phương trình, bất phương trình đại số bậc cao, phân thức hữu tỉ (phần 2)

HỆ số bất định phân tích hẳng đẳng thức hệ số biến thiên hằng số biến thiên Bài toán hồi quy, hệ đối xứng Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình Bài toán có nhiều cách giải 1. Kỹ thuật nhân, chia đơn thức, đa thức, hằng đẳng thức. 2. Nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 3. Nắm vững các phương pháp giải, biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai. 4. Sử dụng thành thạo các ký hiệu toán học, logic (ký hiệu hội, tuyển, kéo theo, tương đương). 5. Kỹ năng giải hệ phương trình cơ bản – hệ đối xứng các loại.

Trang 1

TÀI LIỆU THAM KHẢO TOÁN HỌC PHỔ THÔNG _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH

E F

CHỦ ĐẠO: DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ

 HỆ SỐ BẤT ĐỊNH.

 PHÂN TÍCH HẰNG ĐẲNG THỨC.

 THAM SỐ BIẾN THIÊN – HẰNG SỐ BIẾN THIÊN.

 BÀI TOÁN HỒI QUY – HỆ SỐ ĐỐI XỨNG.

 ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

 BÀI TOÁN NHIỀU CÁCH GIẢI.

CREATED BY GIANG SƠN (FACEBOOK) XYZ1 3 9 8@GMAIL.COM (GMAIL)

THỦ ĐÔ HÀ NỘI – MÙA THU 2 1

Trang 2

“ Non sông Việt Nam có trở nên tươi đẹp hay không, dân tộc Việt Nam có bước tới đài vinh quang để sánh vai với các cường quốc năm châu được hay không, chính là nhờ một phần lớn ở công học tập của các em ”

( Trích thư Chủ t ch Hồ Chí Minh ).

“ Khi bạn tức giận run mình trước những bất công, thì bạn là người đồng chí của tôi ”

( Trích lời Che Gue ara ).

Trang 3

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO – PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2)

-

Trong chương trình Toán học phổ thông nước ta, cụ thể là chương trình Đại số, phương trình và bất phương trình là một nội dung quan trọng, phổ biến trên nhiều dạng toán xuyên suốt các cấp học, cũng là bộ phận thường thấy trong các kỳ thi kiểm tra chất lượng học kỳ, thi tuyển sinh lớp 10 THPT, thi học sinh giỏi môn Toán các cấp và

kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng với hình thức hết sức phong phú, đa dạng Mặc dù đây là một đề tài quen thuộc, chính thống nhưng không vì thế mà giảm đi phần thú vị, nhiều bài toán cơ bản tăng dần đến mức khó thậm chí rất khó, với các biến đổi đẹp kết hợp nhiều kiến thức, kỹ năng vẫn làm khó nhiều bạn học sinh THCS, THPT Chương trình Đại số lớp 9 THCS đã giới thiệu, đi sâu khai thác các bài toán về phương trình bậc hai, chương trình Đại số 10 THPT đưa chúng ta tiếp cận tam thức bậc hai với các định lý về dấu nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc hai và ứng dụng Trong phương trình và bất phương trình đại số nói chung, chúng ta bắt gặp rất nhiều bài toán cps dạng đại số bậc cao, phân thức hữu tỷ, các bài toán có mức độ khó dễ khác nhau, đòi hỏi tư duy linh hoạt và vẻ đẹp cũng rất riêng ! Từ rất lâu rồi, đây vẫn là vấn đề quan trọng, xuất hiện hầu khắp và là công đoạn cuối quyết định trong nhiều bài toán phương trình, hệ phương trình chứa căn, phương trình vi phân, dãy số, Vì thế về tinh thần, nó vẫn được đông đảo các bạn học sinh, các thầy cô giáo và các chuyên gia Toán phổ thông quan tâm sâu sắc Sự đa dạng về hình thức của lớp bài toán căn này đặt ra yêu cầu cấp thiết là làm thế nào để đơn giản hóa, thực tế các phương pháp giải, kỹ năng, mẹo mực đã hình thành, đi vào hệ thống Về cơ bản để làm việc với lớp phương trình, bất phương trình này chúng ta ưu tiên hạ hoặc giảm bậc của bài toán gốc, cố gắng đưa về các dạng bậc hai, bậc nhất hoặc các dạng đặc thù (đã được khái quát trước đó) Trong chuyên đề này, Tiếp theo lý thuyết phương trình – bất phương trình bậc cao, phân thức hữu tỷ phần 1, tác giả xin trân trọng tới quý độc giả lý thuyết phương trình – bất phương trình bậc cao, phân tích hữu tỷ phần 2, trình bày thêm một số kỹ thuật – phương pháp giải như: Hệ số bất định – phân tích hằng đẳng thức; Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn – tham số biến thiên – hằng số biến thiên; Lớp các bài toán hồi quy và hệ số đối xứng, phản đối xứng; Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình, phạm vi kiến thức phù hợp với các bạn học sinh THCS (lớp 8, lớp 9) ôn thi vào lớp 10 THPT, các bạn học sinh THPT thi học sinh giỏi Toán các cấp và luyện thi vào hệ đại học, cao đẳng, cao hơn là tài liệu tham khảo dành cho các thầy cô giáo và các bạn yêu Toán khác

