Sử dụng bất đẳng thức để tìm cực trị trong hình học BT1: Cho ABC.. Qua một điểm M bất kì thuộc cạnh AC, kẻ các đờng thẳng song song với hai cạnh kia, chúng tạo thành với hai cạnh ấy m
Trang 1Chuyên đề: bất đẳng thức Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức
BT1: CMR với mọi a; b dơng, ta có: 2
a
b b
a
Khi nào xảy ra đẳng thức?
BT2: CMR với mọi a; b; c; d dơng , ta có: a b c d abcd
4 Khi nào xảy ra đẳng thức?
BT3 CMR với mọi a; b; c; d dơng , ta có: ( ) 1 1 1 1 16
d c b a d c b a
BT4 CMR với mọi a; b; c dơng , ta có: ( ) 1 1 1 9
c b a c b a
BT5 CMR với mọi a; b; c dơng , ta có:
2
3
c c a
b c b a
BT6 CMR nếu a, b, c là đội dài 3 cạnh của một tam giác, ta có:
a) ab + bc + ca a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca
b) (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc
4 ) ( ) ( )
BT7 Cho hai số x ; y thoả mãn đẳng thức: 3x + y = 1
CMR:
10
1
2 2
y x
BT8 Cho hai số x ; y thoả mãn đẳng thức: 4x + 3y 1
CMR:
5
1 9
4x2 y2
BT9 Cho hai số a ; b thoả mãn đẳng thức: a + b = 1 CMR:
a)
2
1
2 2
b
a b)
8
1
4 4
b
a c)
2
25 1 1
c
c b
b a a
BT10 Cho abcd 0 CMR: a b c d
a
d b
c c
b d
a
2 2 2 2
Dạng 2: Sử dụng BĐT để chứng minh BĐT
BT1 : CMR: với mọi a > 0, b > 0, ta có: ab ab
2
(BĐT Cô-si)
BT2: CMR: với mọi a > 0, b > 0, ta có:
a) 2
a
b b
a
b) ( ) 1 1 4
b a b
BT3 CMR: với mọi a > 0, b > 0, c > 0 ta có:
( ) 1 1 1 9
c b a c b
BT4 CMR: với mọi a > 0, b > 0, c > 0 ta có:
2
3
b c b
a b a
c
( BĐT Nes – bit)
HD: áp dụng BĐT BT3, ta có:
2
3 2
9 1
1
1
9 1 1 1 ) (
2 9 1 1 1 ) ( ) (
)
(
a c
b c b
a b a
c a
c
b c
b
a b
a
c
a c c b b a c b a a
c c b b a a c c
b
b
a
BT5 CMR: với mọi a, b, c, d ta có:
acbd (a2 b2 )(c2 d2 )
(BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski )
BT6 CMR: với a, b, c, d R và c > 0, d > 0 ta có:
d c
b a d
b c
a
2 2
BT7 Chứng minh rằng
Trang 2Với mọi số thực a + b 0 và m, n nguyên dơng, ta có:
2 2
2
n m n m n n m
HD: (a m b m)(a n b n) 2 (a mn b mn)
a m(a n b n) b m(b n a n) 0 a m b m)(a n b n) 0
Do a, b có vai trò nh nhau, không mất tính tổng quát, giả sử a b (1)
Theo bài: a + b 0 a - b (2)
Từ (1) và (2): ab 0
Ta suy ra:
0 0
n n m m n n m m n n
m m
b a b a b a b a b
a
b
a
(a m b m)(a n b n) 0, BĐT đ ợc chứng minh
BT8 Cho a + b 0 Chứng minh rằng:
(a + b)(a3 + b3)(a5 + b5) 4(a9 + b9)
HD:
Theo bài: a + b 0, áp dụng BĐT BT7:
Ta có:
2 2
2
2 2
2
9 9 5 5 4 4
4 4 3 3
b a b a b a
b a b a b
a
2
2 2
2
2
9 9 4 4 5 5 3
a b
2 2
2
.
2
9 9 5 5 3
a
b
(a + b)(a3 + b3)(a5 + b5) 4(a9 + b9)
BT9: Cho a, b, c, d, e là các số thực Chứng minh rằng:
a2 b2 c2 d2 e2 a(bcde)
BT10: Cho a, b, c là các số thực Chứng minh rằng:
a4 b4 c4 abc(abc)
BT11: Chứng minh rằng: nếu ad – bc = 1 thì 2 2 2 2 3
a
BT12: Cho a > 1, b > 1 Chứng minh rằng 8
1 1
2 2
b b
a
BT13: Cho a 1 ,b 1 Chứng minh rằng:
ab b
a
2 1
1 1
1
2 2
BT14: Cho a > 0, b > 0 Chứng minh rằng: 2
) (
4 1
b a
ab
BT15: Cho a, b, c, d là các số dơng Chứng minh rằng: 2
2 2
) (
3
d c b a
c bc ad a c a
c c b
a
BT16: Cho a, b, c, d là các số dơng Chứng minh rằng:
2 2
2
2 2
) (
) (
4
d c b a
d cd ab b d c b a
c bc ad a b a
d a d
c d
c
b
c
b
a
BT17: Với mọi a, b Chứng minh rằng:
a) (ab) 3 4 (a3 b3 ) b) 3 (abbcca) (abc) 2 3 (a2 b2 c2 )
BT18: Với mọi a, b, c, d Chứng minh rằng:
a) a2b2c2abbcca b) a4 b4 c4 d4 4abcd
BT19: CMR: a)Với a, b, c là các số dơng, ta có: a) (a + b)(b + c)(c + a) 8abc
b) Với mọi a, b, c ta có: ( ) 2 ( ) 2 4 ( )
c b a abc c
b b
BT20: Cho a + b = 1 Chứng minh rằng:
a)
2
1
2 2
b
8
1
4 4
b
128
1
8 8
b a
BT21: a) Cho a + b + c + d = 2 Chứng minh rằng: 2 2 2 2 1
a
b) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 Chứng minh rằng: b + c 16abc
c) Cho a, b > 0 và a + b = 1 Chứmg minh rằng: 1 1 12 , 5
2 2
b
b a a
Dạng 3 Sử dụng BĐT để tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số
* Phơng pháp:
- Ta đa các biểu thức đại số cần tìm GTLN, GTNN về một trong 2 trờng hợp:
+ TH1: A 2 + k k, (giá trị nhỏ nhất là k).
+ TH2: - A 2 + k k, (giá trị lớn nhất là k).
- Tìm giá trị của biến (nếu có) để đẳng thức xảy ra.
BT1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = (x + 1)2 + (x - 3)2
Trang 3HD: Ta có: P = (x + 2x + 1) + (x – 6x + 9)
= 2x2 – 4x + 10
= 2(x2 – 2x + 1) + 8
= 2(x – 1)2 + 8
Vì (x – 1)2 0 với mọi giá trị của x
P = 2(x – 1)2 + 8 8 Đẳng thức xảy ra x – 1 = 0 x = 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 8 x = 1.
BT2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x2 + 6y2 + 14z2 – 8yz + 6zx – 4xy
HD: P (x 2y 3z) 2 2 (yz) 2 3z2
P 0 với mọi giá trị của x, y, z
Đẳng thức xảy ra x = y = z = 0 Vậy GTNN của P = 0 x = y = z = 0
BT3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Q = x2 + 2y2 + 3z2 – 2xy + 2zx – 2x – 2y – 8z + 2007
HD: ( 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( 1 ) 2 2001
Ta có: (x – y + z – 1)2 0, (y + z – 2)2 0, (z – 1)2 0 với mọi x, y, z
Q 2001 Đẳng thức xảy ra x = y = 1.Vậy GTNN của Q = 2001 x = y = 1
BT4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
E = xy + yz + zx, biết x + y + z = 3
BT5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = (x + 2005)2 + (y + 2006)2 + (z + 2007)2
BT6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Q = (x + a)2 + (y + b)2 + (z + c)2, với a, b, c là các hằng số
BT7: Cho x, y là hai số thay đổi luôn thoả mãn điều kiện x + y = 1
Tìm GTNN của biêu thức A = x3 + y3 + x2 + y2
BT8: Cho x, y là hai số thay đổi luôn thoả mãn điều kiện x + 2y = 3.
Tìm GTNN của biêu thức B = x2 + 2y2
BT9: Cho a, b, c, d là các số thực thoả mãn a + b = c + d
Tìm GTNN của biểu thức C = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d)
BT10: Tìm GTNN của biểu thức D = (x1a1)2 (x2 a2)2 (x2007 a2007)2
biết x1x2 x 2007 = 2007 và a1,a2, ,a2007 là các hằng số
BT11: Tìm GTNN của biểu thức E = (x + a)2007 + (y + b)2007 + (z + c)2007
biết x + y + z = 6021 và a, b, c là các hằng số
BT12: Tìm GTLN của biểu thức G = 2
) 2007 ( x
x
, với x > 0
BT13: Tìm GTLN của biểu thức H = 2 2
2 2
y xy x
y xy x
với x > 0, y > 0.
BT14: Cho x, y > 0 và x + y = 5 Tìm GTNN của biểu thức: A =
y x
1 1
Dạng 4 Sử dụng bất đẳng thức để tìm cực trị trong hình học
BT1: Cho ABC Qua một điểm M bất kì thuộc cạnh AC, kẻ các đờng thẳng song song với hai cạnh kia, chúng tạo thành với hai cạnh ấy một hình bình hành Tìm vị trí của M để hình bình hành ấy
có diện tích lớn nhất
HD:
S'
x
y
S2
S1
H
B
C
a
M
F K
Gọi hbh tạo thành là BEMF, diện tích (BEMF) = S’, diện tích (ABC) = S Ta cần tìm GTLN của S’
Ta kẻ AK BC, AK cắt EM ở H Ta có:
S’ = EM HK, S =
2
1
BC AK, nên:
AK
KH BC
EM S
S 2. .
'
Trang 4Đặt MA = x, MC = y Mặt khác ta có:
y x
y AK
HK y x
x BC
EM
2
2
y
x
xy
S
S
áp dụng BĐT a b ab
2 hay (a + b)
2
1 )
(
2
2
y
x
xy
S
S
Vậy GTLN của S’ =
2
1
S Đẳng thức xảy ra x = y hay khi đó M là trung điểm của AC
BT2 : Cho hbh BEMF Dựng đờng thẳng đi qua M cắt các cạnh của góc B tạo thành một tam giác có
diện tích nhỏ nhất
2
) ( '
2
xy
y x S
S
BT3: Trong hình thang ABCD (BC // AD) có diện tích S không đổi, E là giao điểm của các đờng
chéo, ở hình thang có thêm điều kiện gì thì ABE có diện tích lớn nhất
HD:
S' S' S1
x
x y
S2 E
B C
K
Ta có: dt(ABE) = dt(CDE) = S’ Đặt dt(CEB) = S1, dt(AED) = S2 Trớc hết ta CM: S '2 S1.S2 Thật vậy:
2 1 2 2
1 2
'
'
;
S S
S EA
EC S
S
EA
EC
S
S
(1)
Đặt BC = x; AD = y, ta biểu thị các tỉ số
S
S S
S S
;
; 2
1 theo x và y
Qua C kẻ đờng thẳng song song với BD, cắt AD ở K Ta có DK = BC = x, dt(ACK) = S
Ta có: ACK đồng dạng với CEB và AED nên:
2 2 2
1
)
x AK
BC
S
S
2 2
2
)
y AK
AD S
S
(2)
2 2 2 1 2
) (
' ) (
'
y x
xy S
S y x
y x S
S S
S S
S
Tiếp tục áp dụng BĐT a b ab
2 , ta có:
4
1 )
(
'
2
y
x
xy
S
S
Do đó: GTLN của S’
4
1
S Đẳng thức xảy ra x = y hay khi đó hình thang ABCD là hình bình hành
BT4: Cho hình vuông và hình chữ nhật có cùng chu vi, hình nào có diện tích lớn hơn? Tại sao? Khi nào
thì hai hình có diện tích bằng nhau?
BT5: Cho hình vuông, hình thoi và hình chữ nhật có cùng chu vi, hình nào có diện tích lớn hơn? Tại sao? BT6: Trong các tam giác có diện tích bằng nhau thì tam giác nào có chu vi nhỏ nhất? Tại sao?
BT7: Trong các tam giác vuông có đội dài cạnh huyền nh nhau thì tam giác nào có diện tích lớn nhất?
Tại sao?
BT8: Trong các tam giác có chu vi bằng nhau thì tam giác nào có diện tích lớn nhất? Tại sao?
BT9: Cho a b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác CMR:
c b a c b a c b a c b a
1 1 1 1
1 1
BT10: Cho a b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác CMR:
Trang 5n n n n n n
c b a c b a c
b a c
b
a
1 1 1 ) (
1 )
(
1 )
(
1
BT11: Cho a b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác CMR:
3
a c
b a
b c
b a c
BT12: Cho a b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác CMR:
1 1
n n n n
n n
c b a c b a
a c
b a
b c b a
