Nhị thức Niuton

Song tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n2. c Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau... Lúc mới sinh, newton ốm yếu, quặt quẹo nên m

Gi¸o viªn : Gi¸o viªn : §inh B¸ Hoan §inh B¸ Hoan

Bµi 3: NhÞ thøc Newton

H·y khai triÓn biÓu thøc sau:

(a+b)4 =

= a4+ 4a3b+ 6a2b2+ 4ab3+ b4

aC04 4+ aC14 3b+ aC24 2b2+ abC34 3+ bC44 4

NhËn xÐt: Víi c¸c d¹ng luü thõa bËc cao h¬n, VD (a+b)6, (a+b)10, hay tæng qu¸t : (a+b)n ; ta còng vËn dông quy t¾c nµy

Víi mäi a, b vµ mäi sè tù nhiªn n 1, ta lu«n cã:

(a+b)n = an + an-1b + + an-kbk + + bn (I)

= (Quy íc a0=b0 =1 víi a, b kh¸c 0)

Cn

0

Cn

1

Ck

n Cn n







n

k

k k n k

n a b

C

0

Tæng qu¸t

C«ng thøc (I) ® îc gäi lµ c«ng thøc nhÞ thøc Niuton



VËn dông: Khai triÓn biÓu thøc (a + b)6 =

Theo c«ng thøc NhÞ thøc Niuton ta cã:

Bµi gi¶i

(a+b)6 a= 0 6+ a5b+ a4b2+ a3b3+ a2b4+ ab5+ b6

6

6

6

C

4 6

C

= a6+ 6a5b+ 15a4b2+ 20a3b3+ 15a2b4+ 6ab5+ b6

Víi mäi a, b vµ mäi sè tù nhiªn n 1, ta lu«n cã:

(a+b)n = an + an-1b + + an-kbk + + bn (I)

= (Quy íc a0=b0 =1 víi a, b kh¸c 0)

Cn

0

Cn

1

Ck

n Cn n







n

k

k k n k

n a b

C

0



Víi mäi a, b vµ mäi sè tù nhiªn n 1, ta lu«n cã:

(a+b)n = an + an-1b + + an-kbk + + bn (I)

= (Quy íc a0=b0 =1 víi a, b kh¸c 0)

Cn

0

Cn

1

Ck

n Cn n







n

k

k k n k

n a b

C

0

0

n

n

C

k n

C

* V i a = b =1, ta cã: 2ới a = b =1, ta cã: 2 n = + + … + +

0

n

n

n

C

* V i a = 1, b =-1, ta cã: ới a = b =1, ta cã: 2

0 = - + … + +(-1)k + … + +(-1)n

HÖ qu¶



1 Cho biết trong khai triển có bao nhiêu số

hạng?

2 Số mũ của a và b thay đổi nh thế nào?

3 Hãy nêu đặc điểm của các hệ số trong khai

triển (a + bn?

Với mọi a, b và mọi số tự nhiên n 1, ta luôn có:

(a+b)n = an + an-1b + + an-kbk + + abn-1 + bn

= (Quy ớc a0=b0=1)

Cn

0

Cn

1

C k

n









n k

k k n k

n a b

C

0

1

n n

C 

Chú ý

Trong biểu thức ở vế phải của công thức (I):

a) Số các hạng tử là n+1

b) Các hạng tử có: Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n Song tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n

c) Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau

e 2n = (1+1)n = + + + +

Tính chất

k n k k

n a b

C 

Cn

0

Cn

1

Cn

2

Cn n

f 0 = (1-1) n= - + - +(-1)Cn n

0

Cn

1

Cn

2

Cn n









n k

k k

n k

n a b

C

0

) (

a Trong khai triển (a+b) n thành đa thức có n+1 số hạng

b Các hệ số cách đều 2 số hạng đầu và cuối bằng thì nhau

c Tổng số các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng

số mũ của nhị thức vì: (n-k)+k=n

d Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng Tk+1 =

g (a-b)n =[a+(-b)]n =

Với mọi a, b và mọi số tự nhiên n 1, ta luôn có:

(a+b)n = an + an-1b + + an-kbk + + abn-1 + bn

= (Quy ớc a0=b0=1)

Cn

0

C n

1

Ck

n









n k

k k n k

n a b

C

0

1

n n

C 

Củng cố

Hãy điền đúng (Đ) ho c sai (S) vào ô trống sau:ặc sai (S) vào ô trống sau:

A Số các hạng tử là 8

C Hệ số lớn nhất là 70

D Hệ số nhỏ nhất là 1

Đ S

Đ

S

9 56

Víi mäi a, b vµ mäi sè tù nhiªn n 1, ta lu«n cã:

(a+b)n = an + an-1b + + an-kbk + + abn-1 + bn

= (Quy íc a0=b0=1)

