Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng a.. Một số trường hợp khác... + Để tìm chữ số tận cùng của một số ta thường đưa về dạng các số có chữ số tận cùng là một trong các chữ số đó... Tìm ch
Trang 1
1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
a Định nghĩa luỹ thừa với số mũ tự nhiên
an = 1a .42a 4a (n ∈ N*)
n thừa số
b Một số tính chất :
Với a, b, m, n ∈ N
am an = am+n, am an ap = am+n+p (p ∈ N)
am : an = am-n (a ≠ 0, m > n) (a.b)m = am bm (m ≠ 0) (am)n = am.n (m,n ≠ 0) Quy ước:
a1 = a
Với : x, y ∈ Q; m, n ∈ N; a, b ∈ Z
xn = 1x .42x 4x (x ∈ N*)
n thừa số
n
n n
b
a b
a
=
(b ≠ 0, n ≠ 0)
xo = 1
xm xn = xm+n
n m n
m x x
(x ≠ 0)
x-n = n
x
1
(x ≠ 0)
(xm)n = xm.n
(x.y)m = xm ym
CHUYÊN ĐỀ: L ŨY THỪA
Trang 2CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (01695316875) HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2
n n n
y
x y
x
=
c Kiến thức bổ sung
* Với mọi x, y, z ∈ Q:
x < y <=> x + z < y + z
Với z > 0 thì: x < y <=> x z < y z
z < 0 thì: x < y <=> x z > y z
* Với x ∈ Q, n ∈ N:
(-x)2n = x2n (-x)2n+1 = - x2n+1
* Với a, b ∈ Q;
a > b > 0 => an
> bn
a > b <=> a2n +1 > b2n + 1
a > 1 , m > n > 0 => am > an
0 < a < 1 , m > n > 0 => am > an
2 CÁC DẠNG BÀI TẬP
1 Dạng 1: Tìm số chưa biết
2.1.1 Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong luỹ thừa
*Phương pháp: Đưa về hai luỹ thừa cùng số mũ
Bài 1: Tìm x biết rằng:
a, x3 = -27 b, (2x - 1)3 = 8
c, (x + 2)2 = 16 d, (2x - 3)2 = 9
Bài 2 Tìm số hữu tỉ x biết : x2
= x5
Bài 3 Tìm số hữu tỉ y biết : (3y - 1)10 = (3y - 1)20 (*)
Bài 3 : Tìm x biết : (x - 5)2
= (1 - 3x)2 Bài 4 : Tìm x và y biết : (3x - 5)100 + (2y + 1)200 ≤ 0 (*)
Bài 5 :Tìm các số nguyên x và y sao cho : (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < 4
BT tương tự (BTTT):
1 Tìm x biết :
a, (2x – 1)4 = 81 b, (x -2)2 = 1
c, (x - 1)5 = - 32 d, (4x - 3)3 = -125
2 Tìm y biết :
a, y200 = y b, y2008 = y2010
Trang 3c, (2y - 1)50 = 2y – 1 d, (
3
y
-5 )2000 = (
3
y
-5 )2008
3 Tìm a , b ,c biết :
a, (2a + 1)2 + (b + 3)4 + (5c - 6)2 ≤ 0
b, (a - 7)2 + (3b + 2)2 + (4c - 5)6 ≤ 0
c, (12a - 9)2 + (8b + 1)4 + (c +19)6 ≤ 0
d, (7b -3)4 + (21a - 6)4 + (18c +5)6 ≤ 0
3.1.2 Tìm số mũ , thành phần trong số mũ của lũy thừa
Phương pháp : Đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số
Bài 1 : Tìm n ∈ N biết :
a, 2008n = 1 c, 32-n 16n = 1024
b, 5n + 5n+2 = 650 d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162
Bài 2 : Tìm hai số tự nhiên m , n biết :
2m + 2n = 2m+n
Bài 3 : Tìm các số tự nhiên n sao cho :
a, 3 < 3n ≤ 234
b, 8.16 ≥ 2n ≥ 4
Bài 4 : Tìm số tự nhiên n biết rằng :
415 915 < 2n 3n < 1816 216 BTTT:
1 Tìm các số nguyên n sao cho
a 9 27n = 35 b (23 : 4) 2n = 4
c 3-2 34 3n = 37 d 2-1 2n + 4 2n = 9 25
2 Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho :
a 125.5 ≥ 5n ≥ 5.25 b (n54)2 = n
c 243 ≥ 3n ≥ 9.27 d 2n+3 2n =144
3 Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng
a 2x+1 3y = 12x b 10x : 5y = 20y
4 Tìm số tự nhiên n biết rằng
a 411 2511 ≤ 2n 5n ≤ 2012.512
2 2
6 6 6 6 6 6 3 3 3
4 4 4 4
5 5
5 5 5 5 5 5
5 5 5
5 5 5 5
= +
+ + + + + +
+
+ + +
3.1.3 Một số trường hợp khác
Trang 4CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (01695316875) HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2
Bài 1: Tìm x biết:
(x-1) x+2 = (x-1)x+4 (1)
Bài 2 : Tìm x biết :
x(6-x)2003 = (6-x)2003
Bài 3 : Tìm các số tự nhiên a, b biết :
a 2a + 124 = 5b
b 10a + 168 = b2
a) 2a + 124 = 5b (1)
3.2 Dạng 2 : Tìm chữ số tận cùng của một giá trị lũy thừa
3.2.1 Tìm một chữ số tận cùng
* Phương pháp : cần nắm được một số nhận xét sau :
+) Tất cả các số có chữ số tận cùng là : 0 ; 1 ; 5 ; 6 nâng lên lũy thừa nào ( khác 0) cũng có chữ số tận cùng là chính những số đó
+) Để tìm chữ số tận cùng của một số ta thường đưa về dạng các số có chữ số tận cùng là một trong các chữ số đó
+) Lưu ý : những số có chữ số tận cùng là 4 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 6 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 4
Những số có chữ số tận cùng là 9 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là
1 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 9
+) Chú ý : 24 = 16 74 = 2401 34 = 81 84 =
4096
Bài 1 : Tìm chữ số tận cùng của các số : 20002008
, 11112008 , 987654321 , 204681012 Dựa vào những nhận xét trên học sinh có thể dễ dàng tìm được đáp án :
20002008 có chữ số tận cùng là chữ số 0
11112008 có chữ số tận cùng là chữ số 1
987654321 có chữ số tận cùng là chữ số 5
204681012 có chữ số tận cùng là chữ số 6
Bài 2 : Tìm chữ số tận cùng của các số sau :
20072008 , 1358 2008 , 23456 , 5235, 204208, 20032005 , 99
9 , 4
7
5 ,996, 81975 , 20072007 ,
Trang 510231024
Bài 3 : Cho A = 172008 – 112008 – 32008 Tìm chữ số hàng đơn vị của A
Đây là dạng toán tìm chữ số tận cùng của một tổng , ta phảI tìm chữ số tận cùng của tong số hạng , rồi cộng các chữ số tận cùng đó lại
Bài 4 : Cho M = 1725
+ 244 – 1321 Chứng tỏ rằng : M M 10
Ta thấy một số chia hết cho 10 khi có chữ số tận cùng là 0 nên để chứng tỏ M M 10 ta chứng tỏ M có chữ số tận cùng là 0
Bài 5: Tìm chữ số tận cùng của các số có dạng:
a A = 24n – 5 (n ∈ N, n ≥ 1)
b B = 24n + 2+ 1 (n ∈ N)
c C = 74n – 1 (n ∈ N)
Bài 6 : Chứng tỏ rằng, các số có dạng:
a , A = 22n − 1 chia hết cho 5 (n ∈ N, n ≥ 2)
b , B = 24n + 4 chia hết cho 10 (n ∈ N, n ≥ 1)
c , H = 92n + 3 chia hết cho 2 (n ∈ N, n ≥ 1)
Bài tập luyện tập :
1, Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
22222003; 20082004; 20052005; 20062006 9992003;
20042004; 77772005; 1112006; 20002000; 20032005
2, Chứng tỏ rằng, với mọi số tự nhiên n :
a, 34n + 1 + 2 chia hết cho 5
b, 24n + 1 + 3 chia hết cho 5
c, 92n + 1 + 1 chia hết cho 10
3, Chứng tỏ rằng các số có dạng:
a, 2n
2 +1 có chữ số tận cùng bằng 7 (n ∈ N, n ≥ 2)
b, 24n + 1 có chữ số tận cùng bằng 7 (n ∈ N, n ≥ 1)
c, 2n
3 +4 chia hết cho 5 (n ∈ N, n ≥ 2)
d, 4n
3 - 1 chia hết cho 10 (n ∈ N, n ≥ 1)
4, Tìm chữ số hàng đơn vị của :
a, A = 66661111 + 11111111 - 665555
b, B = 10n + 555n + 666n
c, H = 99992n +9992n+1 +10n ( n ∈ N*)
Trang 6CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (01695316875) HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2
d, E = 20084n + 20094n + 20074n ( n ∈ N*)
5 Trong các số sau số nào chia hết cho 2 , cho 5 , cho 10 ?
a, 34n+1 + 1 (n ∈ N
b, 24n+1 -2 (n ∈ N)
c, 2n
2 +4 (n ∈ N, n ≥ 2)
d, 4n
9 - 6 (n ∈ N, n ≥ 1)
6 Tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên a để a2 + 1 M 5
7 Tìm số tự nhiên n để n10 + 1 M 10
8 Chứng tỏ rằng , bới mọi số tự nhiên n thì :
a, 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n M 10 (n > 1)
b, 3n+3 + 2n+3 + 3n+1 + 2n+2M 6
3.2.2 Tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa
* Phương pháp : Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa , ta cần chú ý
những số đặc biệt sau :
+) Các số có tận cùng là 01 , 25 , 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng chính nó
+) Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa ta thường đưa về dạng các số có hai chữ số tận cùng là : 01 ; 25 hoặc 76
+) các số 210 ; 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 có tận cùng bằng 76
+) các số 320; 910; 815; 74; 512; 992 có tận cùng là 01
+) Số 26n (n ∈ N, n >1)
Bài 1 : Tìm hai chữ số tận cùng của : 2100 ; 3100
Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của :
a, 5151 b, 9999 c, 6666 d, 14101
16101
Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của:
a, 512k; 512k+1 (k∈ N*)
b, 992n; 992n+1; 99 9999; (n∈ N*)
c, 65n; 65n+1; 6666
6 ; (n∈ N*)
Bài tập luyện tập:
1 Tìm hai chữ số tận cùng của :
Trang 7a, 72003 b, 9 99 c, 742003
d, 182004 e, 682005 f, 742004
2 Tìm hai chữ số tận cùng của :
a, 492n ; 492n+1 (n∈ N)
b, 24n 38n (n∈ N)
c, 23n 3n ; 23n+3 3n+1 (n∈ N)
d, 742n ; 742n+1 (n∈ N)
3 Chứng tỏ rằng :
a, A = 262n - 26 M 5 và M 10 ( n∈ N, n > 1)
b, B = 242n+1 + 76 M 100 (Với n∈ N)
c, M = 512000 742000 992000 có 2 chữ số tận cùng là 76
3.2.3 Tìm 3 chữ số tận cùng trở lên
*Phương pháp : Chú ý một số điểm sau
+) Các số có tận cùng 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng bằng chính số đó
+) Số có tận cùng 0625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng bằng 0625
Bài 1 Tìm 3 chữ số tận cùng, 4 chữ số tận cùng của 52000
Bài 2 : Tìm ba chữ số tận cùng của:
a, 23n 47n (n∈ N*)
b, 23n+3 47n+2 (n∈ N)
Bài 3: Chứng tỏ rằng:
a 4n
5 + 375 M 1000 ( n∈ N, n ≥ 1)
b 5 2n - 25 M 100 ( n∈ N, n ≥ 2)
c 2001n + 23n 47n + 252n có tận cùng bằng 002
3.3 Dạng 3 : So sánh hai lũy thừa
* Phương pháp : để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có
cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử dụng các lũy thừa trung gian để so sánh) +) Lưu ý một số tính chất sau :
Với a , b , m , n∈ N , ta có : a > b an > bn ∀n∈ N*
m > n am > an (a > 1)
a = 0 hoặc a = 1 thì am = an ( m.n ≠0)
Trang 8CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (01695316875) HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2
Với A , B là các biểu thức ta có :
An > Bn A > B > 0
Am > An => m > n và A > 1
m < n và 0 < A < 1
Bài 1 : So sánh :
a, 33317 và 33323
b, 200710 và 200810
c, (2008-2007)2009 và (1998 - 1997)1999
Bài 2 : So sánh
a, 2300 và 3200 e, 9920 và 999910
b, 3500 và 7300 f, 111979 và 371320
c, 85 và 3.47 g, 1010 và 48.505
d, 202303 và 303202 h, 199010 + 1990 9 và 199110
Bài 3 Chứng tỏ rằng : 527 < 263 < 528
Bài 4 So sánh :
a, 10750 và 7375
b, 291 và 535
Bài 5 So sánh :
a, (-32)9 và (-16)13 b, (-5)30 và (-3)50
c, (-32)9 và (-18)13 d, (
16
1
−
)100 và (
2
1
−
)500
Bài 6 So sánh A và B biết : A =
1 2008
1 2008
2009 2008
+
+
; B =
1 2008
1 2008
2008 2007
+
+
Bài 8 So sánh M và N biết: M =
1 100
1 100
99 100
+
+
; N =
1 100
1 100
100 101
+ +
BTTT:
1 b, 521 và 12410 c, 3111 và 1714
d, 421 và 647 e, 291 và 535 g, 544 và 2112
h, 230 + 330 + 430 và 3 2410
2 So sánh :
Trang 9a,
1
và
1
1
và
1
c,
8
4
1
− và
5
8
1
d,
15
10
1
và
20
10
3
3 So sánh :
a, A =
1 13
1 13 16 15
+
+
và B =
1 13
1 13 17 16
+
+
b, A =
1 1999
1 1999 1998 1999
+
+
và B =
1 1999
1 1999 1999 2000
+ +
c, A =
1 100
1 100 99 100
+
+
và B =
1 100
1 100 68 69
+ +
3.4 Dạng 4: Tính toán trên các lũy thừa
*Phương pháp: Vận dụng linh hoạt các công thức, phép tính về lũy thừa để
tính cho hợp lí và nhanh Biết kết hợp hài hòa một số phương pháp trong tính toán khi biến đổi
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a, A = 27 7 10 27
27 13 7 30
5 2 5 2
5 2 5 2 + +
b, M = ( )
) 5 ( 6 ( 6 (
) 5 ( 4
+ +
−
−
−
x x x
x
Bài 2: Chứng tỏ rằng:
a, A = 102008 + 125 M 45
b, B = 52008 + 52007 + 52006M 31
c, M = 88 + 220 M 17
d, H = 3135 299 – 3136 36 M 7
Bài 3 Cho A = 2+ 22
+ 23 +……+ 260 Chứng tỏ rằng : AM3 , AM7 , AM5
Bài 4: Chứng tỏ rằng :
a, D = 3 + 32 + 33 + 34 +…… + 32007M 13
b, E = 71 + 72 + 73 + 74 +… + 74n-1 + 74n M 400
Bài 4 : a, Tính tổng : Sn = 1 + a + a2 + + an
Trang 10CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (01695316875) HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2
b, áp dụng tính các tổng sau:
A = 1 + 3 + 32+ … + 32008
B = 1 + 2 + 22 + 23 + ……+ 21982
C = 71 + 72 + 73 + 74 +… + 7n-1 + 7n
Bài 5 : Thu gọn tổng sau : M = 1 - 2 + 22- 23 + … + 22008
Mặc dù đã có công thức tính tổng các lũy thừa viết theo quy luật ở bài 4 nhưng khi tính tổng M thì học sinh không tránh khỏi sự lúng túng với những dấu ‘+’ , ‘-‘ xen kẽ Nếu vận dụng máy móc cách tính tổng B ở câu b, bài 4: lấy 2M - M thì sẽ không thu gọn được tổng M Giáo viên cần giải thích cho học sinh hiểu được : câu b-bài 4, ta tính hiệu hai biểu thức vì hai biểu thức có những số hạng giống nhau ; còn bài 5 này hai tổng 2M và M lại có những số hạng đối nhau nên ta sẽ xét hiệu của chúng :
M = 1 - 2 + 22- 23 + … + 22008
2M= 2 - 22 + 23 – 24 + … + 22009
=> 2M + M = 22009 + 1
=> M =
3
1
22009+
Bài 6 Tính :
a, A = 2 3 100
2
1
2
1 2
1 2
1
+ + + +
b, B = 1+ 2 3 500
5
1
5
1 5
1 5
1
+ + + +
Bài 7 Tính : B = 1002
- 992 + 982 – 972 + ……+22 - 1
Bài 8: Chứng tỏ rằng
2008
1 2007
1
4
1 3
1 2
1
2 2
2 2
2 + + + + + <
b, K =
2
1 14
1 12
1 10
1 8
1 6
1 4
1 2
1
2 2 2 2 2 2
2 + + + + + + <
Bài 9 Chứng tỏ :
2003
1
4
1 3
1 2
1
2 2
2 2
2 + + + + + + <
*
≠
∈N n
b, K = 2 2 2 2 2 2 2
14
1 12
1 10
1 8
1 6
1 4
1 2
1
+ + + + +
2 1
BTTT:
1 Chứng tỏ rằng các biểu thức sau đều viết được dưới dạng số chính phương :
M = 13+23 Q = 13+23+33+43+53
Trang 11N = 13+23+33 R = 13+23+33+43+53+63
P = 13+23+33+43 K = 13+23+33+43+53+63+73
2 Tính A và B bằng hai cách trở lên:
A = 1+2+22+23+24+…….+2n (n ∈ N*)
B = 70+71+72+73+74+……+7n+1 (n ∈ N)
3 Viết tổng sau dưới dạng một lũy thừa của 2;
T = 22+ 22 + 23 +24+25+……+ 22008
4 So sánh :
a, A = 1+2+ 22 + 23 +24+25+……+ 22008 và B = 22009 – 1
b, P = 1 + 3 + 32+ … + 3200 và Q = 3201
c, E = 1 + x + x2+ … + x2008 và F = x2009 (x ∈ N*)
5 Chứng tỏ rằng :
a, 13+33+53+73 M 23
b, 3+33+35+37+……+32n+1 M 30 (n ∈ N*)
c, 1+5+ 52 + 53 +…….+ 5403+5404 M 31
d, 1+4+ 42 + 43 +44+……+ 499 và B = 4100
6 Tìm số dư khi chia A cho 7, biết rằng
A = 1+2+ 22 + 23 +……+ 22008 + 22002
7 Tính:
a, 3S – 22003 biết S = 1 – 2 + 22 - 23 +……+ 22002
b, E = 2100 – 299 – 298 – 297 - … - 22 - 2 – 1
c, H – K biết: H = 1 + 3+ 32 + 33 +……+ 320
K = 321 : 2
8 Tìm :
a, Số tự nhiên n biết: 2A + 3 = 3n
Với A = 3+ 32 + 33 +……+ 3100
b, Chữ số tận cùng của M biết : M = 2+ 22 + 23 +… + 220
9 Chứng tỏ rằng :
a, 87 – 218 M 14 h, 122n+1 + 11n+2 M 133
c, 817 – 279 - 913 M 405 i, 70+71+72+73+… +7101 M 8
b, 106 – 57 M 59 k, 4+ 42 + 43 +44 +……+ 416 M 5