A, Trong chương trình toán THCS cũng như trong bồi dưỡng học sinh giỏi cấp II, chứng minh đẳng thức là một trong những chuyên đề quan trọng.. Thông qua chứng minh đẳng thức ta có thể ôn
Trang 1CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC.
A, Trong chương trình toán THCS cũng như trong bồi dưỡng học sinh giỏi cấp II, chứng minh đẳng thức là một trong những chuyên đề quan trọng Thông qua chứng minh đẳng thức ta có thể ôn lại cho học sinh rất nhiều kiến thức về tính toán, biến đổi, rút gọn trong tập hợp Q
Chứng minh đẳng thức, học sinh ngoài việc được rèn luyện kĩ năng tính toán, biến đổi, học sinh còn được nâng cao về mặt tư duy lôgic, lập luận các vấn
đề chặt chẽ, được rèn luyện khả năng sáng tạo Có thể nói phương pháp chứng minh đẳng thức rất đa dạng và là tổng hợp các phương pháp lập luận, biến đổi
để chứng minh đề nào dược một vấn đề nào đó của cấp học
Trong chuyên đề chứng minh đẳng thức, ở đây chỉ xin nêu ra một số dạng chứng minh và một số phương pháp giải gần gũi với học sinh cấp II Công cụ toán học chưng minh đẳng thức chỉ phù hợp với đối tượng học sinh cấp II Cái quan trọng là yêu cầu học sinh phải có sự lập luận chặt chẽ, phải biết xét đầy đủ các khía cạnh, các trường hợp cụ thể của từng vấn đề Đặc biệt là hết sức sáng tạo trong chứng minh đẳng thức, biết đặc biệt hoá, tổng quát hoá những vấn đề cần thiết
Trong tài liệu này không đi sâu vào lí thuyết mà chủ yếu đưa ra từng loại bài tập qua các ví dụ cụ thể từ đó hình thành kĩ năng, phương pháp chứng minh
Hệ thống bài tập vân dụng sẽ giúp học sinh có điều kiện hoàn thiện các phương pháp chứng minh và đặc biệt có điều kiện để rèn luyện khả năng sáng tạo của mình
Trang 2I Các phương pháp chứng minh:
1 Chứng minh bằng cách biến đổi đồng nhất
2 Chứng minh bằng cách sử dụng hằng đẳng thức
3 Chứng minh dựa vào dãy tỉ số bằng nhau
4 Chứng minh bằng phương pháp quy nạp
II Một số ví dụ và bài tập.
1.Chứng minh bằng cách biến đổi đồng nhất
Bài 1: Cho phân số b a Chứng minh rằng nếu có b a y x =b a
−
−
thì x y =b a Chứng minh:
Ta có : b a y x =b a
−
− ⇒ (a – x ).b = (b – y ) a
⇒ ab – x b = ab – a y
⇒ bx = ay hay y x =b a
Bài 2: Cho ab – ac + bc – c2 = - 1 với a,b,c ∈ Z
Chứng minh rằng : a + b = 0
Chứng minh:
Ta có : ab – ac + bc – c2 = - 1
(ab – ac ) + (bc – c2) = - 1
a(b – c )+ c(b – c ) = -1
(b – c )(a + c) = -1
Vì a, b, c nguyên nên:
−=
−
=
+
1
1
c b
c
a
hoặc
=
−
−=
+
1
1
c b
c a
⇒ a + b = 0 (ĐPCM)
Trang 3Bài 3: Cho − = 1
a
b c
d
(1) Chứng minh rằng: b a.d c =b a−d c
Chứng minh:
Ta có :
bd
bc ad d
c b
(2)
Từ (1) ⇒ − = 1
ac
bc ad
⇒ ad – bc = ac (3)
Thay (3) vào (2) :b a−d c =bd ac = b a d c (ĐPCM)
Bài 4: Cho các số a, b, c, x , y , z thoả mãn điều kiện a x = b y =c z
Chứng minh rằng : bz−a cy = cx−b az = ay c−bx
Chứng minh:
Đặt
c
z b
y
a
x
=
= = k thì x = ak ; y = bk ; z = ck
0
=
−
=
−
a
bck bck
a
cy
bz
(1)
0
=
−
=
−
b
ack ack
b
bay
cz
(2)
0
=
−
=
−
c
bak bak
c
bx
ay
(3)
Từ (1),(2),(3) ⇒ bz a−cy =cx b−az = ay−c bx
Chứng minh bằng cách hoán vị vòng quanh:
Sử dụng phương pháp này với các chứa nhiều biến số mà chỉ hoán vị vòng quanh các biến số đó không làm thay đổi biểu thức
Ví dụ : Chứng minh rằng:
Trang 4) )(
( ) )(
( ) )(
a c c
a b a
c b b
c
a
c
b
a
−
−
− +
−
−
− +
−
−
−
=
a c c b b
a− + − + −
2 2
2
Nhận xét: Ta thay a bằng b ; b bằng c; c bằng a
Ta chỉ cần biến đổi một thành phần của biểu thức các kết quả của các bài tập khác sẽ được suy ra từ phép biến đổi vòng quanh
Ta có:
) )(
b
a
−
−
−
= (a(c−−c a))(+c(c−−b)b) =
c
b−
1
+
a
c−
1
(1) Thay a = b; b =c ; c = a vào các thành phần còn lại ta có:
) )(
c
b
−
−
−
= a−1b + a1−c (2)
) )(
a
c
−
−
−
= a−1b + b−1c (3)
Cộng từng vế các đẳng thức (1), (2),(3)
⇒ VT = a b b c+c−a
−
+
−
2 2
2
= VP (ĐPCM) Bài tập :
1)Chứng minh rằng ;
n m n m
mn
+ + +
2
= m+ n− m+n
2) Cho x, y là hai số khác nhau , thoả mãn điều kiện:
9x(x – y ) – 10 (y – x )2 = 0 Chứng minh rằng: x = 10 y
2 Chứng minh bằng cách sử dụng hằng đẳng thức: Kiến thức cơ bản:
Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
1, (a + b )2 = a2 + 2ab + b2
2, (a – b )2 = a2 - 2ab + b2
Trang 53, (a – b )(a + b) = a2 – b2
4, (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b)
5, (a – b )3 = a3 – 3a2b + 3 ab2 – b3
(a – b )3 = a3 – b3 – 3ab (a – b )
6, (a – b )(a2 + ab + b2) = a3 – b3
7, (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3
Ta cũng có : (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
Tổng quát hằng đẳng thức 3 và 7, ta có hằng đẳng thức:
8, an – bn = (a – b )(an-1 + an-2b + an-3b2 +…+ abn-2 + bn-1 )
với mọi số nguyên dương n
Tổng quát hằng đẳng thức 6, ta có hằng đẳng thức
9,an + bn = (a + b )(an-1 – an-2b + an-3b2 – … – abn-2 + bn-1 ) với mọi số lẻ n Tổng quát các hằng đẳng thức 1,2,4,5 ta có công thức Niu-tơn
(a + b )n = an + c1an-1b + c2an-2b2 + c3an-3b3 + .+ cn-1abn-1 + bn
Trong đa thức trên vế phải là một đa thức có n + 1 hạng tử, bậc của mỗi hạng
tử đối với tập hợp các biến a, b là n
Bài 1: Cho : a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca (1)
Chứng minh rằng: a = b = c
Chứng minh:
Nhân hai vế của biểu thức (1) với số 2 ta có:
2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ca
⇔2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2bc – 2ac = 0
⇔(a2 – 2 ab + b2) + (b2 – 2bc + c2 ) + (c2 – 2ac + a2) = 0
⇔(a – b )2 + (b – c )2 + (c – a)2 = 0 (1)
Trang 6Vì (a – b )2 ≥0; (b – c )2 ≥0 ; (c – a)2 ≥0
Nên từ (1) ⇒ a – b = b – c = c – a = 0
Hay a = b = c
Bài 2: Cho a + b + c = 2p Chứng minh rằng :
a , a2 + b2 – c 2 + 2bc = 4 (p – b )(p – c )
b , p2 + (p – a )2 + (p – b )2 + (p – c )2 = a2 + b2 +c2
Chứng minh:
a, Ta có : VT = a2 + b2 – c2 + 2bc = a2 – ( b2 + c2 – 2bc ) = a2 – (b – c )2
= (a – b + c)(a+ b – c ) = (2p – 2b )(2p – 2c) = 4 (p – b )(p – c )= VP
b, Ta có: VT = p2 + (p – a )2 + (p – b )2 + (p – c )2
= p2 + (p2 – 2ap + a2) + (p2 – 2pb + b2 ) + (p2 – 2pc + c2)
= 4p2 + a2 + b2 + c2 – 2p(a + b + c)
= 4p2 + a2 + b2 + c2 – 2p 2p
= a2 + b2 + c2 = VP
Bài 3: Cho a + b + c = 0 ; a2
+ b2 + c2 = 1
Chứng minh rằng : a4
+ b4 + c4 = 12 Chứng minh:
* Bình phương hai vế của a2
+ b2 + c2 = 1 ta được :
a4
+ b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + a2c2 ) = 1
* Bình phương hai vế của a + b + c = 0 ta được :
a2
+ b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0
⇒ ab + bc + ca = −21 ( vì a2
+ b2 + c2 = 1 )
* Bình phương của đẳng thức ab + bc + ca = −21 ta được:
Trang 7a2b2 + b2c2 + a2c2 + 2abc(a + b + c) = 14
⇒ a2b2 + b2c2 + a2c2 = 41 (vì a + b + c = 0 )
Vậy a4
+ b4 + c4 + 2.14 = 1 ⇒ a4
+ b4 + c4 = 21
Bài 4: Chứng minh rằng:
(x +y + z)3 – [ (x+y – z )3 +(x – y + z )3 + ( – x +y + z )3 ] = 24xyz Chứng minh:
Đặt : A = x+y – z
B = x – y + z
C = – x +y + z
⇒ A + B + C = x +y + z
Biến đổi vế trái:
VT = (A + B + C )3 – ( A3 + B3+ C3)
= (A + B + C )3 – A3 – B3 – C3
= 3(A2B + B2C + C2A + B2A + C2B + A2C + 2ABC)
= 3 [ (A2B +B2A ) +(B2C + ABC ) + (C2A + C2B) + (A2C + ABC )] = 3 [ AB(A +B ) + BC(B + A ) +C2 (A + B) + AC(A + B)]
= 3 (A +B )(AB + BC +C2 + AC )
= 3 (A +B )(A + C)(B + C)
= 24 xyz = VP (Đpcm)
Bài 5: Giả sử x, y, z, a, b, c ≠ 0 và a x+b y+z c = 0 và a x+b y+c z =1
thì 22 22 22
c
z b
y a
x
+
Chứng minh :
Vì x, y, z, a, b, c ≠0 ta có (a x+b y+c z)2 = 12
Trang 8Ta có: 22 22 22
c
z b
y
a
x
+ + + 2ab xy + 2 ac xz + 2bc yz = 1
⇔ 22 22 22
c
z b
y
a
x + + + 2(ab xy + ac xz + bc yz) = 1 (1)
Mặt khác: a x+b y+c z = 0
Hay ayz+xyz bxz+cyz = 0
⇔axy + bxz + cyz = 0 (2)
(1) ⇔ 22 22 22
c
z b
y a
x
+
abc
ayz bxz cxy
= 1 (3)
Thế (2) vào (3) ta có 22 22 22
c
z b
y a
x
+ + = 1 (Đpcm) Bài tập:
1) Cho a + b + c = 0 Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3 abc 2)Cho (a + b )2 = 2 (a2 +b2)
Chứng minh rằng : a = b
3 Chứng minh dựa vào dãy tỉ số bằng nhau
Bài 1: Cho các số a, b , c , d thoả mãn điều kiện:
3a b =3b c =3c d =3d a và a + b +c +d ≠ 0
Chứng tỏ rằng: a= b = c = d
Chứng minh:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a
d d
c c
b
b
a
3 3
3
3 = = = =3(a b++b c++c d++d a) = 13 (vì a + b +c +d ≠ 0 )
Trang 9a
3 = 31 ⇒ a = b (1) 3b c = 13 ⇒ c = b (2)
d
c
3 = 13 ⇒ c = d (3) 3d a = 31 ⇒ a = d (4)
Từ (1), (2), (3), (4) ⇒ a = b= c = d (Đpcm)
Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu b a=d c = q p thì mb ma++nd nc++ep eq = b a =d c =q p
Chứng minh:
Ta có : b a =d c = q p ⇒ mb ma =nd nc =eq ep = b a =d c = q p
⇒ mb ma++nd nc++ep eq = b a =d c =q p (theo dãy tỉ số bằng nhau)
Bài 3: Chứng minh rằng: a a b b =c c−+a a
−
+
⇒ a2 = bc Chứng minh:
Ta có :
b a
b a
−
+
=
a c
a c
−
+
= k
⇒ a + b = k (a – b )
c + a = k (c – a )
⇒a( 1 – k ) = – b (1 + k)
a( 1 – k ) = – a (1 + k)
⇒ a c((11−−k k)) = −−a b((11++k k)) ⇒ a c =a b ⇒ a2 = bc (Đpcm)
Bài 4: Chứng minh rằng :
c
b a b
a c a
c b
−
+
−
+
c a c
b c b
a
= 9 Nếu a + b + c = 0
Chứng minh:
Biến đổi vế trái:
c
b a b
a c a
c
b
−
+
−
+
c a c
b c b a
Trang 10= 3 + a b((c b−−a c)) + b a((b c−−c a)) + b c((a c−−a b)) +a c((b a−−c b))+b c((c a−−a b))
* a b((c b−−a c))+ b c((c a−−a b))=
c
b a a
c b
a c
b
−
= b(bc−ac c(2c+−a a2)−ab)
= b(c ac−a(c)(−bc a)−a)
= b(b−ac c−a) =
ac
b2
2
* b a((b c−−a c)) + a c((b a−−c b)) =
bc
a2
2
* a c((b a−−c b)) + b c((a c−−b a)) =
ab
c2
2
ab
c ac
b bc
a2 2 2
= 3 + 2
abc
c b
a3 + 3 + 2
= 3 + 2
abc
abc abc c
b
a3 + 3 + 2 − 3 + 3
= 9 + 2
abc
ca bc ab c b a c b
= 9 (Vì a + b + c = 0) = VP
4.Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học (truy toán)
Lí thuyết cơ bản:
Bước 1: Thử với một số trường hợp đơn giản
Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k
Bước 3: Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với n = k + 1
B i 1: à Chứng minh rằng:
Sn = 1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n2
Chứng minh:
Thử trực tiếp: Ta thấy S1 = 1
Trang 11S2 = 1+3 = 22
S3 = 1 + 3 + 5 = 32
……
Giả sử đẳng thức đúng với n = k (k ≥1)
Tức là Sk = k2 (2)
Ta cần chứng minh : Sk+1 = ( k +1 ) 2 ( 3)
ThËt vËy céng 2 vÕ cña ( 2) víi 2k +1 ta cã :
1 + 3 +5 + …+ (2k – 1 ) + (2k + 1) = k2 + (2k +1)
Vì k2 + (2k + 1) = (k + 1)2
Nên 1+ 3 + 5 + …+ (2k – 1) + (2k + 1) = (k +1)2
Theo nguyên lí quy nạp thì bài toán được chứng minh Bài tập:
Chứng minh các bài toán sau bằng phương pháp quy nạp
1) 1 + 2 + 3 + 4 + … + n =
2
) 1 (n+ n
2) 12 + 22 + …+ n2 =
6
) 1 2 )(
1 (n+ n+
n
3, 13+23 + + n3 = 2
2
) 1 (
4, 15 + 25 + …n5 =
12
1
.n2 (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n – 1 ) Một số sai lầm trong tronh chứng minh quy nạp toán học: Thiếu bước chứng minh:
Sai lầm khi sử dụng nguyên lí
Trang 12LỜI CẢM ƠN
Trên đây là chuyên đề về chứng minh đẳng thức ở THCS Mặc dù tác giả đã
cố gắng hết sức nhưng vẫn không thể không có thiếu sót ( trong quá trình chọn bài và cách giải )
Kính mong độc giả đón đọc và đóng góp ý kiến để các chuyên đề sau tác giả viết tốt hơn
Địa chỉ gmail: loannhuthi.@gmail Com
Địa chỉ : Nhữ Thị Loan
Giáo viên : Trường THCS Bình Long Huyện Võ Nhai – Thái Nguyên