Bài 1: Cho 3 số dương tùy ý x, y, z.CMR 3
x y z x y z x y z
1
1
VT
+ + + +
+ + + +
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z
Bài 2: Cho 3 số dương , ,x y z thỏa mãn xyz=1 CMR: 2 2 2 3
y + z + x ≥
2
2
1
1
x y
xyz
y VT x y z z
z x
+
+ ≥
+
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1
Bài 3: Cho 3 số không âm tùy ý , ,x y z thõa mãn: x y z+ + =0 CM: 2 4+ x + 2 4+ y + 2 4+ z ≥3 3
4
, , 0
1 4
x y z
a
a b c
abc c
=
>
=
(1)
+ = + + ≥ ⇒ + ≥ ⇒ ≥ + + ÷≥ =
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 0
Bài 4: Cho 3 số dương tùy ý a,b,c:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Trang 2( )
3
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Bài 5: Cho 3 số dương tùy ý x,y,z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
= + ÷+ + ÷+ + ÷
2 3
2 3
2 3
3 ( )
xyz
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =1
Bài 6: Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn điều kiện: xyz=1 Chứng minh rằng:
P
x y y z y z z x z x x y
ì :
V
x y y z x xy y
x xy y y yz z z zx x x xy y y yz z z zx x
=
2P x y y z z x
x xy y y yz z z zx x
1
3
Trang 33 3
3
2
x xy y
+ +
Bài 7: Cho 3 số thực a,b,c tùy ý Chứng minh rằng:
tan
tan (*) sin( ) sin( ) sin( )
tan
ì : sin( ) sin ( ) ( ) ) sin( ) os( ) os( ) sin( ) sin( ) os( ) os( ) sin( ) sin( ) sin( )
a
b
c
α
γ
=
=
Bài 8: Cho 4 số thực a,b,c,d thõa mãn: a2 +b2 = 1; c – d = 3 Chứng minh 9 6 2
4
ac bd cd+ − ≤ +
( ) 2( ) 1 9 2
A a b A C x y v B c d B d x y
= − + − = + + + − −
= + + − − + − = + −
Vì AB nhỏ nhất khi và chỉ khi A,B thuộc đường vuông góc với d kẽ từ O
2
1
Bài 9: Cho: a c ≥ ≥ 0; b c ≥ Chứng minh: c a c( − +) c b c( − )≤ ab
, ,
r r r r
Bài 10: Cho x,y,z thuộc khoảng (0;1) thõa mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1 Tìm Min của:
2 2 2
P
Trang 4( )
3
tan
2
tan
2
3 3
t anA tan tan t anA.tan tan 3 3
2
A
x
B
C
z
=
=
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A=B=C=600 hay 1
3
x= = =y z
Bài 11: Cho x, y, z >1 và thoả mãn điều kiện : xy + yz + zx ≥ 2xyz
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1)
Giải : Ta có: xy + yz + zx ≥ 2xyz 1 1 1
2
x y z
⇒ + + ≥
Đặt
1 , , 0
1
2
1 1 1 ( 1)( 1)
1 ( 1)( 1) 1 ( 1)( 1)
8
abc
abc
− =
>
− = ⇒ ≥ ⇔ ≥ − + −
− = + + +
Bài 12 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
2 1 1 1
y
− + + − −
=
+ − − + Đặt:
Trang 5
( )
2
2
2
2
2
;
2 2
1
2
0 ' 0
3
a b
y
a b
a b
y
t
t
t
y t
= −
= − ≤ + − + =
= − ⇒ − +
=
+
= − < −
Vậy hàm số đạt Max=1 và không đạt Min
Bài 13 Cho 4 số bất kỳ a,b,c,d thõa mãn: a+2b=9;c+2d=4 CMR:
a − a b+ − +b + a + + +c b d − ac− bd + c +d − +c d+ ≥ Chọn A(a;b) và B(c;d) ta có: M(6;4) và N(2;-4) và:
1 2
( ) : 2 9 0 ( ) : 2 4 0
Mà : AM +AB BN+ ≥MN = (6 2)− 2+ +(4 4)2 =4 5
Bài 14: Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn: 3-x + 3-y + 3-z =1 CMR:
+ +
1 3
ó :
x
y
z
a b c c
Ta c VT
a bc b ca c ab a abc b abc c abc
= >
=
Bài 15: Tìm Min của:
H
y z z x x y
Trang 6Trong đó: , ,2 20 2 2 2 2
2010
x y z
>
, , 0
ó : 2010
a b c
a b c
= +
2( ) 2( ) 2( )
1
2 2
H
H
− + + − − + +
2
3
2 2
2010 1005 2 1005 2
224450
2 2 2 2
a b c
a b c
a b c
a b c
= + + + + ÷− + + ÷ + + ≥
≥ + + + + ÷− + + ÷≥ − + + ÷
+ +
2
xy A
=
2
2 2
2
2
1
1
1
3
y
x
t A
t t
u
u
÷ + ÷ + + ÷
÷ ÷
− +
= −
⇒ = ⇔ = ⇒ = ≤ 3) 1 6 ax 18 1 .
u
M A
→∞
Bài 17: Cho 3 số thực thõa mãn: x2 + y2 + z2 =1 Tìm Min, