Ch ứng minh rằng:.
Trang 1Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B 1
Bài 1 Cho a, b, c > 0 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a b c
( + + ) + + ≥( + + )
b) 3(a3+b3+c3) (≥ a b c a+ + )( 2+b2+c2)
c) 9(a3+b3+c3) (≥ a b c+ + )3
Bài 2 Cho a, b > 0 Chứng minh
a b a b
1 1+ ≥ 4
+ (1) Áp dụng chứng minh các BĐT sau:
a)
a b c a b b c c a
; với a, b, c > 0
b)
a b b c c a a b c a b c a b c
c) Cho a, b, c > 0 thoả a b c1 1 1 4+ + = Chứng minh: a b c a1 1b c a b1 c 1
2 + + + +2 + + + +2 ≤ d) ab bc ca a b c
+ +
+ + + ; với a, b, c > 0
e) Cho x, y, z > 0 thoả x+2y+4z=12 Chứng minh: xy yz xz
f) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi Chứng minh rằng:
Bài 3 Cho a, b, c > 0 Chứng minh
a b c a b c
+ + ≥
+ + (1) Áp dụng chứng minh các BĐT sau:
a b b c c a
2
b) Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1+ + = Tìm GTLN của biểu thức: P = x x1+y y1+z z1
c) Cho a, b, c > 0 tho ả a b c 1+ + ≤ Tìm GTNN của biểu thức:
P =
a2 bc b2 ac c2 ab
d) Cho a, b, c > 0 tho ả a b c 1+ + = Chứng minh: ab bc ca
a2 b2 c2
1 + 1 + 1 + 1 30≥
e*) Cho tam giác ABC Chứng minh: 2 cos21 A+2 cos21 B+2 cos21 C ≥65
Bài 4: Tìm GTLN của các biểu thức sau:
a) A x= 1+ +y y 1+x, với mọi x, y thoả x2+y2 = 1
Bài 5 a,b,c>0:a+b+c≤1 Ch ứng minh rằng: 9
2
1 2
1 2
1
2 2
+
+ +
+
a
Bài 6: : Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abc 1= Chứng minh rằng:
a5+b5+ab b+ 5+c5+bc c+ 5+a5+ca ≤1 (*)
Bài 7: Chứng minh bất đẳng thức sau: a3+b3+c3≥ + +a b c, với a, b, c > 0 và abc = 1
Trang 2Đinh Xuõn Thạch – THPT Yờn Mụ B 2
Bài 1: Cho a, b, c≥0 và 2 2 2
3
a +b +c = Tỡm giỏ tr ị nhỏ nhất của biểu thức
P
Bài 2: Cho cỏc s ố dương a b c ab bc, , : + +ca=3. Ch ứng minh rằng:
1 a b c( )+1 b c( a)+1 c a b( )≤ abc
Bài 3: Cho a,b, c là cỏc số dương thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng:
a b b c c a 3
Bài 4: Cho a, b, c là ba s ố dương thoả món : a + b + c = 3
4 Tỡm giỏ tr ị nhỏ nhất của
3
1 3
1 3
1
a c c b b a
P
+
+ +
+ +
Bài 5: Cho x, y, z là nh ững số dương thoả món xyz = 1 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu
th ức: P 6 x93 3y9 6 6 y93 3z9 6 6 z93 3x9 6
x x y y y y z z z z x x
Bài 6: Cho ba số thực dương a, b, c thoả món: ab bc ca 1+ + = Chứng minh rằng:
3 2
1+ + 1+ + 1+ ≤
Bài 7: Cho x, y, z là cỏc s ố thực dương lớn hơn 1 và thoả món điều kiện
2
x+ + ≥y z Tỡm giỏ tr ị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1)
Bài 8: Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh rằng
1 1 1 1
x y + y z + z x ≤
Bài 9: Cho x, y, z là cỏc s ố thực dương thỏa món: x2
+ y2 + z2 ≤ 3 Tỡm giỏ tr ị nhỏ
P
Bài 10: Tỡm giỏ tr ị nhỏ nhất của biểu thức:
2
1
2 2
b a b a ab
+ +
Trong đú: a>0;b>0:a+b=1
Bài 11:
Bài 12: