩ bảy chữ

số từ những chữ số trên, trong đĩ chữ số 4 cĩ mặt đúng 3 lần, cịn các chữ sốkhác cĩ mạt đúng 1 lần

33 (ĐH Cần Thơ 2001)

Một nhĩm gồm 10 học sinh, trong đĩ cĩ 7 nam và 3 nữ Hỏi cĩ bao nhiêu cáchsắp xếp 10 học sinh trên thành một hàng dài sao cho 7 học sinh nam phải đứngliền nhau

34 (HV Chính trị quốc gia 2001)

Một đội văn nghệ cĩ 10 người, trong đĩ cĩ 6 nữ và 4 nam

1 Cĩ bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhĩm cĩ số người bằng nhau

và mỗi nhĩm cĩ số nữ như nhau

2 Cĩ bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đĩ khơng cĩ quá 1 nam

35 (ĐH Giao thơng vận tải 2001)

Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Hỏi cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ sốkhác nhau, trong đĩ nhất thiết phải cĩ mặt chữ số 4

36 (ĐH Huế khối ABV 2001)

Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho khơng cĩ chữ số nào lặp lại đúng

3 lần?

37 (ĐH Huế khối DHT 2001)

Từ một nhĩm học sinh gồm 7 nam và 6 nữ, thầy giáo cần chọn ra 5 em tham dự

lễ mittinh tại trường với yêu cầu cĩ cả nam và nữ Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn?

38 (HV Kỹ thuật quân sự 2001)

Trong số 16 học sinh cĩ 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình Cĩ bao nhiêu cáchchia số học sinh đĩ thành 2 tổ, mỗi tổ cĩ 8 người sao cho ở mỗi tổ đều cĩ họcsinh giỏi và mỗi tổ cĩ ít nhất 2 học sinh khá

39 (ĐH Kinh tế quốc dân 2001)

Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số

cĩ 5 chữ số khác nhau và trong đĩ phải cĩ chữ số 5

40 (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001)

1 Cĩ thể tìm được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau đơi một?

2 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 cĩ thể lập được bao nhiêu số chẵn cĩ 5 chữ

số đơi một khác nhau?

41 (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001)

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể thiết lập được bao nhiêu số cĩ 6 chữ số khácnhau mà hai chữ số 1 và 6 khơng đứng cạnh nhau?

42 (ĐH Nơng nghiệp I HN khối A 2001)

Cĩ 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc Hỏi cĩ bao nhiêucách xếp để cĩ đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ 3 học sinh nữ (Khi đổi chỗ 2học sinh bất kì cho nhau ta được một cách xếp mới)

Trang 5

2 Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 cĩ mặt đúng 2 lần,chữ số 3 cĩ mặt đúng 3 lần và các chữ số cịn lại cĩ mặt khơng quá một lần

1 Cĩ bao nhiêu tập hợp con của A?

2 Cĩ bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà cĩ số phần tử là số chẵn?

1 Cĩ bao nhiêu số chẵn cĩ ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1,

1 Hai học sinh nữ và hai học sinh nam

2 Một học sinh nữ và một học sinh nam

49 (ĐH Y HN 2001)

Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 cĩ thể lập được bao nhiêu số chẵn cĩ ba chữ

số khác nhau và khơng lớn hơn 789?

50 (ĐH khối D dự bị 1 2002)

Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đĩ cĩ 7 học sinh khối

12, 6 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10 Hỏi cĩ bao nhiêu cách cử 8 học sinhtrong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối cĩ ít nhất một em được chọn

1 Tìm số giao điểm tối đa của:

a) 10 đường thẳng phân biệt

b) 6 đường trịn phân biệt

Trang 6

2 Từ kết quả của câu 1) hãy suy ra số giao điểm tối đa của tập hợp các đường nĩitrên

58 (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002)

Từ 5 chữ số 0, 1, 2, 5, 9 cĩ thể lập được bao nhiêu số lẻ, mỗi số gồm 4 chữ sốkhác nhau

59 (ĐH khối B 2004)

Trong một mơn học, thầy giáo cĩ 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khĩ, 10câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đĩ cĩ thể lập được bao nhiêu đềkiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau và nhất thiết phải cĩ đủ 3 loại câu hỏi(khĩ, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ khơng ít hơn 2

