Chứng minh Bất đẳng thức bằng phơng pháp khác Ph ơng pháp 1 : Dùng phép chứng minh phản chứng: * Giả sử cần phải chứng minh BĐT nào đó đúng. Ta hãy giả sử BĐT đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý 1) Ví dụ CMR ít nhất 1 trong 3 BĐT sau là sai Giải. Giả sử 3 BĐT trên đều đúng < < < tức là x y z ; y z x ; z x y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) < + + < < + + < + + + < + + < < 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x z x y z . x y z 0 y z x y z x . y z x 0 x z y . y z x . x y z 0 z x y . z x y 0 z x y ( Vô lý) Suy ra giả sử sai Vậy có ít nhất một trong 3 BĐT trên là sai 2 - Bài tập áp dụng 1)- Cho a = b = 2cd CMR; ít nhất trong 2 BT sau có 1 BĐT đúng 2 2 c a ; d b 2) Giải hệ a y z t y x z t z x y t t x y z < + < + < + < + 3) Cho a ; b ; c < 1.CMR ít nhất 1 trong 3 BĐT sau là sai 1 1 1 a (1 b) ; b (1 c) ; c (1 a) 4 4 4 > > > 4) Cho f(x) = ax 2 + bx 2 +c với a ; b ; c t/m + + > a b c 17. CMR [ ] ( ) x 0 ;1 / f x 1 > 5) Cho a b c 17 + + > .Chứng minh rằng: + + 2 ax bx c 0 x 1 có n 0 Ph ơng pháp 2 : Phơng pháp quy nạp 1) Ví dụ: CMR: Nếu n N ; h 1 > Thì ( ) 1 h n 1 nh + + .( Bất đẳng thức Bcenuli) Giải: Với n = 0 ta có ( ) 0 1 h 1 0.h + + n = 1 ta có ( ) 1 1 h 1 1.h + + Giả sử bài toán đúng với n k (k 1)= Tức là ( ) h 1 k 1 k.h+ + (1) Ta phải CM ( ) ( ) k 1 h 1 h 1 k 1 + + + + Thật vậy: Chuyên đề BĐT - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh-Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong Từ (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + = + + + + + + + k k 1 2 1 h 1 h 1 k.h . 1 h 1 h 1 k 1 h k.h 1 k 1 h Với 2 kh 0 .Bất đẳng thức đợc chứng minh 2) Bài tập áp dụng 1*/. Cho 1 2 n 0 a ; a ; .; a 1 CMR: ( ) ( ) ( ) 1 2 n 1 n 1 a . 1 a . 1 a 1 a . a n N 2*/ CMR 1 1 2n 1 1 . . n N 2 4 2n 3n 1 + 3*/ 1 4a 1 a a . a (a 0) 2 + + + + + < > 4*/ Cho n số dơng a 1 ; a 2 ; ; .a n t/m a 1 + a 2 + .+ a n = f CMR: Với x 0 > ta có n 1 2 n 1 1 1 n x . a . x x a fa a + + + + ữ ữ ữ ữ 5*/ CMR số nguyên n 2 ta có ( ) ( ) 2 2n ! 4n n 1 n! < + * Ph ơng pháp 3 : Phơng pháp đổi biến 1) Ví dụ : Cho:a + b = 4. CMR a 4 +b 4 32 Giải; Có a + b = 1 a 2 m b 2 m = + = với m R Khi đó a 4 + b 4 = (2 + m) 4 + (2 - m) 4 = 32 + 48 m 2 + 2m 4 32 m Dấu - xảy ra a = b = 2 2) Bài tập áp dụng 1/* Cho a + b = c + d. CMR d 2 +c 2 + cd 3ab 2/* Cho a < 2 ; x+ y > 5.CMR 5x 2 + 2y 2 + 8y 62 3/* Cho x + y = z = 3 .CMR x 2 + y 2 + z 2 + xy xz + yz 6 * Ph ơng pháp 4: Phơng pháp làm trội 1) Ví dụ CMR: a b c d 1 2 a b c d b c d c d a d a b < + + + < + + + + + + + + + Giải : Ta có < < < < + + + + + + + + + + + + < < < < + + + + + + + + + + + + a a a b b b ; ; a b c d a b c a c a b c d b c d b d c c c d d d ; a b c d c d a a c a b c d d a b d b 2 Chuyên đề BĐT - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh-Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong Cộng từng vế các BĐT ta có a b c d a b c d a c b d a b c d a b c b c d c d a d a b a c b d a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b + + + + + < + + + < + + + + + + + + + + + + + + < + + + < + + + + + + + + 2) Bài tập áp dụng: 1/* Cho a ; b ; c ; d t/m 1 a b c d 100 . CMR a c 1 b d 5 + 2/* Cho 0 < a 1 , a 2 < < a 12 CMR: 1 2 9 1 2 12 3 6 9 4 8 12 a a . a a a .a 7 a a a a a a + + + + + + < + + + + 3/* CMR: a) 1 1 1 1 2 n 1 2 2 1 2 n 1 1 2 2 n + + < + + + < b) 1 1 1 1 . n 1 n 2 2 3 n + + + + < + + 4/* Cho a = 2 1 3 2 4 3 25 21 . 1 2 2 3 4 3 25 21 + + + + + + + + . CMR: < 2 a 5 5/* CMR 2 1 1 1 5 1 . 4 9 3 n + + + + < *Ph ơng pháp 5 : Dùng tam thức bậc 2 * Định lý về dấu của tam thức bậc 2 Cho f(x) = ax 2 + bx + c với a 0 Gọi = b 2 4ac là biệt thức của tam thức khi đó ta có 1/ Nếu < 0 thì af(x) > 0 x R 2/ Nếu = 0 thì af(x) > 0 0 x x ở đây 0 b x 2a = và f(x 0 ) = 0 3/ Nếu >.0; Khi đó nếu gọi x 1 ; x 2 là 2n 0 của tam thức thì a.f(x) > 0 nếu x < x 1 hoặc x > x 2 a.f(x) < 0 nếu x 1 < x < x 2 ( Với x 1 < x 2 ) 1) Ví dụ 1* CMR a, b,c R Ta có (a 2 b 2 ). (c 2 d 2 ) (ac bd) 2 Xét tam thức bậc hai: f(x) + (a 2 b 2 ).x 2 2(ac bd)x + (c 2 d 2 ) có = (ac bd) 2 (a 2 b 2 ).(c 2 d 2 ) mà f(x) = (ax- c) 2 (bx-d) 2 luôn có n 0 2 2 2 2 2 ' 0 (a b ).(c d ) (ac bd) 3 Chuyên đề BĐT - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh-Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong Giải: Xét tam thức bậc 2: f(x) = (a 2 b 2 )a 2 2(ac- bd)x + (c 2 d 2 ) Có = (ac bd) 2 (a 2 b 2 ).(c 2 d 2 ) mà f(x) = (ax c) 2 (bx d) 2 luôn có n 0 ' 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 a b . c d ac bd 2) Cho + > ax by xy, x ; y 0 . CMR: 1 ab 4 Giải: Xét ax by xy + ax by 0 x ; y 0 + > > a 0 b 0 > > Vì vai trò của a; b nh nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử a > 0 đặt x t (t 0) = > x = t 2 Có ax + by xy + 2 at by y t + 2 at y t by 0 đặt 2 f(t) at y t by = + Ta có f(t) 0 a 0 > Phơng trình vô nghiệm 1 0 y 4aby 0 1 4ab 0 (vì y>0) ab 4 3- Giả sử x 1 ; x 2 là 2 nghiệm phân biệt của PT = + + = 3 2 ax bx cx d 0 (a 0), (1) CM: 2 1 2 2 4ac b x .x 4a Giải: Vì x1; x2 là 2 nghiệm của PT (1) nên 3 2 1 2 1 3 2 2 2 2 ax bx cx d 0 ax bx cx d 0 + + + = + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + = + = + + + = 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 a x x b x x c x x 0 x x . a x x x x b x x c 0 Vì 1 2 1 2 x x x x 0 Nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + = + + + + = + + + + = 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 a x x ax x b x x c 0 a x x ax x b x x c 0 a x x b x x c ax x 0 Suy ra (x 1 + x 2 ) là nghiệm của PT am 2 +bm + c - ax 1 x 2 = 0 (2) PT (2) có n 0 + 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 4ac b 0 b 4a(c a.x x ) 0 b 4ac 4a x x 0 x x 4a 2) Bài tập áp dụng 1*) CH 2 3x 4 1 x 5 + 2*) a; b ; c là 3 cạnh của 1 CH: ( ) ( ) ax by . x y cxy x; y + + 3*) a; b; c; d là 4 số thực t/m b<c <d CH (a + b + c + d) 2 > f (ac + bd ) 4*) CMR ( ) ( ) 2 x y xy 1 x y 3 x; y R + + + thì 4 Chuyên đề BĐT - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh-Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong Ph ơng pháp 6: Phơng pháp hình học 1) Ví dụ: CMR: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 a b a b a a b b + + + + + Giải Trong mp Oxy xét A( a 1 ; b 1 ) ; B( a 2 ; b 2 ) ( ) ( ) + = + = + + + 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 Ta có OA= a b ,OB a b ,AB a a b b Xét 3 điểm O ; A ; B ta có + OA OB AB ( ) ( ) + + + + + + 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 a b a b a a b b 2) Bài tập áp dụng 1/* Cho a ; b ; c là độ dài 3 cạnh CMR: a 2 (b + c - a) + b 2 (c + a - b) + c 2 (a + b - c) 3.a.b.c 2/* Gọi R ; x Lần lợt là bán kính đờng tròn ngoại tiếp vầ nội tiếp CMR : R 2x 3/* Cho a c > 0 ; b c > 0 . CMR: ( ) ( ) c a c c b c ab + 4/* a b ; c ; > 0 .CMR 2 2 2 2 2 2 a ab b b bc c a ac c + + + + + 5/* Độ dài 3 cạnh a ; b ; c t/m 2 2 2 2 2 2 1 a b b c c a 3 + + = .CMR 2 2 2 2 1 a b c 9R + + Ph ơng pháp 7: Sử dụng BĐT Trêbsep Cho 2 dãy đơn điệu tăng 1 2 n a a . . . a và 1 2 n b b . . . b Khi đó ta có 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n a b a b . a b a a . a b b . b n n n + + + + + + + + + ì Dấu = xảy ra 1 2 3 n 1 2 3 n a a a . a b b b . b = = = = = = = = Chứng minh : Đặt 1 2 n a a . a a n + + + = . Luôn i sao cho : + + 1 2 i i n 1 2 i i n a a . a a a 1 . a và b b . b b b 1 . b Có = k 1, 2, .n ta đợc ( ) ( ) + k k k k k k a a . b b 0 a b ab ba ab 0 Cộng n BĐT này ta đợc = = = = + n n n k k k k k 1 k 1 k 1 0 a b a b b a nab (1) Có n n k k k 1 k 1 na a nab b b = = = = .Khi đó (1) trở thành n n k 1 k 1 akbk a bk = = Hay 1 1 k k 1 2 n 1 2 n a b . a b a a . a b b .b n R R + + + + + + + ì Dấu = xảy ra k 1; 2; .; n = thì 5 Chuyên đề BĐT - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh-Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong (a k a). (b k b) = 0 Nếu (a 1 ; a 2 ; . ; a n ) Re là 1 dãy số dừng a 1 < a i < a n thì ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 n n a a . b b 0 b b a a 0 = = b 1 = b n = b Dãy b 1 ; b 2 ; ; . . . .; b n là dãy số dừng Tóm lại 1 2 n 1 2 n a a . a b b . b = = = = = = 1) Ví dụ CH BĐT Nesbit với 3 sốn a b c 3 b c a c a b 2 + + + + + Giải Đặt x = a + b + c BĐT a b c 3 x a x b x c 2 + + có: ( ) a b c 1 1 1 1 a b c x a x b x c 3 x a a b a c + + + + ì + + ữ ( ) ( ) ( ) a b c 1 1 1 1 x a x b x c x a x b x c 6 x a x b x c + + + + ì + + ữ a b c 3 x a x b x c 2 + + 2) Bài tập áp dụng: 1/* Cho: a ; b ; c > 0 có a 2 + b 2 + c 2 1 CMR: a) 3 3 3 a b c 1 b c a c a b 2 + + + + + b) + + + + + 2 2 2 a b c 3 b c a c a b 2 2/* Cho a ; b ; c ; d 0 t/m a 2 + b 2 + c 2 + d 2 1 CMR: a) 3 3 3 3 a b c d 1 d c b a c d a b d a b c 3 + + + + + + + + + + + b) 2 2 2 2 a b c d 2 c b d a c d a b d a b c 3 + + + + + + + + + + + 3/* Hãy tổng quát với n số dơng 4/* CMR a ; b R ta có (a + b).