I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1 Kỹ thuật nhân, chia đơn thức, đa thức, hằng đẳng thức

2 Nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

3 Nắm vững các phương pháp giải, biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai

4 Sử dụng thành thạo các ký hiệu toán học, logic (ký hiệu hội, tuyển, kéo theo, tương đương)

5 Kỹ năng giải hệ phương trình cơ bản – hệ đối xứng các loại

Trang 4

I MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VÀ KINH NGHIỆM THAO TÁC

Bài to n 1 Giải phươn rìn h 4 3 2  

Ngoài 3 lời giải phía trên, bài toán còn ít nhất một lời giải sử dụng ẩn phụ không hoàn toàn – tham số biến

thiên, xin không trình bày Lời giải 1 dựa trên thao tác nhẩm nghiệm đặc biệt của phương trình (tổng các hệ số đa thức bằng 0 nên tất yếu có nghiệm bằng 1, sử dụng phép nhóm nhân tử đưa về phương trình tích cơ bản) Lời giải 2

sử dụng hệ số bất định phân tích trực tiếp đa thức bậc bốn thành hai tam thức bậc hai, phép nhân trả lại mang tính hình thức đảm bảo tính tự nhiên cho bài toán Lời giải 3 khá khéo léo và bất ngờ, sử dụng phân tích hiệu bình phương sau khi nhân thêm hằng số

Trang 5

Cụ thể hóa bài toán 2 với phương pháp hệ số bất định

Trang 6

sẽ thu được lời giải tự nhiên hơn

Vậy phương trình đã cho có S   1; 2;3; 4 

Lời giải 2

Điều kiện x  

Phương trình đã cho tương đương với

Trang 7

Nhận xét

Bài toán 4 lúc này đã trở nên vô nghiệm nên thao tác thử nghiệm và dùng nhóm nhân tử theo nghiệm là bất khả

thi Trong trường hợp đó các bạn có thể sử dụng hệ số bất định hoặc quy về dạng đồng bậc như lời giải 2 Lời giải

3 sử dụng phân tích hằng đẳng thức cũng rất ấn tượng Trong phần đầu tài liệu tác giả chú trọng trình bày các lời giải theo hướng hệ số bất định hoặc phân tích hằng đẳng thức, các bạn chú ý nhé

Dễ thấy các nghiệm đều vô tỷ nên có thể thấy các phương pháp nhẩm nghiệm nguyên nói chung bất khả thi,

(mặc dù sử dụng định lý Viete để suy ra nhân tử rất thành công), hơn nữa bài toán cũng không nằm trong các dạng

đặc biệt mà ta đã biết Trong trường hợp này các bạn có thể nghĩ tới kỹ thuật phân tích hằng đẳng thức, đưa bài toán về nhân tử một cách tự nhiên như lời giải 1

Vì sao chúng ta lại có 4 3 2  2  2 

x  x  x  x   x   x x  x  ?

Trang 8

Sử dụng đồng nhất hệ số

10 9 24 9

a c

b d ac

ad bc bd

Nếu tích hệ số bd quá lớn, các bạn có thể sử dụng phép gán giá trị và thử chọn

Bài to n 6 Giải phươn rìn h 2 4  

Kết luận phương trình đã cho có bốn nghiệm

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm

7 2 28 24 0

Lời giải 1

Trang 9

Phương trình đã cho tương đương với

Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm

Trang 10

Nhận xét

phân tích hằng đẳng thức dưới dạng  2 2  2

m ax  b  n cx  d Cụ thể hóa phân tích đối với một số bài toán

Bài toán 6 Giải phương trình 21 x2  x4 10 x  3

2 2  a x  8 x  a  4  0 có nghiệm duy kép khi và chỉ khi

Bài to n 1 Giải phươn rìn h 4  

Trang 11

Kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm

x     x    

Nhận xét

Quan sát các bài toán 10, 11, 12, 13 các bạn có thể thấy nghiệm của phương trình có dạng vô tỷ rất phức tạp,

nguyên do hệ quả thu được là các phương trình bậc hai với hệ số không nguyên Điều này gây cản trở cho thao tác

sử dụng hệ số bất định Trong những trường hợp này phương án khả thi chỉ có thể là đặt ẩn phụ không hoàn toàn hoặc phân tích hằng đẳng thức như trên Phép phân tích hằng đẳng thức vô cùng cơ bản, thuần túy, đòi hỏi tư duy không quá sâu nhưng vẫn yêu cầu sự khéo léo trong biến đổi, hoàn toàn phù hợp với các bạn học sinh thế hệ THCS Để đi sâu hơn nữa mời quý bạn theo dõi các ví dụ tiếp theo

Trang 12

Trang 13

Trang 14

Nhận xét

Đối với các phương trình đa thức bậc bốn khả quy, sử dụng hệ số bất định là một lựa chọn phổ biến đưa về

phương trình tích, tuy nhiên chưa tối ưu đối với một số trường hợp mà phương trình bậc hai hệ quả có hệ số không nguyên Trong hoàn cảnh đó, thao tác phân tích hằng đẳng thức trở nên hiệu quả, cơ bản và thú vị

Với các đa thức bậc bốn đầy đủ như bài toán 22, các bạn có thể quy về dạng tổng quát

x   x  x  , ý tưởng bài toán cơ bản hoàn thiện

Kết luận phương trình ban đầu có bốn nghiệm kể trên

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm

2 x  4 x  3 x  2 x   1 0 x  

Lời giải

Trang 15

Điều kiện x   Phương trình đã cho tương đương với

Tác giả xin thực hành phân tích hằng đẳng thức đối với ba bài toán 23, 24, 25

Bài toán 23 Giải phương trình 4 3 2  

Trường hợp thứ 2 dễ thấy không thỏa mãn

4 x  4 x  3 x  6 x   7 0 x   Biến đổi

2 x   x 1  2 x  2 Tiếp tục giải hai phương trình bậc hai cơ bản

2 x  4 x  3 x  2 x   1 0 x   Biến đổi

Trang 16

a   x   x  x  và biến đổi tuần tự để lời gian được tự nhiên

Bài toán về cơ bản hoàn tất

2 x  x  6 x    x 6 0 x  

Trang 17

Điều kiện x   Phương trình đã cho tương đương với

Kết luận phương trình ban đầu vô nghiệm

Trang 18

Kết luận phương trình đã cho có bốn nghiệm như trên

Trang 19

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm kể trên

Trang 20

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Nhận xét

Qua 34 bài toán trên các bạn độc giả có thể thấy phương trình đa thức bậc bốn khả quy luôn đưa được về các

phương trình bậc hai hệ quả Tùy theo đặc thù mỗi bài toán các bạn có thể lựa chọn cho mình phương pháp ghép nhân tử chung, đặt ẩn phụ, hệ số bất định hay phân tích hằng đẳng thức Nói riêng về phân tích hằng đẳng thức, một kỹ thuật khá hay và rất cơ bản mà tác giả đã trình bày, xin lưu ý có hai trường hợp

Một số thí dụ đã chứng tỏ rằng (i) luôn quy được về (ii) trong trường hợp các đa thức hệ quả đều có hệ số hữu

tỷ (điển hình là các bài toán 28 và 29), và làm cách nào để quy được về (ii) thì vấn đề này đã được đề cập Đối với trường hợp (i) với hệ số vô tỷ phức tạp như các bài toán 31, 32 thì việc phân tích có lẽ cần sử dụng đến sự trợ giúp của máy tính với các thủ thuật, hoặc nếu không phụ thuộc ít nhiều vào yếu tố may mắn và kinh nghiệm Phần tiếp theo mời các bạn đến với các bài tập bậc cao với phân thức, đòi hỏi phân tích hằng đẳng thức ở một góc độ khác cũng như sự linh hoạt, tổng hợp các kiến thức đã học

Trang 23

Bài to n 3 Giải phươn rìn h  

Kết luận phương trình có hai nghiệm như trên

22

Trang 24

So sánh điều kiện, kết luận phương trình ban đầu có hai nghiệm

Bài to n 3 Giải phươn rìn h x x  2  12 4 3  x 

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm x   2; x   1; x  1

Bài to n 4 Giải phươn rìn h

22

Trang 25

Bài to n 4 Giải phươn rìn h  2   

22

Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm như trên

Trang 26

22

Bài to n 4 Giải bất p ươn rìn h 42 4 3 x  x 3  x 7   x 

Trang 27

4 4 3 3

3

x

x x

9 6 1

1

x

x x

1 13 7

9 6 1

1

x

x x

x

x x

1 9 14

2 3 5 2

2

x

x x

x x x

Trang 28

22

3 1

222

9

7 3

Trang 29

 2

Kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm như trên

Nhận xét

Hai bài toán 48 và 49 đã xuất hiện tại một số kỳ thi và một số tài liệu tham khảo khác, cách giải thông thường

là thêm bớt quy về hằng đẳng thức hoặc quy về phương trình đặt được ẩn phụ như lời giải 1 Tuy nhiên đây chỉ là một phương án, nếu chú ý một chút có thể thấy quy đồng phương trình ta thu được phương trình bậc bốn không quá phức tạp, và đối với một phương trình bậc bốn lại có rất nhiều lựa chọn Một kinh nghiệm trong giải toán phổ thông là không ngừng đào sâu suy nghĩ, kết nối các phương pháp, xoay chuyển bài toán theo nhiều góc độ khác nhau, mạnh dạn, táo bạo và đôi khi cũng cần mạo hiểm

22

15 1

Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm như trên

 2  

2

2 2

22

Trang 30

2 6 9 17

32 96 144 17 102 153 16

Trang 31

 2 2  

25 11 1

So sánh điều kiện, kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm

Bài to n 5 Giải phươn rìn h    

22

3

x  x 

Lời giải 2

Trang 32

x x

Phương trình (1) vô nghiệm nên phương trình ban đầu vô nghiệm

Trang 33

Bài to n 5 Giải bất p ươn rìn h

22

2

9

7 3

chưa từng "trải nghiệm" Có thể tổng quát dạng toán như sau

nx  p 

Trang 34

4

12 2

x x

2

81

40 9

x x

x x x

x

x x

x

x x

Trang 35

2 6 2 1 0

Lời giải 1

Kết luận phương trình đã cho có ba nghiệm

10 x  27 x  110 x  27 x  10  0 x  

Lời giải 1

Trang 39

Các bài toán từ 59 đến 67 đều có hình thức tương tự như nhau, sở dĩ là phương trình bậc bốn đầy đủ nên có

nhiều hướng tiếp cận, từ hệ số bất định, phân tích hằng đẳng thức, đến ẩn phụ không hoàn toàn, ẩn phụ đồng bậc Tuy nhiên hướng đi cơ bản nhất vẫn là dựa trên hình thức đặc biệt của bài toán, các bạn có thể nhận thấy các hệ số các hạng tử đối xứng nhau qua số hạng trung tâm (các hệ số của hai số hạng tương ứng cách đều số dạng đầu và

số hạng cuối trùng nhau), lớp bài toán mang tên phương trình hệ số đối xứng

trong đó đa thức f x   với đầy đủ các hạng tử sắp xếp từ bậc cao từ bậc thấp tới bậc thấp (kể cả hệ số bằng 0) sao cho từng cặp hệ số cách đều hai đầu thì trùng nhau

Nói riêng, dạng tổng quát của lớp phương trình này là ax4 bx3 cx2 bx a   với 0 a  0

Dạng bài toán này mang tên phương trình hệ số đối xứng (bậc 4 – bậc chẵn), là một trường hợp riêng của phương trình hồi quy mà chúng ta sẽ xét trong các ví dụ tiếp theo

Cách giải (áp dụng đối với phương trình hệ số đối xứng bậc chẵn)

Trang 40

Để tồn tại x thì [*] cần có ít nhất một nghiệm t  x2không âm Dễ thấy phương trình có tích hai nghiệm bằng 1

Trang 41

Bài to n 6 Giải phươn rìn h 5 4 3 2  

Vậy phương trình ban đầu có bốn nghiệm

Bài to n 7 Giải phươn rìn h 5 4 3 2  

Định dạng
Số trang	108
Dung lượng	1,13 MB