- Phơng trình bậc hai một ẩn là một trong những phần kiến thức trọng tâm trong ch-ơng trình toán 9, đòi hỏi mỗi học sinh phải nắm đợc một số cách giải và công thức nghiệm của phơng trình
Trang 1GV: Trần Mạnh Cờng Chuyên đề PTB2
Phần I: Phần mở đầu
I lý do chọn đề tài.
- Phơng trình bậc hai một ẩn là một trong những phần kiến thức trọng tâm trong
ch-ơng trình toán 9, đòi hỏi mỗi học sinh phải nắm đợc một số cách giải và công thức nghiệm của phơng trình bậc hai để giải phơng trình bậc hai một ẩn một cách nhanh chóng và chính xác
- Đối với những học sinh có học lực trung bình thì việc áp dụng phơng công thức nghiệm của phơng trình bậc hai để giải các phơng trình bậc hai có hệ số là các số nguyên
có thể là đơn giản, nhng đối với những phơng trình bậc hai có hệ số là phân số hoặc có hệ
số vô tỉ thì việc giải các phơng trình này trở nên khó khăn, dễ gây nhầm lẫn cho học sinh khi giải
- Khi làm việc trên những phơng trình bậc hai chứa tham số học sinh thờng lúng túng trong việc tìm lời giải, hoặc thờng mắc phải những sai lầm khi biện luận về nghiệm của
ph-ơng trình, với những bài toán biện luận về sự tồn tại nghiệm của phph-ơng trình học sinh lại cha nắm đợc phơng pháp chung để giải
- Việc nắm vững công thức nghiệm của phơng trình bậc hai có thể giúp học sinh vận dụng vào những phơng trình chứa tham số để biện luận số nghiệm của phơng trình theo tham số hoặc tìm điều kiện của tham số để phơng trình vô nghiệm, phơng trình có một nghiệm, phơng trình có hai nghiệm phân biệt
- Giải phơng trình bậc hai lại là cơ sở cho nhiều kiến thức rất đa dạng sau này nh áp dụng hệ thức Viét vào phơng trình bậc hai, giả bài toán bằng cách lập phơng trình, áp dụng phơng trình bậc hai để giải một số phơng trình quy về bậc hai, giải hệ phơng trình đa về
ph-ơng trình bậc hai, giải bài toàn bằng cách lập phph-ơng trình,
- Với những lý do trên đây tôi xin đa ra chuyên đề Ph“Ph ơng trình bậc hai” để khắc
phục một số khó khăn mà học sinh thờng mắc phải ở trên đồng thời với chuyên đề này tôi
hy vọng sẽ cung cấp cho học sinh và các độc giả một hệ thống khiến thức khá đầy đủ vè phơng pháp giải phơng trình bậc hai và một số kiến thức có liên quan
II Phạm vi, đối tợng, mục đích của đề tài.
1 Phạm vi nghên cứu của đề tài:
- Định nghĩa phơng trình bậc hai một ẩn
- Công thức nghiệm và một số phơng pháp giải phơng trình bậc hai
- Một số bài tập về gải phơng trình bậc hai
- Một số bài tập về sự tồn tại nghiệm của phơng trình bậc hai
- Một số bài tập về giải và biện luận phơng trình bậc hai
- Giải một số phơng trình quy về phơng trình bậc hai
Trang 2GV: Trần Mạnh Cờng Chuyên đề PTB2
2 Đối tợng của đề tài:
- Học sinh đại trà lớp 9
- Các thầy cô giáo trong tổ toán của trờng
3 Mục đích của đề tài:
- Cung cấp cho học sinh một cách hệ thống các kiến thức về phơng trình bậc hai: Định nghĩa phơng trình bậc hai một ẩn, công tnhwcs nghiệm của phơng trình bậc hai và các cách giả của phơng trình bậc hai một ẩn
- Vận dụng công thức nghiệm của phơng trình bậc hai một ẩn để gải, biện luận các phơng trình bậc hai một ẩn, tìm điều kiện của tham số để phơng trình vô nghiện, phơng trình có một nghiệm kép, phơng trình có hai nghiệm phân biệt
- áp dụng cách giải phơng trình bậc hai để giải một số phơng trình quy về phơng trình bậc hai
- Rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải phơng trình bậc hai một cách nhanh chóng và chính xác, lựa chọn phơng pháp giả phơng trình bậc hai một cách phù hợp đối với từng bài
- Rèn luyện cho học sinh biết vận dụng những kiến thức cơ bản về phơng trình bậc hai để
áp dụng vào giải một số bài toán liên quan đến phơng trình bậc hai
- Hình thành cho học sinh khả năng t duy tìm tòi, sáng tạo khi giả toán, biết vận dụng các kiến thức một cách linh hoạt trong những trờng hợp khác nhau
- Góp phần chuẩn bị kiến thức cho học sinh cho học khi thi vào lớp 10
- Là một tài liệu tham khảo cho học sinh và các giáo viên khi tìm hiểu các kiến thức về
ph-ơng trình bậc hai
- Là tài liệu tham khảo cho giáo viên tổ toán trong trờng khi dạy đại trà cho học sinh lớp 9
về lĩnh vực phơng trình bậc hai
III Tài liệu tham khảo:
- SGK toán 9 (tập 2)
- SBT toán 9 (tập 2)
- Để học tốt toán 9 (tập 2) Nhà xuất bản Hà Nội
- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9 Nhà xuất bản giáo dục
- Lời giải môn toán kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 Nhà xuất bản Đại học quốc gia thành
phố Hồ Chí Minh.
