CHUYÊN ĐỀ MAX- MIN

Đoàn Vương NguyênCHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỊNH LÝ LAGRANGE A... GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ – ĐỊN

Biên soạn: ThS Đoàn Vương Nguyên

CHUYÊN ĐỀ

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ

ĐỊNH LÝ LAGRANGE

A ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Định lý 1

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và có f (x)/ > (hoặc 0 f (x)/ < ) trong khoảng (a; b) thì0 phương trình f(x) = có không quá 1 nghiệm trong khoảng đó.0

Ví dụ 1 Giải phương trình 2

2 log x

x

=

Giải

Điều kiện: x > 0

Xét hàm số f(x) log x2 2, D (0; )

x

/

2

x ln2 x

= + > " >

Suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 1 nghiệm trong (0;+¥ )

Mặt khác f(2) = 0 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2

Định lý 2

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và có f (x)/ / > (hoặc 0 f (x)/ / < ) trong khoảng (a; b)0 thì phương trình f(x)= có không quá 2 nghiệm trong khoảng đó.0

Ví dụ 2 Giải phương trình 2x +3x = 3x+2

Giải

Xét hàm số f(x)=2x +3x - 3x- 2, D = ¡ ta có :

f (x)=2 ln2+3 ln3 3- , f (x)/ / =2 (ln2)x 2 +3 (ln 3)x 2 > " Î ¡ 0 x

Suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm

Mà f(0) = 0, f(1) = 0 Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0, x = 1

Chú ý:

i) Hàm số f(x) liên tục và đồng biến trên khoảng (a; b), g(x) liên tục và nghịch biến trong khoảng (a; b) đồng thời f(c) = g(c) (với c thuộc (a; b)) thì phương trình f(x) = g(x) có nghiệm duy nhất x = c

ii) Hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trong (a; b) thì f(u)= f(v) Û u= Îv (a; b).

Ví dụ 3 Phương trình log x3 = -4 x có nghiệm duy nhất x = 3

Ví dụ 4 Giải phương trình 3x + 1- 32x = - x2 +2x- 1 (1).

Giải

Đặt u= x2 +1, v=2x, ta có :

(1)Û 3 - 3 = -v u Û 3 + =u 3 + (2).v

Xét hàm số f(t)= 3t + Þt f (t)/ =3 ln3 1t + > " Î ¡0 t

Þ (2)Û f(u)=f(v)Û u=v Û v- u=0

Û - x2 +2x- 1= Û0 x=1

Vậy (1) có nghiệm duy nhất x = 1

Chú ý:

Nếu f(x) đơn điệu trên hai khoảng rời nhau thì không áp dụng f(u) =f(v)Û u= được.v

Chẳng hạn: f(t) t 1

t

- = - Þ x= y¹ 0 là sai.

B GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ – ĐỊNH LÝ LAGRANGE

I GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ

1 Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) có MXĐ D và X là tập hợp con của D

i) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên X nếu

f(x) m x X f(x ) m, x X

ì ³ " Î ïïï

ïïî , ký hiệu: x X

m minf(x)

Î

ii) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên X nếu

f(x) M x X f(x ) M, x X

ì £ " Î ïïï

ïïî , ký hiệu: x X

M max f(x)

Î

2 Phương pháp giải toán

2.1 Hàm số liên tục trên đoạn [a; b]

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Để tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của f(x) trên đoạn [a; b] ta thực hiện các bước sau:

Bước 1 Giải phương trình f (x)/ = (tìm điểm dừng) Giả sử có n nghiệm x0 1; x2; …; xn thuộc đoạn [a; b] (ta loại các nghiệm nằm ngoài đoạn [a; b])

Bước 2 Tính f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b)

Bước 3 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã tính ở trên là các giá trị tương ứng cần tìm.

Ví dụ 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)= x2 - 4x+ trên đoạn [ 2;3]5 -

Giải

Ta có:

2

f(x)= x - 4x+ liên tục trên đoạn [ 2;3]5

/

2

x 2

x 4x 5

( ) f( 2)- = 17, f 2 =1, f(3)= 2

Vậy xmin f(x)[ 2;3] 1 x 2, max f(x)x [ 2;3] 17 x 2

Chú ý:

i) Để cho gọn ta dùng ký hiệu f , fmin max thay cho xmin f(x), max f(x)Î -[ 2;3] xÎ -[ 2;3] .

ii) Nếu đề bài chưa cho đoạn [a; b] thì ta phải tìm MXĐ của hàm số trước khi làm bước 1

iii) Có thể đổi biến số t =t(x) và viết y=f(x)=g(t(x)) Gọi T là miền giá trị của hàm t(x) (thường gọi là điều kiện của t đối với x) thì minf(x)x X ming(t)t T

Î = Î ,

x X t T

max f(x) max g(t)

Î = Î .

