334 BT BAT DANG THUC CO DA

Suy ra điều phải chứng minh... Chứng minh bất đẳng thức :... Suy ra điều phải chứng minh.

1 [(x−y) 2 + (x−z) 2 + (y−z) 2]≥ 0đúng với mọi x;y;z∈R

Vì (x-y)2 ≥0 với∀x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y

(x-z)2 ≥0 với∀x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z

(y-z)2 ≥0 với∀ z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y

=( x – y + z)2 ≥ 0 đúng với mọi x;y;z∈R

Vậy x2 + y2 + z2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z∈R

Dấu bằng xảy ra khi x+y=z

a

c) Hãy tổng quát bài toán

giải

2 2

n

a a

a n

a a

4 4

4

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

DÊu b»ng x¶y ra khi

0 2

0 2

0 2

m q m p m n m

m

m q

m p

m n

4) Cho a, b, c, d,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng

a) a +b ≥ab

4

2 2

(a10 +b10)(a2 +b2) (≥ a8 +b8)(a4 +b4) ⇔ a12 +a10b2 +a2b10 +b12 ≥a12 +a8b4 +a4b8 +b12

⇔ a8b2(a2 −b2)+a2b8(b2 −a2)≥ 0

⇔ a2b2(a2-b2)(a6-b6)≥ 0 ⇔ a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) ≥ 0

Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh

6) cho x.y =1 và x.y

Chứng minh

y x

y x

⇔ x2+y2+( 2)2- 2 2 x+2 2y -2xy ≥0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2

⇒(x-y- 2)2 ≥ 0 Điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh

<

+ +

=

z y x z y x

z y x

1 1 1

1

Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1

Giải:

Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1

=(xyz-1)+(x+y+z)-xyz(

z y x

1 1

1 + + )=x+y+z - (1+ 1 +1) > 0

z y

z y x

1 1

1 + + < x+y+z theo gt) →2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dơng

Nếủ trờng hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 →x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra trờng hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1

⇒(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc

DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c

9)Cho a,b,c>0 vµ a+b+c=1 CMR: 1+1+1≥ 9

c b

a (403-1001) 2)Cho x,y,z>0 vµ x+y+z=1 CMR:x+2y+z≥ 4 ( 1 −x)( 1 −y)( 1 −z)

3)Cho a>0 , b>0, c>0 CMR:

2

3

≥ +

+ +

+

c a c

b c b a

4)Cho x≥ 0,y≥ 0 tháa m·n 2 x− y = 1 ;CMR: x+y

5

1

≥ 10) Cho a>b>c>0 vµ a2 +b2 +c2 =1 chøng minh r»ng

≥ +

≥

≥

b a

c c a

b c b

2 2 2

+ +

+ +

≥ +

+ +

+

c c a

b c b

a c b a b a

c c c a

b b c b

a

3

2 1

VËy

2

1

3 3

3

≥ +

+ +

+

c c a

b c b

3 1

11)

Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng :

( ) ( ) ( ) 10

2 2 2

x

Ta cã 2 + 2 + 2 ≥ 2 ( + ) = 2 ( + 1 ) ≥ 4

ab ab cd

ab c

b

MÆt kh¸c: a(b+c) (+b c+d) (+d c+a)

=(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)

ac ab

>

+

>

d c b

d c a

d c a

⇒ (a-c)(b-d) > cd

⇔ ab-ad-bc+cd >cd

⇔ ab> ad+bc (®iÒu ph¶i chøng minh)

15) Cho a,b,c>0 tháa m·n

3

52 2

2 +b +c =

a

Chøng minh

abc c b a

1 1 1 1

<

+ + Gi¶i:

Ta cã :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) 〉 0

1 1

(§iÒu ph¶i chøng minh)17) 1- Cho 0 <a,b,c <1 Chøng minh r»ng

1 < 2

+ +

+ + +

+ + +

+ + +

<

b a d

d a

d c

c d

c b

b c

b a

d a c

b a

a c

b

a

a

+ + +

+

<

+ +

a c

b a

a

+ + +

a

+ + + < a b c

a

+ + <a b c d

d a

+ + +

+ (3)

T¬ng tù ta cã

d c b a

a b d

c b

b d

c b a

b

+ + +

+

<

+ +

<

+ +

d c b a

c b a

d c

c d

c b a

c

+ + +

+

<

+ +

<

+ +

d c b a

c d b

a d

d d

c b

a

d

+ + +

+

<

+ +

<

+ +

+ + +

+ + +

d a

d c

c d

c b

b c

cd ab

<

+

+

2 2

cd d

b

cd ab b

cd ab

a +

gi¶i : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö :

c

a d

b

≤ Tõ :

c

a d

b

≤

d

b d c

b a c

+ ≤ 999

b, Nếu: b=998 thì a=1 ⇒

d

b c

a+ =

d c

999

1 + Đạt giá trị lớn nhất khi d= 1; c=999

Vậy giá trị lớn nhất của

d

b c

a+ =999+

999

1 khi a=d=1; c=b=999 22) Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng

4

3 1

2

1 1

1 2

+ + + +

+ +

<

n n n

n

Giải:

Ta có

n n n k

1 1 1

= +

1

2

1 2

1

2

1 1

n n

1

n Với n là số nguyên Giải :

k k k

+ +

>

1

2 2

2 1

Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có

1 1

1 1

1

1

3

1 2

1

1 1

1 1

3

1 2

1 3

1

2

1 1 2

1

2 2

2 2

2

2

<

+ + +

c a b

c b a

) (

) (

2 2 2

b a c c

c a b b

c b a a

b a c a c b c b a c b a

− +

− +

− +

>

⇒

− +

− +

− +

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

26) 1) Cho a,b,c lµ chiÒu dµi ba c¹nh cña tam gi¸c

a

Giải :

Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a=

2

x z

y+ − ; b =

2

y x

z+ − ; c =

2

z y

x+ −

ta có (1) ⇔

z

z y x y

y x z x

x z y

2 2

2

− + +

− + +

− +

x y

z y

x x

z x y

⇔( + ) + ( + ) + ( + ) ≥ 6

z

y y

z z

x x

z y

x x y

Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( + ≥ 2 ;

y

x x

z

x x

z

y y

z nên ta có điều phải chứng minh

28) Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1

Chứng minh rằng

2

1 2

1 2

1

2 2

+

+ +

x Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0 Theo bất đẳng thức Côsi ta có

x+y+z≥3.3 xyz

≥ + +

z y x

1 1 1

+

z y x z y x

Mà x+y+z < 1

Vậy 1+1+1 ≥ 9

z y

Gợi ý:

Đặt x =u , y =v ⇒2u-v =1 và S = x+y =u2 + ⇒v2 v = 2u-1 thay vào tính S min 30) Chứng minh rằng

2 2

− +

−

=

y

y y y

1 2

1

2

1 1

1

2 2

2 + + + < − ∀n∈N;n> 1 (1) Giải :

Với n =2 ta có

2

1 2 4

1

1 + < − (đúng) Vậy BĐT (1) đúng với n =2

Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh

1 1

2

1 1

1

2 2

1 1 2 ) 1 (

1 1

2

1 1

1

2 2

2 2

2 + + +k + k+ < −k + k+ < −k+

⇔

(k ) k k

k

1 1

1 1

1 )

1 (

1

1

1

2 2

+

+ +

<

+ + +

⇔ 2

2 1 ( 2 ) ( 1 ) )

1 (

⇔

2

2

b a b

2

2

1 1 1

= +

k b a b a ab a b b a b a

4 2

1 1

1 1

≥ + + +

a < ⇔ < ⇔ (a k −b k).(a−b)≥ 0 Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm)

34) Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0

ac ≥ 2.(b+d) Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:

Vậy trong 2 bất đẳng thức a2 <4b và c2 < 4d có ít nhất một các bất đẳng thức sai

36) Cho x,y,z > 0 và xyz = 1 Chứng minh rằng

Nếu x+y+z >

z y x

1 1

1 + + thì có một trong ba số này lớn hơn 1 Giải :

Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1

z y x

1 1

1 + + ) vì xyz = 1

theo giả thiết x+y +z >

z y x

1 1

nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0

Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dơng

Thật vậy nếu cả ba số dơng thì x,y,z > 1 ⇒ xyz > 1 (trái giả thiết)

Còn nếu 2 trong 3 số đó dơng thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý)

Vậy có một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn 1

37) Cho abc = 1 và a3 >36 Chứng minh rằng +

3

2

a b2+c2> ab+bc+acGiải

12 36

3 −

−

+

y x

y x

xy y

x + + ≥ +

2 1

1 1

1

2 2

Giải :

