CHUYÊN ĐỀỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỊNH LÝ LAGRANGE A... GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ – ĐỊNH LÝ LAGRANGE I..
Trang 1CHUYÊN ĐỀ
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ
ĐỊNH LÝ LAGRANGE
A ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Định lý 1
Nếu hàm số y =
f(x)
liên tục trên khoảng (a; b) và có
/
f (x) > 0
(hoặc
/
f (x) < 0
) trong khoảng (a; b) thì phương trình
f(x)= 0
có không quá 1 nghiệm trong khoảng đó
Ví dụ 1 Giải phương trình
2
2 log x
x
=
Giải
Điều kiện: x > 0
Xét hàm số
2
2
x
ta có:
/
2
Suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 1 nghiệm trong
(0;+ ¥ )
Mặt khác f(2) = 0 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2
Định lý 2
Nếu hàm số y =
f(x)
liên tục trên khoảng (a; b) và có
/ /
f (x)> 0
(hoặc
/ /
f (x) < 0
) trong khoảng (a; b) thì phương trình
f(x) = 0
có không quá 2 nghiệm trong khoảng đó
Ví dụ 2 Giải phương trình
x x
2 + 3 = 3x + 2
Giải
Xét hàm số
x x
ta có :
,
/ / x 2 x 2
f (x) =2 (ln 2) + 3 (ln 3) > 0 x" Î ¡
Suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm
Mà f(0) = 0, f(1) = 0 Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0, x = 1
Chú ý:
i) Hàm số f(x) liên tục và đồng biến trên khoảng (a; b), g(x) liên tục và nghịch biến trong khoảng (a; b) đồng thời f(c) = g(c) (với c thuộc (a; b)) thì phương trình f(x) = g(x) có nghiệm duy nhất x = c
Trang 2ii) Hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trong (a; b) thì
f(u) = f(v) Û u = v Î (a; b)
Ví dụ 3 Phương trình
3
có nghiệm duy nhất x = 3
Ví dụ 4 Giải phương trình
2
x 1 2x 2
3 + - 3 = - x + 2x - 1
(1)
Giải
Đặt
2
, ta có :
(1) Û 3 - 3 = v- u Û 3 + u = 3 + v
(2)
Xét hàm số
f(t) = 3 + t Þ f (t) = 3 ln 3 + 1> 0 t" Î ¡
(2) f(u)= f(v) u = v v- u = 0
2
Vậy (1) có nghiệm duy nhất x = 1
Chú ý:
Nếu f(x) đơn điệu trên hai khoảng rời nhau thì không áp dụng
được
Chẳng hạn:
1
t
=
và
là sai.
B GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ – ĐỊNH LÝ LAGRANGE
I GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ
1 Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) có MXĐ D và X là tập hợp con của D
i) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên X nếu
ïïï
ïïî
, ký hiệu:
x X
Î
=
ii) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên X nếu
ïïï
ïïî
, ký hiệu:
x X
Î
=
2 Phương pháp giải toán
2.1 Hàm số liên tục trên đoạn [a; b]
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Để tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của f(x) trên đoạn [a; b] ta thực hiện các bước sau:
Bước 1 Giải phương trình
/
(tìm điểm dừng) Giả sử có n nghiệm x1; x2; …; xn thuộc đoạn [a; b] (ta loại các nghiệm nằm ngoài đoạn [a; b])
Trang 3Ví dụ 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
f(x) = x - 4x + 5
trên đoạn
[ 2; 3]
-
Giải
Ta có:
2
liên tục trên đoạn
[ 2; 3]
/
2
( )
Vậy
xmin f(x)2;3 1 x 2, max f(x)x 2;3 17 x 2
-Î = Û = Î = Û =
-
Chú ý:
i) Để cho gọn ta dùng ký hiệu
min max
f , f
thay cho
xmin f(x), max f(x)2;3 x 2;3
ii) Nếu đề bài chưa cho đoạn [a; b] thì ta phải tìm MXĐ của hàm số trước khi làm bước 1
iii) Có thể đổi biến số
t = t(x)
và viết
y = f(x)= g(t(x))
Gọi T là miền giá trị của hàm t(x) (thường gọi là điều kiện của t đối với x) thì
x X t T
Î = Î
,
x X t T
Î = Î
Ví dụ 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
6 4 9 2 1
trên đoạn
[ 1; 1]
-
Giải
Hàm số
6 4 9 2 1
liên trên đoạn
[ 1; 1]
-Đặt
2
t = x ÞÎ t [0; 1] x" Î - 1; 1
, ta có:
3 2 9 1
liên tục trên đoạn [0; 1]
(loại)
( )
Vậy
min
1
4
,
max
Trang 4
Ví dụ 3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
f(x) = - x + 5x + 6
Giải
Ta có điều kiện:
2
-Hàm số
2
f(x) = - x + 5x + 6
liên tục trên D
/
2
2
Vậy
min
f = 0 Û x = - 1Úx = 6
,
max
Ví dụ 4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
y
+
=
Giải
Đặt
2
+
2
3
Vậy
min
2
p
max
y =1Û sin x = 0 Û x = k , kpÎ Z
Ví dụ 5 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
3
trên đoạn [–3; 2]
Giải
Hàm số
3
liên tục trên đoạn
[- 3; 2]
Đặt
3
liên tục trên đoạn
[- 3; 2]
Trang 5
-f( 3)- = - 16, f( 1)- = 4, f(1) = 0, f(2) = 4
-0 y 16 x" [ 3; 2]
2.2 Hàm số liên tục trên khoảng (a; b) hoặc trên ¡
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên
D =(a; b)
hoặc D = ¡ ta thực hiện các bước sau:
Bước 1 Giải phương trình
/
(tìm điểm dừng) Giả sử có n nghiệm x1; x2; …; xn thuộc D (ta loại các nghiệm không thuộc D)
Bước 2 Tính
1
xlim f(x)a+ L
, f(x1), f(x2), …, f(xn),
2
xlim f(x)b- L
Bước 3.