60 (ĐH khối B 2005)

Một đội thanh niên tình nguyện cĩ 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi cĩ baonhiêu cách phân cơng đội thanh niên tình nguyện đĩ về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi,sao cho mỗi tỉnh cĩ 4 nam và 1 nữ

61 (ĐH khối A 2005 dự bị 1)

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi

số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngànbằng 8

65 (CĐ GTVT III khối A 2006)

Từ một nhĩm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, 5 học sinh khối C,chọn ra 15 học sinh sao cho cĩ ít nhất 5 học sinh khối A và đúng 2 học sinh khối

C Tính số cách chọn

66 (CĐ Tài chính – Hải quan khối A 2006)

Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đĩ chữ số 0 cĩ mặt đúng 2 lần, chữ

số 1 cĩ mặt đúng 1 lần và hai chữ số cịn lại phân biệt?

Trang 7

Cho 2 đường thẳng d1, d2 song song với nhau Trên đường thẳng d1 cho 10 điểmphân biệt, trên đường thẳng d2 cho 8 điểm phân biệt Hỏi cĩ thể lập được baonhiêu tam giác mà 3 đỉnh của mỗi tam giác lấy từ 18 điểm đã cho

Vậy cĩ 64 tập con X của A chứa 1 và khơng chứa 2

2 Gọi * m là số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đơi một khác nhau lấy

Bước 1: Đặt 3 nhĩm sách lên kệ dài: 3! cách

Bước 2: Trong mỗi nhĩm ta cĩ thể thay đổi cách xếp đặt sách:

Trang 8

Giai đoạn 2: Trong nhĩm học sinh của trường A, cĩ 6! cách xếp các em vào 6chỗ

Tượng tự, cĩ 6! cách xếp 6 học sinh trường B vào 6 chỗ

Kết luận: cĩ 2.6!6! = 1036800 cách

2 Học sinh thứ nhất trường A ngồi trước: cĩ 12 cách chọn ghế để ngồi

Sau đĩ, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ nhất trường A: cĩ

X \ {0,e} Vậy cĩ 3.A = 360 số chẵn cĩ dạng 0bcde 36

Kết luận: cĩ 3360 – 360 = 3000 số thoả yêu cầu đề bài

2 n = abcde

* Xem các số hình thức abcde (kể cả a = 0) Cĩ 3 cách chọn vị trí cho 1 Sau đĩchọn chữ số khác nhau cho 3 vị trí cịn lại từ X \ {1}: cĩ A cách.74

Như thế: cĩ 3.A = 2520 số hình thức thoả yêu cầu đề bài.47

* Xem các số hình thức 0bcde Cĩ 2 cách chọn vị trí cho 1 Chọn chữ số khácnhau cho 3 vị trí cịn lại từ X \ {0,1}, số cách chọn là A 36

Như thế: cĩ 2.A = 240 số hình thức dạng 0bcde 36

Kết luận: số các số n thoả yêu cầu đề bài là: 2520 – 240 = 2280 số

5. (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999)

Vậy số cách chọn để 4 bi lấy ra khơng đủ 3 màu là: 1365 – 720 = 645

6. (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999)

1 * Xếp các phiếu số 1, 2, 3, 5 cĩ 4! = 24 cách

* Sau đĩ xếp phiếu số 4 vào cạnh phiếu số 2 cĩ 2 cách

Vậy: cĩ 2.24 = 48 cách xếp theo yêu cầu đề bài

8

Trang 9

2 * Khi nhĩm chẵn ở bên trái, nhĩm lẻ ở bên phải Số cách xếp cho 2 số chẵn

là 2! cách Số cách xếp cho 3 số lẻ là: 3! cách

Vậy cĩ 2.6 = 12 cách

* Tương tự cũng cĩ 12 cách xếp mà nhĩm chẵn ở bên phải, nhĩm lẻ ở bên trái.Vậy: cĩ 12 + 12 = 24 cách

7. (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999)

Số cĩ 6 chữ số khác nhau cĩ dạng: abcdef với a ≠ 0

2 Lập một số cĩ 9 chữ số thoả mãn yêu cầu; thực chất là việc xếp các số 2, 3, 4,

5 vào 4 vị trí tuỳ ý trong 9 vị trí (5 vị trí cịn lại đương nhiên dành cho chữ số 1lặp 5 lần)

Vậy: cĩ 24 cách xếp thoả yêu cầu

2 Xếp A và E ngồi ở hai đầu ghế: cĩ 2! = 2 cách

Trang 10

Do đĩ cĩ 24 + 18 = 42 số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5

Vậy cĩ: 96 – 42 = 54 số gồm 4 chữ số khác nhau và khơng chia hết cho 5

Số cách chọn sao cho khơng cịn sách Văn là: A 7 = 504056

Số cách chọn sao cho khơng cịn sách Nhạc là: A A = 2016046 28

Số cách chọn sao cho khơng cịn sách Hoạ là: A A = 6048036 39

Số cách chọn cần tìm là: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 579600

13 (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000)

1 Để cĩ ít nhất là 2 nữ thì ta phải chọn:

* 2 nữ, 4 nam → cĩ C C cách152 430hoặc * 3 nữ, 3 nam → cĩ C C cách153 330

Trang 11

14 (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000)

1 Xếp chữ số 2 vào một trong năm vị trí: cĩ 5 cách xếp

Sau đĩ xếp 5 chữ số cịn lại vào 4 vị trí cịn lại: cĩ A = 120 cách.45

Trang 12

2 Cĩ ít nhất 2 nam và 1 nữ, cĩ các kiểu chọn sau:

19 (ĐH Thái Nguyên khối G 2000)

Xét một số cĩ 4 chữ số tuỳ ý đã cho a a a a Cĩ hai khả năng:1 2 3 4

1 Nếu a1 + a2 + a3 + a4 là số chẵn thì cĩ thể lấy a5 ∈ {1, 3, 5, 7, 9} và lập được 5

Trang 13

Vậy tất cả cĩ: 5!5! + 5!5! cách

22 (ĐH Sư phạm HN 2 khối A 2000)

Cĩ 8 ơ trống, cần chọn ra 1 ơ điền chữ số 2, 1 ơ điền chữ số 3, 1 ơ điền chữ số 4,

1 ơ điền chữ số 5 Sau đĩ trong 4 ơ cịn lại, cần chọn 2 ơ điền chữ số 1, cuối cùngcịn lại 2 ơ điền chữ số 6

Vậy cĩ tất cả cĩ: 8.7.6.5.C 1 = 10080 số thoả yêu cầu đề bài.24

23 (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000)

24 (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000)

Theo yêu cầu của bài tốn và số 0 khơng đứng trước bất kì số nào nên các số cĩ 5chữ số chỉ cĩ thể tạo thành từ các số {1, 2, 3, 4, …, 8, 9} = T Ứng với mỗi bộ 5chữ số phân biệt bất kì trong T chỉ cĩ 1 cách sắp xếp duy nhất thoả mãn đứngsau lớn hơn chữ số liền trước

28 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000)

Các số cĩ 6 chữ số, chia hết cho 9, viết theo thứ tự tăng là:

Trang 14

Vậy tất cả cĩ 50000 số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9

29 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000)

Vậy số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu là: 300 – 120 = 180 số

31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

Trang 15

Vậy tất cả cĩ: 4!7! = 120960 cách

34 (HV Chính trị quốc gia 2001)

1 Chia đội văn nghệ thành hai nhĩm cĩ số người bằng nhau và mỗi nhĩm cĩ số

nữ như nhau tức là chia mỗi nhĩm cĩ 5 người mà trong đĩ cĩ 3 nữ và 2 nam ⇒

Trang 16

Trang 17

• Trường hợp 1: Số tạo thành chứa chữ số 0:

Cĩ 4 cách chọn vị trí cho chữ số 0 Sau đĩ cịn 4 cách chọn vị trí cho chữ số 5

2 • Trường hợp 1: Chữ số tận cùng bằng 0 Bốn chữ số đứng đầu được chọntuỳ ý trong 7 chữ số cịn lại nên số các số tạo thành là: A = 84047

42 (ĐH Nơng nghiệp I HN khối A 2001)

Đánh số vị trí đứng từ 1 đến 9

Để cĩ đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ với 3 học sinh nữ thì mỗi học sinh nữđứng cách nhau một, tức là 3 học sinh nữ đứng ở các vị trí (1;3;5); (2;4;6);(3;5;7); (4;6;8); (5;7;9)

Trang 18

1 Số được xét cĩ dạng: a a a a a a Xếp chữ số 0 vào các vị trí từ a2 đến a6:1 2 3 4 5 6

cĩ 5 cách xếp Cịn lại 5 vị trí, ta chọn 5 trong 8 chữ số để xếp vào 5 vị trí này:

Cịn 2 vị trí, chọn 2 chữ số tuỳ ý để xếp vào 2 vị trí này: cĩ 2!C cách.28

Như vậy nếu xét cả các số bắt đầu bằng chữ số 0 thì cĩ:

2 7

C 3 5

C 2! 2 8

Trang 19

Lập luận tương tự, tổng tất cả chữ số hàng chục của các phần tử x ∈ X là:3360.10; …

1 Xét các số chẵn x = abc với 3 chữ số khác nhau; a, b, c ∈ {1;2;3;4;5} = E

Trang 20

Tổng số cách chọn 8 học sinh từ 18 em của đội tuyển là: C = 43758188

Tổng số cách trên được phân làm hai bộ phận rời nhau:

Bộ phận I gồm các cách chọn từ đội tuyển ra 8 em sao cho mỗi khối đều cĩ emđược chọn (số cách phải tìm)

Bộ phận II gồm các cách chọn từ đội tuyển ra 8 em chỉ gồm 2 khối (lưu ý là số

em thuộc mỗi khối đều ít hơn 8 nên khơng cĩ cách chọn nào mà cả 8 em thuộccùng một khối)

Bộ phận II cĩ thể chia thành ba loại:

• 8 em được chọn từ khối 12 hoặc 11: cĩ C cách.138

Vậy số cách phải tìm là: C – (188 C + 138 C + 128 C ) = 41811 cách.118

51 (ĐH khối A 2003 dự bị 2)

Ta coi cặp (2;3) chỉ là một phần tử “kép”, khi đĩ chỉ cĩ 5 phần tử là 0, 1, (2; 3),

4, 5 Số hốn vị của 5 phần tử này là P5, phải loại trừ số trường hợp phần tử 0 ở

vị trí đầu gồm P4 trường hợp Chú ý rằng đối với phần tử kép, ta cĩ thể giao hốnnên số trường hợp sẽ được nhân đơi Nên số các số tự nhiên thoả mãn đề bài là:2(P5 – P4) = 192 số

20

Trang 21

Các số phải lập là chẵn nên phải cĩ chữ số đứng cuối cùng là 0 hoặc 2, 4, 6, 8

• Trường hợp chữ số đứng cuối là 0: thì 6 chữ số cịn lại là một chỉnh hợp chập 6của 8 phần tử Do đĩ cĩ A số thuộc loại này.68

• Trường hợp chữ số đứng cuối là một trong các chữ số 2, 4, 6, 8: thì 6 chữ sốcịn lại là một chỉnh hợp chập 6 của 8 phần tử (kể cả số cĩ chữ số 0 đứng đầu).Vậy số các số loại này là: 4.(A68−A 57)

Vậy tất cả cĩ: A + 4.68 (A68−A = 90720 số.57)

55 (CĐ Sư phạm khối A 2002)

1 a) Hai đường thẳng phân biệt cĩ tối đa 1 giao điểm ⇒ Số giao điểm tối đacủa 10 đường thẳng phân biệt là C = 45 điểm.102

b) Hai đường trịn phân biệt cĩ tối đa 2 giao điểm ⇒ Số giao điểm tối đa của

6 đường trịn phân biệt là 2.C = 30 điểm.26

2 Vì 1 đường thẳng và 6 đường trịn cĩ tối đa 12 giao điểm Do đĩ số giao điểmtối đa giữa 10 đường thẳng và 6 đường trịn là: 10.12 = 120

Vậy số giao điểm tối đa của tập hợp các đường đã cho là:

45 + 30 + 120 = 195 điểm

56 (CĐ Sư phạm khối A 2002 dự bị)

Trang 22

Một đoạn thẳng nối 2 đỉnh của đa giác tương ứng một tổ hợp chập 2 của n phần

tử ⇒ Số đoạn thẳng nối 2 đỉnh của đa giác là: Cn2

Một đoạn thẳng nối 2 đỉnh của đa giác hoặc là cạnh hoặc là đường chéo

⇒C = n + 2n 2n ⇔ n(n 1)2− = 3n ⇔ n2 – n = 6n

⇔ n2 – 7n = 0 ⇔  =n 7n 0= (loại)Vậy n = 7

Vậy cĩ tất cả: 12 + 8 = 20 số thoả yêu cầu đề bài

58 (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002)

Số cần tìm cĩ dạng: a a a a 1 2 3 4

Chọn a4 từ {1, 5, 9} ⇒ cĩ 3 cách chọn

Chọn a1 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {0, a4} ⇒ cĩ 3 cách chọn

Chọn a2 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a4} ⇒ cĩ 3 cách chọn

Chọn a3 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a2, a4} ⇒ cĩ 2 cách chọn

Vậy tất cả cĩ: 3.3.3.2 = 54 số thoả mãn yêu cầu đề bài

59 (ĐH khối B 2004)

Mỗi đề kiểm tra cĩ số câu dễ là 2 hoặc 3, nên cĩ các trường hợp sau:

* Đề cĩ 2 câu dễ, 2 câu trung bình, 1 câu khĩ ⇒ cĩ C C C đề.152 210 15

Trang 23

Cĩ C C cách phân cơng các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất Với mỗi1 43 12cách phân cơng các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất, thì cĩ C C cách1 42 8phân cơng các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ hai Với mỗi cách phân cơngcác thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất và tỉnh thứ hai, thì cĩ C C cách1 41 4phân cơng các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ ba

Vậy tất cả cĩ: C C 1 43 12 C C 1 42 8 C C = 207900 cách phân cơng.1 41 4

61 (ĐH khối A 2005 dự bị 1)

Gọi x = a a a a a a là số cần lập.1 2 3 4 5 6

YCBT: a3 + a4 + a5 = 8 ⇒ a3, a4, a5 ∈ {1, 2, 5} hoặc a3, a4, a5 ∈ {1, 3, 4}

a) Khi a3, a4, a5 ∈ {1, 2, 5}

Trước tiên ta cĩ thể xếp 1 và 5 vào 2 trong vị trí: cĩ A = 20 cách.25

Sau đĩ, ta cĩ 5 cách chọn 1 chữ số cho vị trí cịn lại đầu tiên

4 cách chọn 1 chữ số cho vị trí cịn lại thứ hai

3 cách chọn 1 chữ số cho vị trí cịn lại thứ ba

Vậy tất cả cĩ: 20.5.4.3 = 1200 số

• Cách 2:

* Bước 1: Xếp 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí: cĩ A = 20 cách.25

* Bước 2: cĩ A = 60 cách xếp 3 trong 5 số cịn lại vào 3 vị trí cịn lại.35

Vậy cĩ 20.60 = 1200 số

64 (ĐH khối D 2006)

Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là: C = 495124

Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp cĩ ít nhất một em được tính như sau:

Trang 24

• Lớp A cĩ 2 học sinh, các lớp B, C mỗi lớp 1 học sinh

Số cách chọn được 4 học sinh khối A và 9 học sinh khối B là: C C415 109

Số cách chọn được 3 học sinh khối A và 10 học sinh khối B là: C C15 103 10

⇒ Số cách chọn sao cho cĩ nhiều nhất 4 học sinh khối A là:

Trang 25

• Đặt S là tổng của 41 số đĩ

S = (10 + 12 + 14 + … + 96 + 98) – (22 + 44 + 66 + 88)

= 45.10 98+

2 – 10.22 = 45.54 – 220 = 2210.

68 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

• Hai đỉnh thuộc d1, một đỉnh thuộc d2: cĩ C 8 tam giác102

• Hai đỉnh thuộc d2, một đỉnh thuộc d1: cĩ C 10 tam giác28

3. (ĐH Ngoại ngữ HN chuyên ban 1999)

Tìm các số nguyên dương x thoả: C1x+6C2x+6C3x =9x2−14x

3 15

x x x , hãy tìm số hạng khơng phụ thuộc vào

x, biết rằng Cnn+Cn 1n− +Cn 2n− =79

9. (ĐHSP HN khối BD 2000)

Định dạng
Số trang	51
Dung lượng	915,5 KB