Ta có

xy y

x + + ≥ +

2 1

1 1

1

2 2

1

1 1

1 1

1 1

1

2 2

2

≥ + +

− +

+ +

−

xy y

y xy xy

x

x xy

⇔ ( ) ( ) (1 ).(1 ) 0

) ( 1

1

) (

2

+ +

− +

+ +

−

xy y

y x y xy

x

x y x

1

2 2

2

≥ + +

+

−

−

xy y

x

xy x

2 +b +c ≥

a (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 42) Cho a,b,c là các số dơng

+

c b a c b

c c

b a

b c

a b a

b

c c

b a

c c

a a

b b a

áp dụng BĐT phụ + ≥ 2

x

y y

x Với x,y > 0

Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng

c b a c b

a

c b c

b

2 3

3

2 3

46) Cho a ,b,c lµ sè ®o ba c¹nh tam gi¸c

T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|

Gi¶i :

Ta cã |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| ≥ |x-1+4-x| = 3 (1)

Vµ x− + − = − + − ≥ − + − = 2 x 3 x 2 3 x x 2 3 x 1 (2) VËy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| ≥ 1+3 = 4

Ta cã tõ (1) ⇒ DÊu b»ng x¶y ra khi 1 ≤ ≤x 4

(2) ⇒ DÊu b»ng x¶y ra khi 2 ≤ ≤x 3

VËy T cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 4 khi 2 ≤ ≤x 3

49) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña

S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > 0 vµ x+y+z =1

Gọi cạnh huyền của tam giác là 2a

Đờng cao thuộc cạnh huyền là h

Hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x,y

Ta có S =1 ( ) 2

2 x y h a h a h+ = = =a xy

Vì a không đổi mà x+y = 2a

Vậy S lớn nhất khi x.y lớn nhất ⇔ =x y

Vậy trong các tam giác có cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân có diện tích lớn nhất 52) Giải phơng trình sau

DÊu (=) x¶y ra khi y = -1

2

VËy x+ 2 −x2 = 4y2 + 4y+ = 3 2 khi x =1 vµ y =-12

VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ

1 1 2

x y

V× x+y+z = 1) Nªn x4 +y4 + ≥z4 xyz

DÊu (=) x¶y ra khi x = y = z =1

Tõ ph¬ng tr×nh (1) ⇒ − 8 y2 ≥ 0 hay y ≤ 8

Tõ ph¬ng tr×nh (2) ⇒x2 + = 2 x y ≤ 2 2 x

x x x

x y

y z z

x y

Với y = 1 không thích hợp

Với y = 2 ta có x = 2

Vậy (2 ,2,1) là một nghiệm của phơng trình

Hoán vị các số trên ta đợc các nghiệm của phơng trình

59) Víi mäi sè : x, y, z chøng minh r»ng : x2 + y2 + z2 +3 ≥ 2(x + y + z)

( ) (

2 a2 +b2 − a2 + ab+b2

4

1 ) 2 2

2 ( 4

1 a2 + b2 −a2 −b2 − ab = a−b 2 ≥ Với mọi a, b Dấu '' = '' xảy ra khi a = b

62) : Cho a, b là hai số dơng có tổng bằng 1 Chứng minh rằng :

3

4 1

1 1

 9 ≥ 4ab + 8  1 ≥ 4ab  (a + b)2 ≥ 4ab

Bất đẳng thức cuối đúng Suy ra điều phải chứng minh

 3a2 - 6ab + 3b2 ≥ 3(a2 - 2ab + b2) ≥ 0

Bất đẳng thức cuối cùng đúng ; suy ra : 3 3 3

Dấu '' = '' xảy ra khi a = b =

2 1

a

Dấu '' = '' xảy ra khi a = b

67) Với a > 0 , b > 0 Chứng minh bất đẳng thức :

1 1 1 (x y z)( ) 9.

x y z

+ + + + ≥ Khi nào xảy ra đẳng thức ?

Giải Vì x, y, z là ba số dương nên

3 3

2 2

3 3

3

2 2

3 3

3

2 2

3 3

Dấu “ = ” xảy ra cho cả a) và b) khi và chỉ khi ∆ đều : a = b = c

( p là nữa chu vi của ∆ABC: p=a b c+ +2 )

99) Cho ∆ ABC, a, b, c lần lượt là số đo 3 cạnh của tam giác Chứng minh rằng :

222

Ta biến đổi tương đương BĐT như sau: 2(a b c) 1 1 1 9

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

2

1 1 1

z y x z

111) Cho số nguyên n > 1 Giải hệ phương trình:

2

2

= + ≥ Tương tự : xi ≥ 1 với mọi i

Cộng n phương trình của hệ theo từng vế ta được: 1 2

212121

=+

=+

Giải

Rõ ràng hệ có nghiệm x = y = z = 0 Với x,y,z ≠ 0, từ hệ đã cho ta suy ra x>0, y>0, z>0

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có :

2 2

Vậy : y≤x ≤ z ≤y, suy ra x = y = z.