Cn

0

C n

1

Ck

n









n k

k k n k

n a b

C

0

1

n n

C 

A Sè c¸c h¹ng tö lµ 9

B HÖ sè cña sè h¹ng thø 7 lµ 28

C HÖ sè lín nhÊt lµ 70

D HÖ sè nhá nhÊt lµ 1

Đ

S Đ S

1= , 2= , 1=

2 =1+1 = +1= C02 C12 C2

2

C11

Nhà toán học Pháp Pascal đã xây dựng bảng số sau đây gọi là

tam giác Pascal:

1=

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

n=1 n=2 n=3 n=4

•Các số ở hàng thứ n trong tam giác Pascal là dãy gồm n+1 số:

, , , , , Cn

1

Cn

0

Cn n

1



Cn

2

Cn n

C10 C12 C0

1 C11 Nhận xét đặc điểm của các số ở mỗi hàng có liên quan nh thế nào với các hệ

số trong khai triển Niutơn ?

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

n=1 n=2 n=3 n=4

= +11

k n

C 

 1

k n

C 

k n

C

VÝ dô 4: Dùa vµo tam gi¸c pascal, h·y khai triÓn:

(x+y)6 ?

§¸p ¸n:

(x+y)6= x6+6x5y+15x4y2 +20x3y3+15x2y4+6xy5+y6

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

1

n = 0

NhËn xÐt:

mçi dßng dùa vµo c¸c sè ë dßng tr íc nã Ch¼ng h¹n

= + = 4 + 6 =10

1

k n

C 

k n C

2 5

4

C

1 1

k n

C 



2 4

C

Dïng tam gi¸c Pa-xcan, chøng tá r»ng:

a) 1 + 2 + 3 + 4 =

2 5

C

Bµi 3: NhÞ thøc Newton

II/ Tam gi¸c Pa-xcan

Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng Tk+1 =

(a+b)n= an+ an-1b+ + bn

Tổng kết bài

1 Công thức Nhi thức Newton:

Cn

0

Cn

1

Cn n

2n= Cn + + +

0

Cn

1

Cn n

0= - + + (-1)Cn n Cn n

1

Cn

0

2 Tam giác pascal:

* Đỉnh ghi số 1 Các hàng tiếp theo có số 1 ở đầu và cuối

* Các hàng tiếp theo trừ đỉnh và hàng thứ 1, đ ợc thiết lập bằng cách cộng 2 số liên tiếp của hàng bên trên rồi viết

k n k k

n a b

C 

Bµi tËp vÒ nhµ

 C¸c bµi tËp SGK tr 67 vµ s¸ch bµi tËp tr 65

TIỂU SỬ CỦA NEWTON

 ISAAC NEWTON (1642-1727) - nhà

vật lý, toán học của nước Anh, được thế giới tôn là :"người sáng lập vật lí học cổ điển"

Newton xuất thân trong 1 gia đình quí tộc nông thôn Cha của Newton mất

trước khi ông qua đời Lúc mới sinh,

newton ốm yếu, quặt quẹo nên mẹ ông quan tâm đến sức khỏe của Newton hơn

là con đường học vấn của ông

 Năm 12 tuổi bà mới cho newton đi học, vì

sức khỏe yếu nên cậu thường bị các bạn

trong lớp bắt nạt Cậu bèn nghĩ ra cách trả thù thú vị đó là cố gắng học thật giỏi để đứng đầu lớp Năm 17 tuổi, Newton vào học ở

trường Đại học Tổng hợp Kembritgiơ Thời gian còn là sinh viên, Newton đã tìm ra nhị thức trong toán học giải tích, được gọi là nhị thức Newton Năm 19 tuổi, khi học ở đại học Cambrige, ông bắt đầu nghiên cứu rộng rãi

về khoa học tự nhiên

Thành tựu khoa học mà ông có được thuộc rất

nhiều lĩnh vực Tích, vi phân do ông sáng lập là 1 cột mốc trong lịch sử toán học Giải thích về các loại màu sắc của vật thể đã mở đường sáng lập

khoa học quang phổ Cống hiến lớn khiến tên tuổi của ông trở thành bất tử là 3 định luật về chuyển động đặt cơ sở lý luận cho lực học kinh điển và quan trọng nhất là "Nguyên lý vạn vật hấp dẫn" Đây là nguyên lý cơ sở cho các phát minh vật lí học, cơ học, thiên văn học trong nhiều thế kỉ

Newton sống 1 cuộc đời độc thân và đặc biệt,

ông là 1 con người rất đãng trí Tính đãng trí của ông đã trở thành những câu truyện được kể lại

cho đến ngày nay và mọi người đều nhớ đến nó mỗi khi nhắc đến ông như : chuyện mời cơm

khách, chuyện luộc đồng hồ, chuyện đục 2 lỗ cho chó và mèo, Newton mất năm 84 tuổi Ông

được mai táng ở Đài tưởng niệm quốc gia Anh trong tu viện Oetminxtơ - nơi an nghỉ của vua

chúa và các bậc vĩ nhân nổi tiếng cuả nước Anh

Newton Pascal