Ví dụ 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 6 4 9 2 1

= - + + trên đoạn [ 1; 1]-

Giải

Hàm số 6 4 9 2 1

= - + + liên trên đoạn [ 1; 1]

-Đặt t =x2 Þ t Î [0; 1] x" Î -[ 1; 1], ta có:

3 2 9 1

= - + + liên tục trên đoạn [0; 1]

Þ = - + = Û = Ú = (loại)

( )

y(0) , y , y(1)

Vậy min

1

4

= Û = Û = , ymax 3 t 1 x 2

Ví dụ 3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)= - x2+5x+ 6

Giải

Ta có điều kiện:

2

x 5x 6 0 1 x 6 D [ 1; 6]

- + + ³ Û - £ £ Þ = -Hàm số f(x)= - x2 +5x+ liên tục trên D6

/

2

2

2 x 5x 6

( ) ( )5 7

f( 1) f 6 0, f

Vậy fmin = Û0 x= - Ú = , 1 x 6 max

Ví dụ 4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2

sin x 1 y

sin x sin x 1

+

=

Giải

t sinx y , t [ 1; 1]

t t 1

+

-+ -+

2

2 2

t 2t

(t t 1)

-

-+ -+

( ) ( ) 2 y( 1) 0, y 0 1, f 1

3

Vậy ymin 0 sin x 1 x k2 , k

2

p

ymax = Û1 sin x = Û0 x= pk , kÎ Z.

Ví dụ 5 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y= x3- 3x+ trên đoạn [–3; 2].2

Giải

Hàm số y= x3- 3x+ liên tục trên đoạn 2 [- 3; 2]

Đặt f(x)=x3- 3x+ liên tục trên đoạn 2 [- 3; 2].

f (x)=3x - 3= Û0 x= ± Î -1 [ 3; 2]

f( 3)- = - 16, f( 1)- =4, f(1)=0, f(2)=4

16 f(x) 4 x [ 3; 2]

Þ - £ £ " Î - Þ 0£ f(x) £ 16 x" Î -[ 3; 2]

0 y 16 x [ 3; 2]

Þ £ £ " Î -

Vậy ymax =16, ymin = 0

2.2 Hàm số liên tục trên khoảng (a; b) hoặc trên ¡

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên D =(a;b) hoặc D = ¡ ta thực hiện các bước sau:

Bước 1 Giải phương trình f (x)/ = (tìm điểm dừng) Giả sử có n nghiệm x0 1; x2; …; xn thuộc D (ta loại các nghiệm không thuộc D)

Bước 2 Tính xlim f(x)a+ L1

® = , f(x1), f(x2), …, f(xn), 2

xlim f(x)b- L

® = .

Bước 3.

+ Nếu min f(x ),f(x ), ,f(x ){ 1 2 n } <min L , L{ 1 2} thì fmin =min f(x ),f(x ), , f(x ){ 1 2 n } (1)

+ Nếu max f(x ),f(x ), , f(x ){ 1 2 n } >max L , L{ 1 2} thì fmax =max f(x ),f(x ), ,f(x ){ 1 2 n } (2) + Nếu không thỏa (1) (hoặc (2)) thì hàm số không đạt min (hoặc max)

Chú ý:

i) Có thể lập bảng biến thiên của hàm số f(x) thay cho bước 3

ii) Nếu hàm số không có điểm dừng (điểm dừng khác điểm tới hạn) thì không đạt min, max

Ví dụ 6 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số f(x) x2 1

x 1

+

=

+ .

Giải

Hàm số f(x) liên tục trên R Ta có:

2 2

1 x

(x 1) x 1

2

1

x 1

x lim f(x) lim lim f(x) 1

1

x 1

x

+

+

Bảng biến thiên

Vậy hàm số không đạt min và max f(x)x R 2 x 1

Î = Û =

Nhận xét:

2

x- m x + + = có nghiệm thực 1 1 0 Û - 1<m£ 2

Ví dụ 7 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số f(x)= -x x2- 2x+ 2

Giải

Hàm số f(x) liên tục trên ¡ Ta có:

2

x 1

x 2x 2

x 1

x 2x 2 (x 1)

³ ìïï

Û íï - + =

Vậy hàm số không đạt min và max (vì không có điểm dừng)

Ví dụ 8 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 x

y

=

+ - .

Giải

Ta có x2 + ³2 2> Þ1 x2+ -2 1> Þ0 D= ¡

2 2

2 /

2 2

x

y

+ -

-+

2

2

=

y = Û0 x + = Û2 2 x= ± 2Þ y ± 2 = ± 2,

2

x

x 1

x x

Vậy ymax = 2, ymin = - 2

Nhận xét:

2

m x + = +2 x m có nghiệm thực Û - 2£ m£ 2

Ví dụ 9 Tìm m để phương trình x+ 2x2 + =1 m có nghiệm

Giải

Xét hàm số y= +x 2x2 + liên tục trên 1 ¡ Ta có:

2

2x

2x 1

-+

2 2

x

2 2x 1 4x

- ³ ìïï

Û íïïî + = Û = - .

x

æ ö÷

çè ø

2

2x 1 x 2x 1 x lim y lim

2x 1 x

®- ¥ ®- ¥

-=

+

2

1 x

+ +

- çç + + ÷÷ - çç + + ÷÷

min

Þ = Þ ³ " Î ¡

Vậy với m 2

2

³ thì phương trình có nghiệm

Chú ý: Có thể dùng bất đẳng thức để tìm min, max của hàm số.

II ĐỊNH LÝ LAGRANGE

Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] (a < b) và có đạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại số c trong khoảng (a; b) sao cho f(b)- f(a)=(b- a)f (c)/

Ví dụ 10 Chứng tỏ rằng phương trình 4x3 +3x2 +2x- 3= có nghiệm trong khoảng (0; 1).0

Giải

Xét hàm số f(x)=x4 +x3+x2- 3x liên tục trên [0; 1] và có đạo hàm trên (0; 1)

Áp dụng định lý Lagrange, ta có :

/ f(1) f(0) 3 2

c (0;1) : f (c) 0 4c 3c 2c 3 0

1 0

Vậy phương trình có nghiệm x = c trong (0; 1)

Ví dụ 11 Chứng tỏ rằng phương trình ax2+bx+ =c 0 có nghiệm trong khoảng (0; 1), trong đó

m 2+ +m 1+ +m= và m > 0.

Giải

a) Khi m = 1 thì ta có bài toán quen thuộc

Xét hàm số

3 2

ax bx

= + + liên tục trên [0; 1] và có đạo hàm trên (0; 1)

Áp dụng định lý Lagrange, ta có :

/ F(1) F(0) a b

- Þ ax2+bx+ =c 0 có nghiệm x = c. b) Khi m > 0 thì ta chỉ cần giải tương tự với số mũ tương ứng

Xét hàm số

m 2 m 1 m

F(x)= + + + + liên tục trên [0; 1] và có đạo hàm trên (0; 1)

Áp dụng định lý Lagrange, ta có :

/ F(1) F(0) m 1 2 a b c

2

Þ + + = có nghiệm x = a

Ví dụ 12 Chứng minh rằng với mọi a, b thì sin b- sina £ b- a

Giải

Dễ thấy với a = b ta có đẳng thức xảy ra

Giả sử a<b, áp dụng định lý Lagrange cho hàm số f(x)=sin x trên [a; b] ta có

c (a; b) : sinb sina (b a)cosc

$ Î - = - Þ sinb- sina = b- a cosc £ b- a

Vậy sin b- sina £ b- a với mọi a, b

Ví dụ 13 Chứng minh rằng nếu 0< <a b thì b a ( )b b a

ln

-< <

Giải

Xét hàm số f(x)=ln x liên tục trên [a; b] và có f (x)/ 1

x

= trên (a; b)

Áp dụng định lý Lagrange, ta có :

( )

c (a; b) : lnb lna ln

0 a b

-< -< Þ < < Þ < < (2)

Vậy từ (1) và (2) ta có b a ln( )b b a

- < <

-

Ví dụ 14 Chứng minh rằng 1 ( x 1) 1

ln

+

< <

+ với x>0.

Giải

Xét hàm số f(t)= ln t liên tục trên [x; x + 1] và có / 1

f (t)

t

= trên (x; x + 1)

Áp dụng định lý Lagrange, ta có :

c (x; x 1) : ln(x 1) ln x ln

Mặt khác 0 x c x 1 1 1 1

< < < + Þ < <

Vậy 1 ln( x 1) 1

+

< <

Ví dụ 15 Chứng minh rằng b 2a tgb tga b 2a

với 0 a b

2

p

< < <

Giải

Xét hàm số f(x)=tgx liên tục trên [a; b] và có /

2

1

f (x)

cos x

= trên (a; b)

Áp dụng định lý Lagrange, ta có :

2

b a

c (a; b) : tgb tga

cos c

Mặt khác 0 a c b 0 cosb cosc cosa

2

p

< < < < Þ < < <

0 cos b cos c cos a

cos a cos c cos b

-Þ < < < Þ < <

Vậy b 2a tgb tga b 2a

-