Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2007 - 2008 Chuyên đề từ định lý viét đến giải một số bài toán về bất đẳng thức Ngòi trình bày Phạm văn thơ đơn vị Tổ : khoa học tự nhiên Trơng : thcs quang trung SKKN_2008_phạm Thơ_THCS Quang Trung 1 Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức A- Đặt vấn đề : * Chúng ta đã biết rằng dạy toán là dạy cho ngời học để có năng lực trí tuệ, năng lực này sẽ giúp cho ngời học tiếp thu các kiến thức khác về tự nhiên và xã hội , vì vậy dạy toán không chỉ đơn thuần là dạy cho học sinh nắm đợc những kiến thức , những khái niệm , những định lý toán học Điều quan trọng hơn cả là dạy cho học sinh có năng lực trí tuệ . Năng lực sẽ đợc hình thành và phát triển trong hoạt động . Phát triển năng lực chung quy cũng là để tích cực độc lập , sáng tạo ở những nội dung toán học đợc nghiên cứu. *Trong xu thế chung của những năm gần đây việc đổi mới phơng pháp dạy học là vấn đề cấp bách thiết thực nhất , nhằm đào tạo những con ngời có năng lực hoạt động trí tuệ tốt . Đổi mới phơng pháp không chỉ trong giờ giảng lý thuyết , mà ngay cả trong các giờ luyện tập . Luyện tập ngoài việc rèn luyện kĩ năng tính toán , kĩ năng suy luận cần có những bài tập mở , đợc sắp xếp có hệ thống giúp học sinh củng cố và vận dụng kiến thức một cách năng động và sáng tạo . * Trong chơng trình đại số lớp 9 .Định lý Viét là một phần kiến thức cơ bản , quan trọng . Định lý Viét cần cho việc lĩnh hội các kiến thức tiếp theo về phơng trình quy về bậc hai , giải bài toán bằng cách lập phơng trình bậc hai Ngoài ra định lý Viét còn đợc áp dụng để giải một số bài toán chứng minh bất đẳng thức , tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất những vấn đề này góp phần rất lớn trong việc phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh và giúp để giải quyết những bài toán khó mà sách giáo khoa không đề cập tới . B. cơ sở khoa học : Cơ sở lý luận: - Quy luật của quá trình nhận thức từ trực quan sinh động đến t duy trừu t- ợng .Song quá trình nhận thức đó đạt hiệu quả cao hay không , có bền vững hay không còn phụ thuộc vào tính tích cực,chủ động sáng tạo của chủ thể . - Đặc điểm của lứa tuổi thiếu niên là đang có xu hớng vơn lên làm ngời lớn , muốn tự mình tìm hiểu , khám phá trong quá trình nhận thức . ở lứa tuổi học sinh trung học cơ sở có điều kiện thuận lợi cho khả năng tự điều chỉnh hoạt động học tập và tự sẵn sàng tham gia vào các hoạt động khác nhau . Các em có nguyện vọng muốn có các hình thức học tập mang tính chất Ngời lớn tuy nhiên nhợc điểm của các em là cha biết cách thực hiện nguyện vọng của mình , cha nắm đợc các phơng thức thực hiện các hình thức học tập mới . Vì vậy cần có sự hớng dẫn , điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của các thầy cô . SKKN_2008_phạm Thơ_THCS Quang Trung 2 Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức Trong lý luận về phơng pháp dạy học cho thấy . Trong môn toán sự thống nhất giữa điều khiển của thầy và hoạt động học tập của trò có thể thực hiện đợc bằng cách quán triệt quan điểm hoạt động , thực hiện dạy học toán trong và bằng hoạt động . Dạy học theo phơng pháp mới phải làm cho học sinh chủ động nghĩ nhiều hơn , làm nhiều hơn , tham gia nhiều hơn trong quá trình chiếm lĩnh tri thức toán học . Dạy học toán thông qua kiến thức phải dạy cho học sinh phơng pháp t duy quan điểm này cho rằng dạy toán là phải dạy suy nghĩ , dạy bộ óc của học sinh thành thạo các thao tác t duy phân tích , tổng hợp , trừu tợng hoá , khái quát hoá . . . Trong đó phân tích tổng hợp có vai trò trung tâm . Phải cung cấp cho học sinh có thể tự tìm tòi , tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề dự đoán đợc các kết quả , tìm đợc hớng giải quyết một bài toán ,hớng chứng minh một định lý . . . . . - Hình thành và phát triển t duy tích cực độc lập sáng tạo trong dạy học toán cho học sinh là một quá trình lâu dài , thông qua từng tiết học , thông qua nhiều năm học , thông qua tất cả các khâu của quá trình dạy học trong nội khoá cũng nh ngoại khoá Cơ sở thực tiễn : - Hiện nay trong nhà trờng phổ thông nói chung còn nhiều học sinh lời học , lời t duy trong quá trình học tập . - Học sinh cha nắm đợc phơng pháp học tập , cha có những hoạt động đích thực của bản thân để chiếm lĩnh kiến thức một cách chủ động trong những năm qua các trờng trung học cơ sở dã có những chuyển đổi tích cực trong việc đổi mới phơng pháp giảng dạy trên cơ sở thay sách giáo khoa từ khối 6 đến khối 9 . Học sinh cũng đã chủ động nghiên cứu tìm tòi khám phá kiến thức xong mới chỉ dừng lại những bài tập cơ bản đơn giản ở sách giáo khoa . Định lý Viét là một phần kiến thức khó đối với các em , đặc biệt là khi vận dụng vào giải quyết các bài tập . - Việc vận dụng ngay những lý thuyết đã đợc học trong sách giáo khoa vào giải bài tập còn khó khăn làm sao các em có khả năng sáng tạo khi vận dụng vào các bài tập có nội dung mở rộng , nâng cao . Ví dụ : Cho phơng trình bậc hai x 2 - 2(m - 1)x - 3- m = 0 ( với x là ẩn , m là tham số ) Tìm m sao cho nghiệm x 1 , x 2 của phơng trình thoả mãn điều kiện x 1 2 + x 2 2 10 SKKN_2008_phạm Thơ_THCS Quang Trung 3 Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức + Khi cha thực hiện chuyên đề này , tôi cho học sinh làm thì thấy kết quả nh sau : Lúc đầu 100% số học sinh trong lớp không xác định đợc dùng kiến thức gì để giải . Do đó các em không giải đợc . Sau đó tôi gợi ý : Bài toán đề cập tới số nghiệm của phơng trình bậc hai ax 2 + bx +c = 0 (a0) và tổng các bình phơng hai nghiệm của phơng trình này . Lúc đó có tới 30% học sinh nghĩ đến việc sử dụng định lý Viét . Nhng các em cũng cha giải đợc vì để giải bài toán này thông qua định lý Viét còn phải sử dụng các hằng đẳng thức và các bất đẳng thức . + Sau đó tôi nghiên cứu hớng dẫn học sinh theo chuyên đề này thì 80% số học sinh trong lớp đã xác định đợc ngay hớng giải quyết bài toán và có khoảng 70%- 80% các em làm đợc . Ngoài ra các em còn có khả năng áp dụng vào giải một số bài tập yêu cầu cao hơn . Đặc biệt là các em vận dụng giảI các bài tập chứng minh bất đẳng thức , tìm cực trị . . . . . Sau đây là phần trình bày nội dung chuyên đề và các bớc tiến hành chuyên đề của tôi . C. giảI quyết vấn đề : I / B ớc thứ nhất : Tìm hiểu nội dung kiến thức trong sách giáo khoa và phát hiện ra kiến thức mới : 1. Nội dung của sách giáo khoa đã biết : Định lý Viét : Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình a x 2 +bx +c =0 (a0) thì tổng và tích hai nghiệm đó là 1 2 1 2 . b x x a c x x a + = = Nếu hai số u , v có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phơng trình : X 2 - Sx + P = 0 ĐIều kiện tồn tại hai số đó là S 2 - 4P 0 . Đó là những kiến thức cơ bản mà sách giáo khoa đã đa ra và học sinh đã đợc làm các bài tập cơ bản một cách quen thuộc 2. Tìm hiểu thấy rằng : Định lý Viét là một định lý quen thuộc , nhng sử dụng định lý trong những bài toán cụ thể lại là việc không đơn giản , điều quan trọng hơn cả là hãy từ giả thiết của bài toán làm thế nào đó để có đợc biểu diễn của tổng và tích của hai đại lợng . Từ đó dẫn đến một phơng trình bậc hai cuối cùng là tính biệt số của phơng trình này và giải bất phơng trình 0 . Từ những suy nghĩ đó tôi thấy có thể giúp học sinh giải đợc những bài tập về chứng minh bất đẳng thức , tìm cực trị . . . . . . . . Dựa trên cơ sở của định lý Viét giúp học sinh phát triển t duy sáng tạo trong SKKN_2008_phạm Thơ_THCS Quang Trung 4 Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức giải toán và khái quát hoá kiến thức mới Những vấn đề quan trọng là ở chỗ phải sắp xếp hệ thống bài tập sao cho học sinh có thể độc lập suy nghĩ , tự xây dựng và sáng tạo trong cách giải nội dụng bài tập nói trên . II/ B ớc thứ hai : Xây dựng hệ thống bài tập giúp học sinh độc lập suy nghĩ và sáng tạo trong cách giải ( khái quát hoá kiến thức mới ) khi sử dụng kiến thức đã học . Bài số 1: Cho phơng trình x 2 - 2(m-1)x - 3 - m = 0 Tìm m sao cho số nghiệm x 1 , x 2 của phơng trình thoả mãn điều kiện x 1 2 + x 2 2 10 Xét 2 , 2 , , 1 15 ( 1) ( 3) 2 4 m m m = + + = + ữ > 0 m phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt m GV Định hớng : Theo định lý Viét ta có đợc những gì ? ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 . 3 x x m x x m + = = + (I) Từ x 1 2 + x 2 2 10 ta biến đổi nh thế nào ? để sử dụng đợc (I) từ đó học sinh biến đổi nh sau : x 1 2 + x 2 2 10 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 10 4 1 2 3 10 4 6 0 3 9 9 2 16 16 3 9 4 16 3 3 4 4 3 3 3 4 4 2 3 3 0 4 4 x x x x m m m m m m m m m m m m + + + + ữ Bài số 2 : Cho các số thực x , y , z khác không và thoả mãn điều kiện x+y+z = xyz ; x 2 = yz Chứng minh rằng : x 2 3 SKKN_2008_phạm Thơ_THCS Quang Trung 5 Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức Giải GV: Cho học sinh thấy đợc khi chuyển vế đợc 3 2 2 . . y z xyz x y z x x y z x y z x + = + = = = khi đó bài toán trở thành tìm hai số biết tổng và tích hai nghiệm của chúng. Từ đó học sinh định hớng đợc việc sử dụng định lý Viét để biến đổi - Theo định lý Viét y , z là hai nghiệm của phơng trình : u 2 - (x 3 - x)u +x 2 = 0 u 2 + (x-x 3 )u + x 2 = 0 (1) xét = x 2 [(1-x 2 ) 2 - 4] (2) vì (1) có nghiệm nên 0 do x 0 nên từ (2) (1- x 2 ) 2 - 4 0 (1- x 2 ) 2 4 1-x 2 -2 x 2 3 (đpcm) - Nếu bài toán trên giải theo cách khác thì sẽ phức tạp hơn rất nhiều . Do đó việc sử dụng định lý Viét là một cách giải hay đối với bài toán này . Các em học sinh qua đó càng thấy đợc để giải một bài toán chúng ta có nhiều cách giải khác nhau nhng sử dụng cách nào cho lời giải ngắn gọn và chính xác . Bài số 3 : Các số thực x ,y ,z thoả mãn điều kiện x + y + z = 5 và yz +xz + xy = 8 Chứng minh rằng : 7 7 7 1 ;1 ;1 3 3 3 x y z Giải Từ giả thiết của bài toán x + y + z = 5 và yz + xz + xy = 8 ta có 5 8 (5 ) y z x yz x x + = = Từ đó dẫn đến y ,z là nghiệm của phơng trình : u 2 + (x-5)u + x 2 - 5x +8 = 0 (1) xét = (5-x) 2 - 4(x 2 - 5x+ 8) vì (1) có nghiệm nên 0 (5-x) 2 - 4(x 2 - 5x+ 8) 0 từ đó suy ra 7 1 3 x vì vai trò của x , y , z nh nhau nên ta cũng có 7 7 1 ;1 3 3 y z Bài số 4 : Giả sử x 1 , x 2 là nghiệm của phơng trình x 2 + kx + a = 0 ( a 0) SKKN_2008_phạm Thơ_THCS Quang Trung 6 Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức Tìm tất cả các giá trị của k để có bất đẳng thức 3 3 1 2 2 1 ( ) ( ) 52 x x x x + ( a , k là các số thực ) Giải + Ta xét a trong hai trờng hợp : Nếu a > 0 thì = k 2 - 4a > 0 với mọi k . Khi đó phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm khác nhau và khác dấu , điều đó dẫn đến bất đẳng thức đã cho đúng với mọi giá trị thực của k . Nếu a > 0 Ta có x 3 + y 3 = (x + y)( x 2 - xy + y 2 ) áp dụng hằng đẳng thức trên ta đợc : 3 3 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 x x x x x x x x x x x x + = + + nhng 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 ( ) 2 2 x x x x x x k x x x x x x a x x + + + = = = ( định lý Viét) Do đó 3 3 2 2 2 1 1 2 2 2 ( 2) 3 52 x x k k x x a a + = ữ ữ ữ Đặt 2 k t a = Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 52 6 9 0t t t t + (2) ta thấy t 2 + 9 > 0 t , do đó (2) chỉ đúng khi t - 6[0 hay 2 6 0 k a do a > 0 nên suy ra k 2 [6a . Bởi vậy ta có 6 6a k a Vậy a < 0 , k là số thực bất kì hoặc 0 6 6 a a k a > SKKN_2008_phạm Thơ_THCS Quang Trung 7 Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức SKKN_2008_phạm Thơ_THCS Quang Trung Bài số 5 : Cho a 0 . Giả sử x 1 , x 2 là nghiệm của phơng trình : 2 2 1 0 2 x ax a = Chứng minh rằng : x 1 4 + x 2 4 2 + 2 , dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? Giải áp dụng định lý Viét ta có 1 2 1 2 2 1 . 2 x x a x x a + = = Ta có : x 1 4 + x 2 4 = ( x 1 2 + x 2 2 ) 2 - 2(x 1 x 2 ) 2 = {( x 1 + x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 } 2 - 2(x 1 x 2 ) 2 = 2 2 4 4 2 4 4 4 1 1 1 1 2 2 . 2 2 2 2 2 2 a a a a a a a + = + + + = + ữ ữ Vậy x 1 4 + x 2 4 2 + 2 Dấu của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4 8 8 4 1 1 1 2 2 2 a a a a = = = Bài số 6 : Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình : 2x 2 + 2(m+1)x + m 2 + 4m +3 = 0 (1) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A = |x 1 x 2 - 2x 1 - 2x 2 | Giải Ta có : = (m+1) 2 - 2(m 2 +4m+3) = m 2 + 2m +1 - 2m 2 -8m - 6 = - m 2 - 6m - 5 phơng trình (1) có nghiệm 0 m 2 + 6m+ 5 0 (m+1)(m+5) 0 - 5 m - 1 với - 5 m - 1 ta có hệ thức Viét ( ) 1 2 2 1 2 1 4 3 . 2 x x m m m x x + = + + + = Nên A = |x 1 x 2 - 2x 1 - 2x 2 | = |x 1 x 2 - 2(x 1 - x 2 )| 8 Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức ( ) ( ) ( ) 2 2 4 3 1 1 2 1 8 7 1 7 2 2 2 m m m m m m m + + = + + = + + = + + Vì - 5 [ m [ -1 ( m + 1)(m + 7) < 0 Do đó : A = ( ) ( ) 2 2 1 1 9 9 8 7 4 2 2 2 2 m m m m + + = + + dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m = -4 Bài số 7 : Cho m 0 giả sử x 1 , x 2 là nghiệm của phơng trình : 2 2 1 0x mx m = Tìm giá trị nhỏ nhất của bbiểu thức A = x 1 4 + x 2 4 Giải Xét phơng trình 2 2 1 0x mx m = (m 0) Ta có : = 2 2 4 0 0m m m + > Theo định lý Viét ta có : 1 2 1 2 2 1 x x m x x m + = = mà A = x 1 4 + x 2 4 = ( x 1 2 + x 2 2 ) 2 - 2x 1 x 2 = {(x 1 +x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 } 2 - 2(x 1 x 2 ) 2 = 2 2 4 2 4 4 4 2 1 4 2 2. 4m m m m m m + = + + ữ A = 2 4 2 4 2 2 2 4 4 2 2 4 2 2 m m m m A + + = + + ữ ữ + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 8 2 2 2m m m = = Bài số 8 : Tìm tất cả các giá trị của a là số tự nhiên sao cho phơng trình x 2 - a 2 x + a +1= 0 . có nghiệm nguyên . SKKN_2008_phạm Thơ_THCS Quang Trung 9 Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức Giải Xét phơng trình : x 2 - a 2 x + a +1 = 0 (1) Giả sử x 1 , x 2 là hai nghiệm nguyên của phơng trình (1) ta có 2 1 2 1 2 (2) . 1(3) x x a x x a + = = + ( x 1 - 1)(x 2 -1) = -(a 2 - a -2 ) = -( a -2 )( 1+ a ) (4) từ (2) và (3) 1 2 1 2 0 . 1 x x x x + ( do a N ) x 1 / 1 , x 2 / 1 ( x 1 - 1)( x 2 - 1) / 0 (5) kết hợp (4) , (5) ( a - 2)( 1 + a) 0 vì a N 0 a 2 Thử lại ta thấy a = 2 thoả mãn yêu cầu của đề bài . Bài số 9 : Cho x + y + z = 3 (1) a. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x 2 + y 2 + z 2 b. Tìm giá trị lớn nhất của : B = xy + yz + zx Giải a - Từ đẳng thức (1) x + y = 3 - z . từ A = x 2 + y 2 + z 2 A = ( x + y + z ) 2 - ( xy + yz + zx ) A = 9 - 2xy -2(3 - z).z xy = 2 9 6 2 2 z z A + áp dụng định lý Viét ta có x ,y là nghiệm của phơng trình : X 2 - (3 - z )X + 2 9 6 2 2 z z A + = 0 (*) Xét = (3-z) 2 - 4. 2 9 6 2 2 z z A + = 9-6z + z 2 -18 +12z - 4z 4 + 2A= = - (3z 2 - 6z + 9 - 2A) vì phơng trình có nghiệm 0 3z 2 - 6z + 9 - 2A 0 Xét z = 9 - 27 + 6A = - 18 + 6A Vì x , y là nghiệm của (*) suy ra z tồn tại z 0 A 3 Vậy A min = 3 khi và chỉ khi x = y = z = 1 b - Giải tơng tự : SKKN_2008_phạm Thơ_THCS Quang Trung 10 [...]... một số bài toán về bất đẳng thức Mục lục Đặt vấn đề : B Cơ sở khoa học : C Giải quyết vấn đề : D Kết luận : E Bài học rút ra : A Trang 2 Trang 3 Trang 5 Trang 12 Trang 13 Tài liệu tham khảo Nâng cao và phát triển toán 9 ( Vũ Hữu Bình) Trọng điểm đại số 9 ( Ngô Long Hậu Trần Luận) 23 chuyên đề 1001 bài toán sơ cấp ( Nguyễn Đức Đồng) Tuyển chọn 400 bài toán 9 ( Phan Thế Thợng) Tuyển tập 5 năm... đề 1001 bài toán sơ cấp ( Nguyễn Đức Đồng) Tuyển chọn 400 bài toán 9 ( Phan Thế Thợng) Tuyển tập 5 năm tạp chí toán học và tu i trẻ SKKN_2008_phạm Thơ_THCS Quang Trung 13 Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức Nhận xét của tổ chuyên môn Nhận xét của bgh Nhận xét đánh giá của PGD SKKN_2008_phạm Thơ_THCS Quang Trung 14 ... giá trị lớn nhất và bé nhất của x , y , z SKKN_2008_phạm Thơ_THCS Quang Trung 11 x + y + z = 5 xy + yz + zx = 8 Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức E bài học rút ra : Nh trên tôi đã đặt vấn đề học sinh trung học cơ sở còn ở lứa tu i thiếu niên nên việc t duy , khả năng khái quát hoá của các em còn rất hạn chế Do đó để giải các bài tập khó là cả một công việc nặng nề đối với các...Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức Bài tập 7 : Cho a 0 Giả sử x1 , x2 là nghiệm của phơng trình : 1 III Bớc thứ ax Bài= 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = x14 + x24 tập vận dụng x 2 ba : a2 Với mục đích là đa ra các bài tập trong đó có áp dụng kiến thức về định lý Viét để giảiluận học sinh tự luyện tập , rèn luyện t duy độc lập sáng tạo D Kết , giúp : trong lời giải... , từ bài tập x1 70%- 80% số học sinh trong lớp làm đợc đặc biệt có em trình bày lời Bài tập 5 : giải xúc tích , gọn , dễ theo dõi Góp phần rèn kĩ năng giải toán, năng lựczhoạt động mãn điều kiện sinh x Học sinh không còn hiểu vấn đề trí tu cho học + y + z = 5 Cho x , y , R thoả 2 một cách máy móc dập khuôn xkhông 2có điều = 9 trình bày hết Vì + y + z 2 kiện tất cả các bài tập tôi chỉ xin trình... sách giáo khoa , hệ thống bài tập áp dụng và bài tập nâng cao , từ đó xây dựng thành những chuyên đề nhằm giúp học sinh có năng lực độc lập t duy , khái quát hoá những kiến thức từ đó mà năng lực trí tu của các em mới đợc rèn luyện và nâng cao Trong chơng trình không phải nội dung kiến thức nào cũng có những kiến thức lý thuyết bổ xung nằm tiềm ẩn bên trong nh bài định lý Viét Xong cũng có rất nhiều . triển toán 9 ( Vũ Hữu Bình) Trọng điểm đại số 9 ( Ngô Long Hậu Trần Luận) 23 chuyên đề 1001 bài toán sơ cấp ( Nguyễn Đức Đồng) Tuyển chọn 400 bài toán 9. Phan Thế Thợng) Tuyển tập 5 năm tạp chí toán học và tu i trẻ SKKN_2008_phạm Thơ_THCS Quang Trung 13 Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng