TỔ HỢP - NHỊ THỨC NIUTƠNA.. Định nghĩa: Cho n phần tử khác nhau.. Một tổ hợp chập n phần tử là một tập con chứa r phần tử 2... Tìm tất cả các hạng tử hữu tỷ của khai triển trên.
Trang 1TỔ HỢP - NHỊ THỨC NIUTƠN
A Lý thuyết:
I TỔ HỢP:
1 Định nghĩa:
Cho n phần tử khác nhau Một tổ hợp chập n phần tử là một tập con chứa r phần tử
2 Số tổ hợp n chập r là
)! (
!
3 2 1
) 1 ) (
3 )(
2 (
1
r n r
n r
r n n
n n
n
+
−
−
−
−
=
3 Tính chất:
a) C Cn r
n
r
n
−
=
b) C0=Cn=1
n
n
1
n
r n
r
n
1 1 1
−
−
− +
=
n
r
r
1
−
+
−
= e) C0n+C1n+C2n+ +Cn n=2n
II NHỊ THỨC NIUTƠN
n
n n
n
n n
n n
n
b 2 2 2 1
1 1
Nhận xét: trong biểu thức ở VP của công thức (1)
n, nhưng tồng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n
(qui ước a0 = b0 = 1)
- Số hạng tử thứ k+1 la Tk+1= Cnk a n – k b k
Chú ý:
n
n n
k n n
n n n
+ +
+ + + + +
2
n
n k
n
k n
n
0
−
− + + +
+ +
−
=
B BÀI TẬP
Dạng 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton
Dạng 2: Rút gọn, tính giá trị của biểu thức
Dạng 3: Giải phương trình
Dạng 4: Tìm giá trị của hệ số trong khai triển Newton
Phương pháp:
i
i n
=
∑
+ =
0
Khi đó:
Trang 2Hệ số của số hạng tử thứ i là Ci
n
Số hạng tử thứ i là Cian ibi
n
−
Ta có:
i
i n
i i
n n
i
i n
β
=
−
∑
0 0
Khi đó:
Hệ số của xk
là Ci
n trong đó I là nghiệm của phương trình : α(n−i)+βi=k
Khi k = 0 đó là số hạng không phụ thuộc vào x
Dạng 5: Sử dụng khai triển Newton chứng minh đẳng thức - bất đẳng thức
Trang 3BÀI TẬP NHỊ THỨC NIU – TƠN
Dạng 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn
Dạng 2: Rút gọn, tính giá trị biểu thức
Dạng 3: Giải phương trình
Bài 1: a) ( )5
2b
−
5 0
5
5.(2 )
k
k k
C
5.(2b) a
5.(2b).a
5.(2b) a C
= a5+ 10ba4+ 40 a b2 3+ 80 a b3 2+ 80b4a + 32b5
Bài 2: Viết 3 số hạng đầ tiên theo lũy thừa tăng dần của x trong khai triển
( )8
2
3− x = ∑ =
−
5 0
8
5.(3) (2 )
k
k k
C
Bài 3: Tính
5 5 2
5 2 1 5
0
Ta có:
243 3
2
2 2 3
2
2 2 )
2 1
(
)
1
(
5
5 5 5 2
5 2 1 5
0 5 5
5 5 5 2
5 2 1 5
0 5 5
5 5 5 2
5 2 1 5
0 5 5
=
=
⇒
+ + +
+
=
⇒
+ + +
+
= +
⇒
+ + +
+
= +
S
C C
C C
C C
C C
C x C
x xC C x
n
C +
2
1
n
C
+ … +
1
+
n
C n n
( x)n dx
∫1 +
n n
n
∫1 + + +
0
1
1
0
1
1
) 1 (
+
n
x n
=
1
1
2 1
+
−
+
n
n
Vậy C =
1
1
2 1
+
−
+
n
n
n
n
C + … +(−1)n−1 n n
n
C
((1−x)n)' = [ ( ) n n]
n
n n
n n
C0− 1 + 2 2 − 3 3+ + −1
-n(1−x)n− 1 = − 1+2 2 −3 3 2+ +( )−1 n n− 1
n
n n
n
C
Chọn n(1−1)n−1
= D ⇒ D = 0
Bài 4: Rút gọn biểu thức:
2
3 2
1
2 + + + n−
n n
C
n n
2
2 2
0
2 + + +
2
3 2
1
2 + + + n−
n n
n n
2
2 2
0
2 + + + = (1+1)n
và A - B = C1 +C3 + +C2n−1- (C0 +C2 + +C2n)
Trang 4= (1−1)n
Từ (1) và (2), ta có A=B=22n− 1
Bài 5: Giải phương trình:
10 9
2
− + + + + x
x
c x
x x
x
⇔ C x0+C1x+C x2+ +C x9+C10x = 1024
⇔ 2x = 210
Dạng 4: Tìm giá trị của hệ số trong khai triển Niu-tơn
Bài 1: Tìm số hạng thứ 13 của khai triển (3 )15
2
3+
Ta có số hạng thứ k+1 của khai triển là
15
+ = Theo giả thuyết Tk+1= T13 ⇒ k+1 = 13 ⇒ k = 12
15
13=C ( 3) ( 2)
= 87360
Vậy T13 = 87360
Bài 2: Tìm số hạng thứ 5 của khai triển
13 3
1
−
z
z , số hạng nào chứa z với mũ
số tự nhiên.
Giải
Ta có số hạng thứ k+1 của khai triển là
z z
C 13 (3 1)
13 1
−
+
Theo giả thuyết Tk+1= T5 k+1 = 5 k = 4
z z
3
8
z z
Vậy T5 = 715.3 8
z z
z z
3
13 13 1
−
+
C k.z 3 k.( 1)k
4 39
Do đó, z có số mũ tự nhiên 39 – 4k 3 (0 ≤ k ≤13)
⇒
> k
k
4 39
3
4
⇔
=
=
=
=
9 6 3 0
k k k k
Trang 5+ Với k=0 T1 = z13
+ Với k=3 T4 = - 3 9
13.z
+ Với k=6 T7 = 6 5
13.z
+ Với k=9 T10 = - 9 1
13.z
Vậy các số hạng chứa z với số mũ tự nhiên là
T1 = z13, T3= -286z9, T7 = 1716z5, T10 = -175z
Bài 3: Viết lại P(x) = (1+x) + 2(1 x+ )2 + … + 20(1 x+ )20dưới dạng
P(x) = a 0 + a 1x + a 2x2+ … + a 20x20 Tìm a 9 Giải
Ta có: P(x) = (1+x) + 2(1 x+ )2 + … + 20(1 x+ )20
2
C + 3 0
3
20
2
C + 3 1
3
20
C )x
2
C + 3 2
3
20
20
C x20
9
10
20
C
Bài 4: Trong khai triển
n
x x x
28
n
n
C + n− 1
n
C + n− 2
n
Giải Ta có n
n
C + n− 1
n
C + n− 2
n
⇔ 1 + n + ( )
2
1
−
n n
= 79
⇔ n2 + n - 156 = 0
⇔
−
=
=
13
12
n
n ⇒n = 12
k n k
28 3
8
16 3
4
k
Số hạng không phụ thuộc biến
⇒
5
16 3
12
Bài 6 : Cho biết ba hạng tử đầu tiên của khai triển
n
x x
4
2
1
có các hệ số là
3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng Tìm tất cả các hạng tử hữu tỷ của khai triển trên.
Giải
Theo công thức nhị thức Niu – Tơn ta có:
Số hạng thứ nhất là : C0
2
1
1
n
2
n
Trang 6Số hạng thứ ba là : C
2 2
2
1
n
( )
8
1
−
Theo đề bài ta có : +n(n− ) =n
8
1 1
0 8 9
=
=
⇔
8
1
n
n
Với n = 8 ta có Tk+ 1 =
k k
C
4 1 8
2 1 8
2
1
k
x
3 4
8 2
4
3
4− k<
3
16
>
= 6, 7, 8
k = 6 ta được T7=
x x
C
16
7
2
6 8
6
=
k = 7 ta có T8 = 164
x
256
1
x
Xét
k
2
1
.C8k Ta có :
1=x (loại)
2=4x x(loại)
4=7x x (loại)
k = 4
8
35
k = 5
6
4
7
x
Vậy trong khai triển
n
x x
4
2
1
khi ba số hạng đầu tiên liên tiếp lập thành cấp số
cộng thì ta có các hạng tử hữu tỷ là 4
2
1
x ,
x
16
7
, 164
x
256
1
8
35
, 4
4
7
x
Bài 7 : Tìm hệ số của x101y99 trong khai triển ( )200
3
2x− y
Giải
200 99
101 99 200
100=C 2 −3 =−C 2 3
Bài 8 : Tính hệ số của x5y8 trong khai triển ( )13
y
Giải
Trang 7Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có : T 8 1287
13
Bài 9 : Tìm hệ số của x9 trong khai triển ( )19
2 x−
Giải
Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có :
T 2 ( )1 9.210 94595072
19 9
10 9 19
Bài 10 : Tìm hệ số của x7trong khai triển (3−2x)15
Giải
15 7
8 7 15
8=C 3 −2 =−C 3 2
Bài 11 : Tìm hệ số của x25y10 trong khai triển ( 3 )15
xy
Giải
15 15
3 15
Để tìm hệ số của x25y10 thì
=
=
−
10
25 2 45
k
k
Vậy hệ số của x25y10 trong khai triển ( 3 )15
xy
15
Bài 12 : Biết hệ số của xn− 2 trong khai triển
n
−
4
1
là 31 Tìm n
Giải
Hạng tử chứa xn− 2 trong khai triển là hạng tử chứa hệ số thứ ba, nên theo đề bài ta
4
1 2
−
n
C
( −1) =31.32
−
=
=
⇔
=
−
−
⇔
31
32 0
992
2
n
n n
Vậy hệ số của xn− 2 trong khai triển
n
−
4
1
là 31 thì n = 32
Bài 13 : Biết hệ số x2 trong khai triển ( )n
x
3
Giải
n
−
=
=
⇔
4
5
n
n
(loại n = -4) Vậy hệ số x2 trong khai triển ( )n
x
3
Bài 14 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
8
−
x
Giải
k k
k
x x
8 8
3 8
−
=
Trang 8Để tìm số hạng không chứa x thì 24−2k =0⇔k =6.
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển
8
−
x
x là C6.( )16 28
Dạng 5: Sử dụng khai triển Niu-tơn chứng minh đẳng thức-bất đẳng thức:
Bài 1: Ta có: ( )n
x
+
1 = ∑ =
n k
k k
C
= C n0.x0+ C n1.x
+ C n2.x2+ … + n n
C
Thay x = 4, ta được:
( )n
4
1+ = ∑ =
n k
k k n
C
0 4
5n = C n0.40+ 1.4
n
C + C n2.42+ … + n n
n
C 4 (đpcm !)
Bài 2: Ta có:( )n
x
+
1 = C n0.x0+ C n1.x
+ C n2.x2+ … + n n
C
( )n
1
1+ = 0
n
C + 1
n
C + 2
n
n
và ( )n
x
−
1 = C n0.x0- C n1.x
+ C n2.x2- C n3.x3+ … + n n
n
n.C x
) 1 (− ( )n
1
1− = 0
n
C - 1
n
C + 2
n
C - 3
n
n
n.C
) 1
Lấy (1) + (2), ta được:
2n = 2( 0
n
C + 2
n
C + 4
n
2n− 1 = 0
n
n
n
Lấy (1) - (2), ta được:
2n = 2( 1
n
C + 3
n
C + 5
n
2n−1 = 1
n
C + 3
n
C + 5
n
n
n
C + 4
n
n
C + 3
n
n
C + … = 2n− 1
Bài 3:
n
C +
2
1
n
C
+ … +
1
+
n
C n
1
1
2 1
+
−
+
n
n
Giải
Ta có: ∫1( +x)n dx
1
0
1
1
) 1 (
+
n
x n
=
1
1
2 1
+
−
+
n
n
x
+
n
C + C n1.x
+ C n2.x2+ … + n n
C
Lấy tích phân 2 vế ta được:
1
1
2 1
+
−
+
n
n
= 0
n
C +
2
1
n
C
+ … +
1
+
n
C n
n
C -
2
1
n
C
+ … +(−1)n
1
+
n
C n
1
1
+
n
Giải
Ta có: ∫−0( +x)n dx
0
1
1
1
) 1 (
−
+
+
+
n
x n
=
1
1
+
n
Trang 9Mặt khác: (1−x)n = 0
n
C - C n1.x
+ C n2.x2+ … +(−1)n n n
C
Lấy tích phân 2 vế ta được:
0
n
C -
2
1
n
C
+ … + (−1)n
1
+
n
C n
n =
1
1
+
Bài 4: Với n là số nguyên dương CMR:
n
1 ( 1
n
C + 2 2
n
n
C ) ≤ n!
Giải
Ta có: ( )n
x
+
n
C + C n1.x + C n2.x2+ … + n n
C
Lấy đạo hàm 2 vế ta được:
n( ) 1
1+ n−
n
n
C
n
x − 1
Cho x = 1, ta được:
n( ) 1
1
1+ n−
= 1
n
n
1 −
n
1
n
C + 2 2
n
n
C ) = 2n−1
Mặt khác:
2n−1 ≤ 1.2.3…n = n!
Vậy
n
1
n
C + 2 2
n
n
C ) ≤ n!