+ Nếu
min f(x ), f(x ), , f(x ) < min L , L
thì
f = min f(x ), f(x ), , f(x )
(1)
+ Nếu
max f(x ), f(x ), , f(x ) > max L , L
thì
f = max f(x ), f(x ), , f(x )
(2) + Nếu không thỏa (1) (hoặc (2)) thì hàm số không đạt min (hoặc max)
Chú ý:
i) Có thể lập bảng biến thiên của hàm số f(x) thay cho bước 3
ii) Nếu hàm số không có điểm dừng (điểm dừng khác điểm tới hạn) thì không đạt min, max
Ví dụ 6 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số
2
f(x)
+
=
+
Giải
Hàm số f(x) liên tục trên R Ta có:
2
1
x 1
x
1
x
+
+ Bảng biến thiên
Trang 6Vậy hàm số không đạt min và
x R
Nhận xét:
2
có nghiệm thực
- <
Ví dụ 7 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số
2
f(x) = x - x - 2x + 2
Giải
Hàm số f(x) liên tục trên ¡ Ta có:
2
³ ìïï
Û íï
-ïî
(vô nghiệm)
Vậy hàm số không đạt min và max (vì không có điểm dừng)
Ví dụ 8 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
x y
=
-
Giải
Ta có
x + 2 ³ 2 > 1Þ x + 2- 1> 0 Þ D = ¡
2 2
2 /
2 2
x
y
-+
=
Þ
2
2
=
,
Giới hạn
2
x
x x
Trang 7
Nhận xét:
2
Ví dụ 9 Tìm m để phương trình
2
có nghiệm
Giải
Xét hàm số
2
y = x + 2x + 1
liên tục trên ¡ Ta có:
2
2x
-+
x
2
x
2
- ¥ - ¥
-=
2
1 x
+ +
min
Vậy với
2 m
2
³
thì phương trình có nghiệm
Chú ý: Có thể dùng bất đẳng thức để tìm min, max của hàm số.
II ĐỊNH LÝ LAGRANGE
Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] (a < b) và có đạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại số c trong khoảng (a; b) sao cho
/
f(b)- f(a) =(b- a)f (c)
Ví dụ 10 Chứng tỏ rằng phương trình
3 2
có nghiệm trong khoảng (0; 1)
Giải
Xét hàm số
4 3 2
liên tục trên [0; 1] và có đạo hàm trên (0; 1)
Trang 8Áp dụng định lý Lagrange, ta có :
/ f(1) f(0) 3 2
- Vậy phương trình có nghiệm x = c trong (0; 1)
Ví dụ 11 Chứng tỏ rằng phương trình
2
có nghiệm trong khoảng (0; 1), trong đó
0
và m > 0
Giải
a) Khi m = 1 thì ta có bài toán quen thuộc
Xét hàm số
3 2
liên tục trên [0; 1] và có đạo hàm trên (0; 1)
Áp dụng định lý Lagrange, ta có :
/ F(1) F(0) a b
$ Î
có nghiệm x = c b) Khi m > 0 thì ta chỉ cần giải tương tự với số mũ tương ứng
Xét hàm số
m 2 m 1 m
F(x)
liên tục trên [0; 1] và có đạo hàm trên (0; 1)
Áp dụng định lý Lagrange, ta có :
/ F(1) F(0) m 1 2 a b c
2
Þ
có nghiệm x = c
Ví dụ 12 Chứng minh rằng với mọi a, b thì
sin b- sin a £ b - a
Giải
Dễ thấy với a = b ta có đẳng thức xảy ra
Giả sử a < b, áp dụng định lý Lagrange cho hàm số
f(x) = sin x
trên [a; b] ta có
c (a; b) : sin b - sin a =(b- a) cos c
Vậy
với mọi a, b
Ví dụ 13 Chứng minh rằng nếu 0 < a < b thì
( )
ln
Giải
Trang 9Xét hàm số
f(x) = ln x
liên tục trên [a; b] và có
/ 1
f (x)
x
= trên (a; b)
Áp dụng định lý Lagrange, ta có :
( )
(1) Mặt khác
(2) Vậy từ (1) và (2) ta có
( )
ln
Ví dụ 14 Chứng minh rằng
ln
+
+
với x > 0
Giải
Xét hàm số
f(t) = ln t
liên tục trên [x; x + 1] và có
/ 1
f (t)
t
= trên (x; x + 1)
Áp dụng định lý Lagrange, ta có :
Mặt khác
+
Vậy
ln
+
+
Ví dụ 15 Chứng minh rằng
với
2
p
< < <
Giải
Xét hàm số
f(x) = tgx
liên tục trên [a; b] và có
/
2
1
f (x)
cos x
=
trên (a; b)
Áp dụng định lý Lagrange, ta có :
2
c (a; b) : t gb t ga
cos c
$ Î
Mặt khác
2 p
Trang 102 2 2
Vậy
1.chứng minh biểu thức sau ko phụ thuộc vào x :
A = cos2(x-a) + sin2(x-b) - 2cos(x-a)sin(x-b)sin(a-b)
2 x2 - 4x + 3 + 2.căn bậc hai của x(4-x) = m
a.khi m= 3 gpt
b tìm m để pt có nghiệm
3 cho x >= 2 y>= 3x, y thuộc R x2 + y2 =20
tìm min F= x + y