Thay y = x vào phương trình thứ nhất ta được :

2

2 2

Vậy hệ có hai họ nghiệm (x, y, z) = {(0; 0; 0) ; (1; 1; 1)}

113) Tìm số nguyên dương n và các số nguyên dương a1 = a2 = = an thoả các điều kiện :

+ ≥ víi i = 1, 2, , n

Suy ra 4 ≥ 2n hay n ≤ 2:

Với n = 1: hệ

1 1

2

a a

1 2

2

a a

DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c

≥ +

≥

≥

b a

c c a

b c b

2 2 2

+ +

+ +

≥ +

+ +

+

c c a

b c b

a c b a b a

c c c a

b b c b

a

3

2 1

VËy

2

1

3 3

3

≥ +

+ +

+

c c a

b c b

3 1

116) Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng :

( ) ( ) ( ) 10

2 2 2

x

Ta cã 2 + 2 + 2 ≥ 2 ( + ) = 2 ( + 1 ) ≥ 4

ab ab cd

ab c

ac ab

Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski

Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có

( 2 2 2) 2 2 2 ( )2

1 1 1 ) (

1 1

⇒ 3(a +b +c ³a +b +c +2 ab+bc+ac 2 2 2) 2 2 2 ( )

119) Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d , b>c+d

>

+

>

d c b

d c a

d c a

⇒ (a-c)(b-d) > cd

⇔ ab-ad-bc+cd >cd

⇔ ab> ad+bc (điều phải chứng minh)

120) Cho a,b,c>0 thỏa mãn

3

52 2

2 +b +c =

a

Chứng minh

abc c b a

1 1 1

1 1

(Điều phải chứng minh)

+ + +

+ + +

+ + +

<

b a d

d a

d c

c d

c b

b c

b a

d a c

b a

a c

b

a

a

+ + +

+

<

+ +

a c

b a

a

+ + +

a

+ + + < a b c

a

+ + <a b c d

d a

+ + +

+ (3)

T¬ng tù ta cã

d c b a

a b d

c b

b d

c b a

b

+ + +

+

<

+ +

<

+ +

d c b a

c b a

d c

c d

c b a

c

+ + +

+

<

+ +

<

+ +

d c b a

c d b

a d

d d

c b

a

d

+ + +

+

<

+ +

<

+ +

+ + +

+ + +

d a

d c

c d

c b

b c

ab <

d

c d

cd d

b

cd ab b

2 ®iÒu ph¶i chøng minh

126) Cho a;b;c;dlµ c¸c sè nguyªn d¬ng tháa m·n : a+b = c+d =1000t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña

d

b c

b

≤ Tõ :

c

a d

b

≤

d

b d c

b a c

a

≤ +

a

d c

999 1

+ §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi d= 1; c=999

VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña

d

b c

a+ =999+

999

1 khi a=d=1; c=b=999127) Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng

4

3 1

2

1 1

1 2

+ + + +

+ +

<

n n n

n

Gi¶i:

Ta cã

n n n k

1 1

1

2

1 2

1

2

1 1

1

=

= + +

>

+ + +

+

n n n

n n

n

128) Chøng minh r»ng:

1 2( 1 1)

3

1 2

1

n Với n là số nguyên Giải :

k k k

+ +

>

1

2 2

2 1

Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có:

1 1

1 1

3

1 2

1

1 1

1 1

3

1 2

1 3

1

2

1 1 2

1

2 2

2 2

2

2

<

+ + +

c a b

c b a

) (

) (

2 2 2

b a c c

c a b b

c b a a

b a c a c b c b a c b a

− +

− +

− +

>

⇒

− +

− +

− +

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

131) Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng

2

3

≥ +

+ +

+

c a c

b c b

y+ − ; b =

2

y x

z+ − ; c =

2

z y

x+ −

ta có (1) ⇔

z

z y x y

y x z x

x z y

2 2

2

− + +

− + +

− +

x y

z y

x x

z x y

⇔( + ) + ( + ) + ( + ) ≥ 6

z

y y

z z

x x

z y

x x y

Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( + ≥ 2 ;

y

x x

z

x x

z

y y

z nên ta có điều phải chứng minh

132) Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1

Chứng minh rằng

2

1 2

1 2

1

2 2

+

+ +

(1) ⇔ 1+1+1 ≥ 9

z y

x Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0 Theo bất đẳng thức Côsi ta có

x+y+z≥3.3 xyz

≥ + +

z y x

1 1 1

+

z y x z y x

Mà x+y+z < 1

Vậy 1+1+1 ≥ 9

z y

2

2 2

− +

−

=

y

y y y

n n

1 2

1

2

1 1

1

2 2

1

1 + < − (đúng) Vậy BĐT (1) đúng với n =2

Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh

1 1

2

1 1

1

2 2

1 1 2 ) 1 (

1 1

2

1 1

1

2 2

2 2

2 + + +k + k+ < −k + k+ < −k+

⇔

(k ) k k

k

1 1

1 1

1 )

1 (

1

1

1

2 2

+

+ +

<

+ + +

2 1 ( 2 ) ( 1 ) )

1 (

1 1

k k

k k k

⇔

2

2

b a b

2

2

1 1 1

= +

k b a b a ab a b b a b a

4 2

1 1

1 1

≥ + + +

139) Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện

ac ≥ 2.(b+d) Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:

Vậy trong 2 bất đẳng thức a2 <4b và c2 < 4d có ít nhất một các bất đẳng thức sai

140) Cho x,y,z > 0 và xyz = 1 Chứng minh rằng

Nếu x+y+z >

z y x

1 1

1 + + thì có một trong ba số này lớn hơn 1 Giải :

Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1

z y x

1 1 1

+ + ) vì xyz = 1

theo giả thiết x+y +z >

z y x

1 1 1

+ +

nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0

Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dơng

Thật vậy nếu cả ba số dơng thì x,y,z > 1 ⇒ xyz > 1 (trái giả thiết)

Còn nếu 2 trong 3 số đó dơng thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý)

Vậy có một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn 1

− +

−

+

y x

y x

Giải :

Ta có x2 +y2 =(x−y)2 + 2xy=(x−y)2 + 2 (vì xy = 1) ⇒ (x2 +y2)2 =(x−y)4 + 4 (x−y)2 + 4

Do đó BĐT cần chứng minh tơng đơng với

( )4 ( )2 ( )2

8 4

x + + ≥ +

2 1

1 1

1

2 2

Giải :

Ta có

xy y

x + + ≥ +

2 1

1 1

1

2 2

1

1 1

1 1

1 1

1

2 2

2

≥ + +

− +

+ +

−

xy y

y xy xy

x

x xy

⇔ ( ) ( ) (1 ).(1 ) 0

) ( 1

1

) (

2

+ +

− +

+ +

−

xy y

y x y xy

x

x y x

1

2 2

2

≥ + +

+

−

−

xy y

x

xy x

Ta cã ( ) (2 ) ( 2 2 2)

1 1 1 1 1

2 +b +c ≥

a (v× a+b+c =1 ) (®pcm) 146) Cho a,b,c lµ c¸c sè d¬ng

+

c b a c b

c c

b a

b c

a b a

b

c c

b a

c c

a a

b b a

¸p dông B§T phô + ≥ 2

x

y y

+

c b a c b

a

c b c

b

2 3

3

2 3

Ta cã tõ (1) ⇒ DÊu b»ng x¶y ra khi 1 ≤ ≤x 4

(2) ⇒ DÊu b»ng x¶y ra khi 2 ≤ ≤x 3

VËy T cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 4 khi 2 ≤ ≤x 3

152) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña

S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > 0 vµ x+y+z =1

VËy S cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ 8

( ) (

2 a2 +b2 − a2 + ab+b2

4

1 ) 2 2

2 ( 4

1 a2 + b2 −a2 −b2 − ab = a−b 2 ≥ Với mọi a, b Dấu '' = '' xảy ra khi a = b

157) : Cho a, b là hai số dơng có tổng bằng 1 Chứng minh rằng :

3

4 1

1 1

1

≥ +

 9 ≥ 4ab + 8  1 ≥ 4ab  (a + b)2 ≥ 4ab

Bất đẳng thức cuối đúng Suy ra điều phải chứng minh

158) Cho a, b, c là các số dơng thoả mãn : a + b + c = 4

Chứng minh rằng : (a + b)(b + c)(c + a) ≥ a3b3c3