- 30 bộ đề ôn tập toán 9 Nhà xuất bản Thành phố Hồ Chí Minh.
2
Trang 3GV: Trần Mạnh Cờng Chuyên đề PTB2
Phần II Nội dung nghiên cứu của đề tài I.Định nghĩa ph ơng trình bậc hai:
Phơng trình bậc hai một ẩn là phơng trình có dạng ax2 + bx + c = 0 trong đó a, b, c là các số cho trớc, còn gọi là các hệ số và a 0
VD: 2x2 – 3x + 5 = 0
-x2 + 4 = 0 (còn đợc gọi là phơng trình bậc 2 một ẩn khuyết hệ số b)
5x2 + 2x = 0 (còn đợc gọi là phơng trình bậc hai một ẩn khuyết hệ số c)
-3x2 = 0 (còn đợc gọi là phơng trình bậc hai một ẩn khuyết cả hệ số b và hệ số c)
II.Cách giải ph ơng trình bậc hai.
Để giải phơng trình bạc hai ta có thể sử dụng các phơng pháp sau:
Phơng pháp 1: Biến đổi phơng trình về dạng:
a(x + m)2 = n
Phơng pháp 2: Biến đổi phơng trình thành phơng trình tích:
a(x + m)(x + n) = 0
Phơng pháp 3: Dùng công thức nghiệm của phơng trình bậc hai:
Ta có: b2 4ac
1 Nếu 0 phơng trình vô nghiệm
2 Nếu 0 phơng trình có nghiệm kép:
a
b x x
2
2 1
3 Nếu 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
a
b x a
b x
2
;
2 2 1
- Lu ý: Nếu b = 2b’ ta sử dụng công thức nghiệm thu gọn:
'
= b’2 – ac
1 Nếu ' < 0 phơng trình vô nghiệm
2 Nếu ' = 0 phơng trình có nghiệm kép:
a
b x
x1 2 '
3 Nếu ' > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
a
b
x1 ' ';
a
b
x2 ' '
Phơng pháp 4: Trong trờng hợp đặc biệt:
+ Nếu a + b + c = 0 phơng trình có nghiệm x1 = 1; x2 =
a c
+ Nếu a – b + c = 0 phơng trình có nghiệm x1 = -1; x2 =
a c
Trang 4GV: Trần Mạnh Cờng Chuyên đề PTB2
Phơng pháp 5: Ngoài ra ta có thể sử dụng hệ thức Viét để nhẩm nghiệm của phơng trình
trong trờng hợp có thể
Nếu phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thì:
a c x x
P
a b x
x
S
2 1
2 1
.
Từ đó ta tìm hai số thoả mãn hẹ thức này
Chú ý: Khi giải phơng trình bậc hai thông thờng ta sử dụng công thức nghiệm hoặc
công thức nghiệm thu gọn để giải
III Một số dạng bài tập về ph ơng trình bậc hai:
Các ví dụ
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
x2 + 2x – 3 = 0
Giải:
Ta có thể sử dụng theo các cách sau:
Cách 1: Ta có thể sử dụng kết qủa a + b + c = 0
Ta có a + b + c = 1 + 2 – 3 = 0
Suy ra, phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 1, x2 = -3
Cách 2: Sử dụng công thức nghiệm tổng quát:
Ta có: 2 2 4 1 ( 3 ) 4 12 16 4
2
4 2 ,
1 2
4 2
2
1 x
x
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 1 , x2 = -3
Cách 3: Sử dụng công thức nghiệm thu gọn:
Ta có: ' 1 2 1 ( 3 ) 1 3 4 2
1
2 1 ,
1 1
2 1
2
1 x
x
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 1 , x2 = -3
Cách 4: Sử dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
3
1 0
3
0 1
0 ) 3 )(
1 ( 0 ) 1 ( 3 ) 1 ( 0
3 3 0
3
2
x
x x
x
x x
x x
x x
x x x
x
Vậy phơng trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2 = -3
Cách 5: Sử dụng phơng pháp biến đổi A2 = m
3
1 2
1
2 1
4 )
1 (
3 1 1 2
0 3
2
x
x x
x
x x
x x
x
Vậy phơng trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 = -3
Cách 6: Sử dụng hệ thức Viét để nhẩm nghiệm.
Theo hệ thức Viét ta có:
3
2
2
1
2
1
x
x
x
x
Hai số 1; -3 thoả mãn hệ thức trên
vậyphơng trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = -3
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
- 6x2 + 7x – 2 = 0
Giải:
Cách 1: Sử dụng công thức nghiệm tổng quát:
Ta có:
1 1
48 49 ) 2 )(
6
.(
4
7 2
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt
3
2 12
1 7 ,
2
1 12
1 7
2
x
4
Trang 5GV: Trần Mạnh Cờng Chuyên đề PTB2 Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt
3
2 ,
2
1
2
x
Cách 2: Sử dụng phép biến đổi trớc khi sử dụng công thức nghiệm
Ta có: - 6x2 + 7x – 2 = 0 6x2 - 7x + 2 = 0
1 1
48 49 6
4
)
7
( 2
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt
2
1 12
1 7 ,
3
2
12
1
7
2
x
Vạy phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
3
2 ,
2
1
2
x
Ví dụ 3: Giải phơng trình: 5 3 0
3
4 2
x x
Giải:
Cách 1: Sử dụng công thức nghiệm:
3
4 4 ) 5 ( 2
Do đó phơng trình có hai nghiêm phân biệt:
3 3
4 2
3 5
; 4
3
3
4
.
2
3
5
2
x
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 =
4
3
; x2 = 3 Cách 2: Biến đổi rồi sử dụng công thức nghiệm:
(Nhận xét: Để phơng trình với hệ số là phân số thì khi tính toán biệt số sẽ gặp phải khó
khăn khi thực hiện các phép tính Để dẽ dàng hơn ta có thể đa phơng trình về phơng trình
có hệ số nguyên)
Nhân hai vế của phơng trình với 3 ta đợc:
0 9 15 4 0 3
5
3
x
Ta có: ( 15 ) 2 4 4 9 225 144 81 9
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt
4
3 8
9 15 ,
3 8
9 15
2
x
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt
4
3 ,
x
Ví dụ 4: Giải phơng trình sau:
0 2 12 3
2
2 2
x
x
Giải:
Cách 1: Sử dụng công thức nghiệm:
Ta có:
3 2 ( 12 2 ) 3 24 27 3 3
' 2
Do đó phơng trình có hai nghiệm: x1 = 2 6
2
3 4 2
3 3 3
2
3 2 2
3 3 3
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 2 6; x2 = 6
Cách 2:Biến đổi rồi sử dụng công thức nghiệm:
Nhân cả hai vế của phơng trình với 2 ta đợc:
2x2 - 2 6x – 24 = 0
6 2 ( 24 ) 6 48 54 3 6
' 2
Do đó phơng trình có hai nghiệm: x1 = 2 6
2
6 4 2
6 3 6
2
6 2 2
6 3 6
Ví dụ 5:
Trang 6GV: Trần Mạnh Cờng Chuyên đề PTB2 Giải phơng trình:
0 2 ) 1 2 (
1
2
1 2
Giải:
Cách 1: Thực hiện quy đồng mẫu số phơng trình có dạng:
0 2 2 2 ) 2 2
3
(
0 ) 1 2 (
2 )
1
2
(
2
2
2
x x
x x
Nhận xét hệ số của phơng trình: a - b + c =1 ( 3 2 2 ) 2 2 2 0
phơng trình có hai nghiệm: x1= -1; x2 = 2 2 2
1
2 2 2
Cách 2: Thực hiện nhân biểu thức liên hợp:
0 2 ) 1 2 ( )
1
2
(
0 2 ) 1 2 ( ) 1 2 ).(
1
2
(
1 2
2
2
x x
x x
Nhận xét: Các hệ số của phơng trình: a – b + c = ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 0
phơng trình có hai nghiệm: x1= -1; x2 = 2 2 2
1 2
2
Chú ý: Đối với những phơng trình khi sử dụng công thức nghiệm để giải việc tính biệt số
khó khăn ta có thể sử dụng một số các phơng pháp khác để giải:
Ví dụ 6: Giải phơng trình:
0 2 2 ) 2
2
(
) 2
x
a
0 6 2 3
1
) 2
x
b
0 2 3 5
2
) 2
x
x
c
0 24 ) 2 3 3 2
(
2
6
) 2
x
d
Giải:
a) Cách 1: Sử dụng công thức nghiệm
0 2 2 )
2
2
(
2
x
Ta có: ( 2 2 ) 2 4 1 2 2 4 4 2 2 8 2 6 4 2 ( 2 2 ) 2 2 2
Phơng trình có hai nghiệm:
2 2
2 2
2
2
2
) 2 2 ( 2 2
x
Vậy phơng trình có hai nghiệm x1= 2 ; x2 = 2
Cách 2: Phan tích thành nhân tử:
2
2 0
2
0 2
0 ) 2 )(
2 (
0 ) 2 (
2 ) 2 (
0 2 2 2 ) 2 (
0 2 2 )
2 2
2
x
x x
x
x x
x x
x
x x
x x
x
Vậy phơng trình có hai nghiệm x1= 2 ; x2 = 2
b) Cách 1: Sử dụng công thức nghiệm:
2 3 )
2 3 ( 6 2 2 3 6 4 6 2 2 3 6 1 4 )
2
3
(
0 6 ) 2 3 ( 0
6 2
3
1
2 2
2 2
x
Phơng trình có hai nghiệm:
3 2
) 2 3 ( ) 2 3 (
; 2 2
) 2 3 ( ) 2 3
(
2
x
Vậy phơng trình có hai nghiện x1 = - 2 ; x2 = - 3
Cách 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:
Thực hiện nhân với biểu thức liên hợp ta đợc:
6
Trang 7GV: Trần Mạnh Cờng Chuyên đề PTB2
2
3 0
2 0 3
0 ) 2 )(
3 (
0 ) 3 (
2 )
3 (
0 6 2
3 0
6 )
2 3
2
x
x x
x
x x
x x
x
x x
x x
x
Vậy phơng trình có hai nghiện x1 = - 2 ; x2 = - 3
c) Cách 1: Sử dụng công thức nghiệm:
Ta có:
1 24 25 2 3 2 4
)
5
( 2
Phơng trình có hai nghiệm:
2 2 2
1 5
; 2
3
2
2
1
5
2
x
Vậy phơng trình có hai nghiệm: x1 =
2
3
; x2= 2
Cách 2: Phân tích thành nhân tử:
2 3 2 0
3 2
0 2
0 ) 3 2
)(
2 (
0 ) 2 (
3 ) 2 (
2
0 2 3 3
2 2
0 2 3 5
x x x
x
x x
x x
x
x x x
x x
Vậy phơng trình có hai nghiệm: x1 =
2
3
; x2= 2
d) Cách 1: Sử dụng công thức nghiệm:
Ta có:
3 2 2 3 )
3 2 2 3 ( ) 2 3 ).(
3 2 (
2 ) 2 3 ( )
3
2
(
6 12 ) 2 3 ( ) 3 2 ( 6 24 6 12 ) 2 3 ( ) 3 2 ( 24 6 ) 2 3 3 2
(
'
2 2
2
2 2
2 2
2
Phơng trình có hai nghiệm:
2 2
4 6
3 4 6
) 2 3 3 2 ( ) 2 3 3
2
(
3 2 12 6
2 6 6
) 2 3 3 2 ( ) 2 3 3
2
(
2
1
x
x
Vậy phơng trình có hai nghiệm: x1 = 2 3; x2 = 2
Cách 2: Phân tích thành nhân tử:
3 2 2 3
6 2 4 6
3
0 4 2
0 ) 6 3
)(
4 2
( 0
) 4 2
( 6 ) 4 2
(
3
0 24 2
6 3 4 6
0 24 )
2 3 3 2 ( 2
x x x
x x
x
x x
x x
x
x x
x x
Vậy phơng trình có hai nghiệm: x1 = 2 3; x2 = 2
Bài tập:
Bài 1: Giải các phơng trình:
a) 4x2 – 6x + 7 = 0
b) 9x2 – 6x + 26 = 0
c) x2 + 4x – 12 = 0
d) x2 + 8x – 10 = 0
Bài 2: Giải các phơng trình sau:
0 2
1
2
1
) 2
x
x
a
0 1 6
1
3
1
) x2 x
b
0 48
5 7
10
5
) 2
x
x
c
0 15
1 3
1
5
2
) x2 x
d
Bài 3: Giải các phơng trình sau:
Trang 8GV: Trần Mạnh Cờng Chuyên đề PTB2
0 2 ) 1 6
(
3
) 2
x
a
0 4
15 3
5
1
2
1
) 2
x
b
0 12 3
8
5
) 2
x
x
c
0 1 ) 2 5
(
6
) 2
x
d
Ph ơng pháp:
Với phơng trình: ax2 + bx + c = 0(a 0)
Tìm điều kiện của tham số sao cho:
Dạng 1: Phơng trình vô nghiệm: Điều kiện là:
0
hoặc ' 0
Dạng 2: Phơng trình có nghiệm: Điều kiện là:
0
hoặc ' 0
Dạng 3: Phơng trình có nghiệm kép: Điều kiện là:
0
hoặc ' 0
Dạng 4: Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: Điều kiện là:
0
hoặc ' 0
1 Điều kiệm để phơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt bao gồm:
- Điều kiện để phơng trình là một phơng trình bậc hai, tơng ứng với a 0
- Điều kiện để phơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt tơng ứng với 0 hoặc ' 0 Tóm lại ta có điều kiện:
0
0
a
hoặc
0 ' 0
a
2 Điều kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm kép bao gồm:
- Điều kiện để phơng trình là một phơng trình bậc hai, tơng ứng với a 0
- Điều kiện để phơng trình bậc hai có ghiệm kép tơng ứng với 0 hoặc ' 0
Tóm lại ta có điều kiện:
0
0
a
hoặc
0 ' 0
a
Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Cho phơng trình:
x2 – 2(m – 1)x – m2 – m – 1 = 0
a) Giải phơng trình với m = 1
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm
Giải:
a) Với m = 1 phơng trình có dạng:
x2 – 3 = 0
3
Vậy với m = 1 phơng trình có hai nghiệm x1 = 3, x2 = 3
b) Để phơng trình có nghiệm điều kiện là:
0 ) 1 (
) 1 (
0
0 8
15 4
1 2 0 2
2
2 2
Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ 2: Cho phơng trình:
mx2- 2(m + 1)x + m + 2 = 0
a) Giải phơng trình với m = 1
b) Chứng minh rằng với mọi m phơng trình luôn có nghiệm
Giải:
a) Với m = 1 phơng trình có dạng:
x2 – 4x + 3 = 0
8
Trang 9GV: Trần Mạnh Cờng Chuyên đề PTB2 Nhận xét: a + b + c = 1 – 4 + 3 = 0
Phơng trình có hai nghiệm:
x1 = 1 ; x2 = 3
b) Ta xét 2 trờng hợp:
Trờng hợp 1: Với m = 0 , phơng trình có dạng:
- 2x + 2 = 0 x = 1, phơng trình có nghiệm
- Trờng hợp 2: Với m 0, ta có:
'
= (m + 1)2 – m(m + 2) = 1 >0
do đó phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Vậy với mọi m phơng trình luôn có nghiệm
Ví dụ 3: Cho 3 số a, b, c dơng và phơng trình:
0 2
5 2
b a
c a c
b c
b
a
x
x
Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm Từ đó xác định điều kiện của a, b, c để
ph-ơng trình có nghiệm kép
Giải:
Ta có:
2
3 2
5 1
b a
c a c
b c b
a b
a
c a c
b c
b
a
Nhận xét:
3 1 1 1 )]
( ) (
)
.[(
2
1
3 1 1 1 ) (
3 1 1
1
b a a c c b a c c b
b
a
b a a c c b c b a b
a
c a
c
b c
b
a b a
c a c
b
c
b
a
A
a, b, c là các số dơng, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dơng ta có:
A
2
3 3 2
9 3 ) ).(
).(
(
) ).(
).(
( 2
9 3 1 1 1 3 ) ).(
).(
(
.
3
.
2
1
3
3 3
a c c b b a
a c c b b a b
a a c c b a c c b b a
2
3 2
3 2
3
b a
c a c
b c b
a
Vậy phơng trình luôn có nghiệm
b) Để phơng trình có nghiệm kép điều kiện là:
2
3
2 3
0 2 3
0
'
A
b a
c a
c
b
c
b
a
b a
c a
c
b
c
b
a
ở phần trên ta có:
2
3
A dấu “Ph=” xảy ra khi a b c
b a a c c b
a c c b b a
1 1 1
Vậy với a = b = c phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 = 1
Ví dụ 4: Cho phơng trình:
(m2 – 1)x2 + 2(m + 1)x + 1 = 0
a) Giải phơng trình với m = 2
b)Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm
Giải:
a)Với m = 2 phơng trình có dạng:
3x2 + 6x + 1 = 0
Ta có:
6 6
3
3
' 2
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
Trang 10GV: Trần Mạnh Cờng Chuyên đề PTB2
3
6 3 3
6
3
2 1
x
Vậy với m = 2 phơng trình có hai nghiệm là:
3
6 3 3
6 3
2 1
x
b) Ta có:
2 2 1 1
2 )
1 ( )
1
(
Để phơng trình có hai nghiệm phân biệt điều kiện là:
1
1
1
1
0
2
0
0
'
0 2
m
m
m
m
m
a
Vậy với 1 m 1 phơng trình có hai nghiệm phân biệt
c) Để phơng trình có một nghiệm ta xét hai trờng hợp:
Trờng hợp 1: a = 0 m2 – 1 = 0 m = 1
Khi đó:
- Với m = 1 phơng trình có dạng:
4x + 1 = 0
4
1
x là nghiệm duy nhất của phơng trình
- Với m = - 1 phơng trình có dạng:
0.x2 + 0x + 1 = 0 , phơng trình vô nghiệm
Trờng hợp 2: Nếu m2 – 1 0 m 1
Điều kiện để phơng trình có một nghiệm là:
1 0
2 2
0
'
m m , không thoả mãn điều kiện trên
Vậy với m = 1 phơng trình có một nghiệm duy nhất
Chú ý: Những sai lầm khi giải dạng toán này là:
- Trong phần b không xét điều kiện hệ số a 0 chỉ xét điều kiện ' 0 và ta tìm đợc m >-1 rồi công nhận với m > -1 phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
- Trong phần c không xét các trờng hợp của hệ số a, chỉ xét để phơng trình có 1 nghiệm
điều kiện là 0 khi đó ta tìm đợc m = -1 và công nhận với m =-1 phơng trình có nghiệm duy nhất
Ví dụ 5: Cho hai phơng trình:
x2 – mx – 2 = 0 (1)
x2 – x + 6m = 0 (2)
Tìm giá trị của m để phơng trình (1) và phơng trình (2) có ít nhất một nghiệm chung, biết m
là một số nguyên
Giải:
Cách 1: Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phơng trình.
Do đó:
x0 – mx0 – 2 = 0 (1’)
x0 – x0 + 6m = 0 (2’)
Lấy (1’) trừ (2’) ta đợc:
x0(-m + 1) – 2 – 6m = 0 (1 – m)x0 = 6m + 2 (3’)
Để bài toán thoả mãn thì (3’) tơng đơng với
0 2
6
0
1
m
m
hoặc 1- m 0
Trờng hợp 1:
0 2
6
0
1
m
m
3 / 1 1
m m
không tồn tại giá trị nào của m thoả mãn trờng hợp này
Trờng hợp 2: Với 1-m 0 m 1 ta đợc:
x0 =
m
m
1
2
6
Thay x0 vào (2’) ta đợc phơng trình ẩn m
0 2 26 30
6 0 6 1
2 6
1
2
m m
m m
m
m
m
m
) 132 12
( 6 1 1 0
2 24
6
0 1
0 ) 2 24
6
)(
1
(
2
2
m
m m
m
m
m m
m
Thử lại: Với m = -1, ta có:
10 (loại)