(a 2 + b 2 ).(a 3 +b 3 ).(a 4 + b 4 ) 8.(a 10 + b 10 ) 5/* cho a; b ; c ; d 0 t/m a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1. Tìm min A = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c d b c d a c d a b d a b c + + + + + + + + + + + 6 Chuyên đề BĐT - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh-Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong Bất đẳng thức Cauchy Chơng I- Bất đẳng thức Cauchy và ứng dụng Bất đẳng thức Cauchy Chơng I- Bất đẳng thức Cauchy và ứng dụng 1) Định lý: Với mọi số thực dơng a 1 ; a 2 .a n ta có bất đẳng thức 1 2 n n 1 2 n a a . a a a .a (*) n + + + Đẳng thức xảy ra a 1 = a 2 = .= a n 2) Chứng minh: * với n = 2 ta có (*) 1 2 1 2 a a a a 2 + ( ) 2 1 2 a a 0 Luôn đúng * Giả sử BĐT (*) đúng với n số khi đó ta có n 1 2 1 2 n n n 1 n 2 2n n 1 n 2 2n 1 2 2n 1 2 3 2n 1 2n a a . an n a a .a a a . a n a a .a a a . a 2n a a a .a a + + + + + + + + + + + + Do dó BĐT đúng khi n là một luỹ thừa của 2 . Mặt khác nếu BĐT đúng với n số thì cũng đúng với n -1 số. Thật vậy ta chỉ cần chọn n s a n 1 = với s = a 1 + a 2 + .+ a n-1 1 2 n 1 n _1 n 1 2 3 n 1 a a .a s s s n s n 1. a a a .a n 1 n 1 + BĐT (*) đúng n N ; n 2 Dấu = xảy ra 1 2 n a a . a = = * Ghi chú: Năm 1821 Cauchy nhà Toán học ngời Pháp đã chứng minh BĐT trên trong trờng hợp tổng quát. Có lẽ vì vậy mà nhiều ngời lầm lẫn rằng ông phát hiện ra BĐT này. Bất đẳng thức Bunhiacopxki thực chất là phát minh của 3 nhà toán học Schwarz; Bunhiacopxki và Cauchy. Theo cách gọi chung của thế giới BĐT Cauchy có tên là BĐT AM-GM (Arithmetic Means Geometric Means) Đây là sự nhầm lẫn kỳ lạ và khá ngạc nhiên trong thời gian dài ! 3) ứng dụng của BĐT Cauchy BĐT Côsi thờng đợc sử dụng cho các dạng toán *Dạng 1: Chứng minh BĐT *Dạng 2: Tìm cực trị của hàm số hoặc biểu thức. *Dạng 3: Giải phơng trình, bất và hệ phơng trình Dạng 1: Chứng minh BĐT I, Các bài tập cơ bản: Bài 1: Chứng minh rằng a, b, c N * ta có 1 1 1 9 a b c a+b+c + + Giải: áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số ta có: 7 Chuyên đề BĐT - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh-Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong ( ) 3 3 3 1 1 1 1 3 a b c abc a b c 3 abc 1 1 1 1 . a b c 9 abc. 9 a b c abc + + + + + + + + = ữ đpcm. Dấu = xảy ra a = b = c Bất đẳng thức tổng quát hơn đợc chứng minh hoàn toàn tơng tự. Bài 2: ( Bất đẳng thức Nesbit) CMR a, b, c N * Ta có a b c 3 b c a c a b 2 + + + + + Giải:Xét các biểu thức a b c b c a c a b S ;M ;N b c c a a b b c c a a b b c c a a b = + + = + + = + + + + + + + + + + + Ta có M +N = 3 Theo BĐT Cauchy ta có a b b c c a M S 3 b c c a a b a c a b b c N S 3 b c c a a b + + + + = + + + + + + + + + = + + + + + Vậy 3 M N 2S 6 25 3 S (dpcm) 2 + + áp dụng BĐT phụ : 1 1 4 x y x y + + (x; y, > 0) hệ quả ( ) 2 1 4 xy x y + 1 1 1 9 x y z x y z + + + + (x; y; z > 0) (tcm) Để giải một số bài toán sau : Bài 3: Cho a, b, c > 0 cm: 9 4 4 4 1 1 1 a b c 2a b c a 2b c a b 2c a b c + + + + + + + + + + + + Giải: áp dụng BĐT phụ ( ) 1 1 4 x;y 0 x y xy + > Có 4 1 1 1 1 1 2a b c 2a b c 2a 4b 4c + + + + + + (Dấu = a=b=c) C/m tt 4 1 1 1 a 2b c 2b 4a 4c + + + + (Dấu = a=b=c) 4 1 1 1 a b 2c 2c 4b 4a + + + + (Dấu = a=b=c) 4 4 4 1 1 1 1 1 1 2a b c a 2b c a b 2c 2a 4b 4c 2b 4a 4c 1 1 1 1 1 1 2c 4b 4a a b c + + + + + + + + + + + + + + + + = + + (Dấu = a=b=c) Đặt x 1 = a + b + 2c ; y 1 = 2a + b + c ; z 1 = a + 2b + c áp dụng BĐT phụ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 x y z x y z + + + + (Dấu = x 1 =y 1 =z 1 ) 8 Chuyên đề BĐT - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh-Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong ( ) 1 1 1 9 2a b c a 2b c a b 2c 4 a b c 4 4 4 9 (2) 2a b c a 2b c a b 2c a b c + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c Từ (1) (2) đpcm Bài 4: ( ) a b c d 2 a, b,c,d 0 b c c d a d a b + + + > + + + + Giải:áp dụng BĐT phụ: ( ) 2 1 4 (x, y 0) xy x y > + Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 a c ad bc a d a c b c a c b c d a b c d a a b c d + + + + + + + = + + + + + + + C/MTT ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 b d cd ab b d c d a b a b c d 4 a c d b ad bc cd ab a b d c (1) b c c d a b a d a b c d + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Mặt khác: (a - c) 2 + (b - d) 2 0 2 2 2 2 a c b d 2ac 2bd + + + + 2 2 2 2 2 2a 2c 2b 2d 4d 4ac 4bd 0 + + + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 a b c d ab ad bc cd 2 (2) a b c d + + + + + + + + + + .Dấu = a=c và b = d Từ (1) và (2) suy ra đpcm Bài 5: Cho a, b, c, d .> 0 CM a c b d c a d b 4 a b b c c d d a + + + = + + + + + + + Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a c a b c d d b a b c d a c b d c a d b a b b c c d d a a b c d c b d a 4 a b c d 4 a b c d b a 2 2 a b c d a b c d + + + + + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + (dấu = a = c; b = d) a c b d c a d b 4 a b b c c d d a + + + + + + + + + + + đpcm Bài 6:Cm: ( ) a 4 8a a a, b,c 0 1 ab a 2c 1 ab ac + + > + + + + Giải:Ta có 1 1 4 1 1 2 b b a a a + + + áp dụng BĐT : ( ) 1 1 1 4 x;y 0 x y z x y + + > + 9 Chuyên đề BĐT - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh-Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong 1 1 4 16 1 1 2 2c b b 2b 2c a a a a 4 8a a 1 ab b 2c 1 ac ab + + + + + + + + + + + + Bài 7:Cho x, y, z là các số dơng thoả mãn 1 1 1 4 x y z + + = CMR: 1 1 1 1 2x y z x 2y z x y 2z + + + + + + + + Giải:áp dụng BĐT: 1 1 4 x y x y + + với x, y > 0 ta đợc 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 2 x y z x y y z z x 4 4 4 x y y z z x = + + = + + + + + + + + + + (1) (Dấu = 3 x y z 4 = = = ) Mặt khác: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 x y y z z x x y y z y z z x z x x y 4 4 4 2x y z x 2y z x y 2z + + = + + + + + ữ ữ ữ ữ + + + + + + + + + + + + + + + + + (2) (Dấu = x y z = = ) Từ (1) và (2) 1 1 1 8 8 2x y z 2y x z 2z x y 1 1 1 1 2x y z 2y x z 2z x y + + ữ + + + + + + + + + + + + + + (Dấu = 3 x y z 4 = = = ) Bài 8: Chứng minh với mọi số thực dơng a, b, c 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 abc a b abc c b abc a c abc + + + + + + + + Giải:Ta có nhận xét sau ( ) ( ) 2 2 3 3 3 3 3 a b 2ab a b ab a b abc abc c ab a b abc a b c a b c + + + + = + + + + + + Xây dựng thêm 2 BĐT tơng tự rồi cộng lại suy ra điều phải c/m 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b abc c b abc a c abc + + + + + + + + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Bài 9: Các số thực dơng x, y, z t/m đk x 2 + y 2 + z 2 = 3 Hãy c/m xy yz zx 3 z x y + + Giải:Bình phơng 2 vế của BĐT ta phải c/m ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y z z x 2 x y z 3 x y z z x y + + + + + + + 10 [...]... ; Theo BĐT Côsi cho 3 số dơng Ta có + + 33 1+ b 1+ c 1+ d 1+ b 1+ c 1+ d 1+ b 1+ c 1+ d 1 bcd 33 Nên 1+ a ( 1 + b ) ( 1 + c) ( 1 + d) TT: 1 acd 33 1+ b ( 1 +) ( 1 + c) ( 1 + d) 1 bad 33 1+ c ( 1 + b) ( 1 + a) ( 1 + d) 1 bca 33 1+ d ( 1 + b) ( 1 + c) ( 1 + a ) Nhân từng vế 4 BĐT cùng chiều và cùng dơng trên ta có 1 abcd 81 ( 1 + a ) ( 1 + b) ( 1 + c) ( 1 + d) ( 1 + a ) ( 1 + b) ( 1 + c) ( 1 + d)... ad + bc + cd ( a + b + c + d) ) 2 Từ (1 ) và (2 ) suy ra đpcm Bài 5: Cho a, b, c, d > 0 CM 2 (2 ) Dấu = a=c và b = d a+c b+d c+a d=b + + + 4 a+b b+c c+d d+a Giải: a + c b + d c + a d + b ( a + c) ( a + b + c + d) ( d + b ) ( a + b + c + d) + + + = + a+b b+c c+d d+a ( a + b) ( c + d) ( c + b) ( d + a) 4 ( a + b + c + d) 4 ( a + b + c + d) ( b + a ) + 2 a + b + c + d) ( ( a + b + c + d) 2 (dấu = a =... 1+ d 18 Chuyên đề BĐT - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh-Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong Theo BĐT Côsi cho 3 số dơng b c d b c d b c d ; ; Ta có + + 33 1+ b 1+ c 1+ d 1+ b 1+ c 1+ d 1+ b 1+ c 1+ d Nên 1 bcd 33 1+ a ( 1 + b ) ( 1 + c) ( 1 + d) TT: 1 acd 33 1+ b ( 1 +) ( 1 + c) ( 1 + d) 1 bad 33 1+ c ( 1 + b) ( 1 + a) ( 1 + d) 1 bca 33 1+ d ( 1 + b) ( 1 + c) ( 1 + a ) Nhân từng vế 4 BĐT cùng chiều và... d+a ( b + c) ( d + a ) ( a + b + c + d) C/MTT 4 b 2 + d2 + cd + ab b d + 2 c+d a+b ( a + b + c + d) ( ) ) ( 4 a 2 + c 2 + d 2 + b 2 + ad + bc + cd + ab a b d c + + + 2 b+c c+d a+b a+d ( a + b + c + d) Mặt khác: (a - c)2 + (b - d)2 0 ) (1 ) a 2 + c2 + b 2 + d2 2ac + 2bd 2a 2 + 2c 2 + 2b 2 + 2d 2 4d2 4ac 4bd 0 16 Chuyên đề BĐT - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh-Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong (. .. n (* ) n Đẳng thức xảy ra a1 = a2 = = an 2) Chứng minh: Max P = ( * với n = 2 ta có (* ) ) ( ) a1 + a 2 a1 a 2 2 ( a1 a 2 ) 2 0 Luôn đúng * Giả sử BĐT (* ) đúng với n số khi đó ta có 14 Chuyên đề BĐT - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh-Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong a1 + a 2 + + an n n a1a 2 a n a n +1 + a n + 2 + a 2n n n a n +1a n + 2 a 2n a1 + a 2 + + a 2n 2n a1a 2 a 3 a 2n 1a 2n Do dó BĐT... a+b+c + + 4 a ( 1 + bc ) b ( 1 + ac ) c ( 1 + ba ) 4 a, b, c >0 với điều kiện: a + b + c = abc bc ca ba + + Gợi ý: Đặt A = a ( 1 + bc ) b ( 1 + ac ) c ( 1 + ba ) Bài 2: CMR Sử dụng a +b + c = abc và BĐT: 1 11 1 + ữ x+y 4x y ( * ) ( x, y > 0 ) C/m: 1 1 1 1 1 1 1 A + + + + a b c 2a+b b+c c+aữ 31 1 1 A + + ữ 4a b c áp dụng BĐT: ( x + y + z) 2 3 3 4 3 ( xy + yz + zx ) A áp dụng BĐT (* ) dễ dàng... a+b+c + + 4 a ( 1 + bc ) b ( 1 + ac ) c ( 1 + ba ) 4 a, b, c >0 với điều kiện: a + b + c = abc bc ca ba + + Gợi ý: Đặt A = a ( 1 + bc ) b ( 1 + ac ) c ( 1 + ba ) Bài 2: CMR Sử dụng a +b + c = abc và BĐT: 1 11 1 + ữ x+y 4x y ( * ) ( x, y > 0 ) C/m: 1 1 1 1 1 1 1 A + + + + ữ a b c 2a+b b+c c+a 31 1 1 A + + ữ 4a b c áp dụng BĐT: ( x + y + z) 2 3 ( xy + yz + zx ) A áp dụng BĐT (* ) dễ dàng cm... số y = x ( 1 x ) với x [ 0; 1 ] 2 1 3 Giải : Biến đổi y = x ( 1 x ) = 3x ( 1 x ) ( 1 x ) ( 1 x ) 3 áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm gần3x và 3 số 1-x, ta đợc 4 1 3x + ( 1 x ) + ( 1 x ) + ( 1 x ) 1 3 33 y = ữ = 4 3 4 3 4 4 4 Dấu đẳng thức xảy ra khi 3x = 1 x = 1 x = 1 x x= Bài 4:Cho x, y, z > 0 t/m đk xyz = 1 tìm min của BĐT: E= 1 4 1 1 1 + 3 + 3 x ( y + z) y ( x + z) z (x + y)... c 1 1 1 9 + + áp dụng BĐT phụ (Dấu = x1=y1=z1) x1 y 1 z1 x 1 + y 1 + z1 1 1 1 9 + + 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 4 ( a + b + c ) 4 4 4 9 + + 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c a + b + c Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c Từ (1 ) (2 ) đpcm a b c d Bài 4: + + + 2 b+c c+d a+d a+b 1 4 Giải:áp dụng BĐT phụ: xy 2 ( x + y) ( (2 ) ( a, b, c, d > 0 ) (x, y > 0) 2 2 a ( d + a ) + c ( b + c ) 4 a + c + ad... 20 Chuyên đề BĐT - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh-Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong với x [ 2 ;3] y = ( x + 2) ( 3 x) Giải:Với x [ 2 ;3] ta đợc x+2 ; 3 x 0 do đó sử dụng BĐT Côsi đợc ( x + 2) + 3 x 25 y = ( x + 2) ( 3 x) = 2 4 1 25 Từ đó suy ra y max = đạt đợc khi và chỉ khi x + 2 = 3 x x = 4 2 3 Bài 3:Tìm giá trị lớn của hàm số y = x ( 1 x ) với x [ 0; 1 ] 2 1 3 Giải : Biến đổi y = x ( . d b 4 a b b c c d d a + + + = + + + + + + + Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a c a b c d d b a b c d a c b d c a d b a b b c. 1 + + + + Thật vậy: Chuyên đề BĐT - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh-Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong Từ (1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + = + + +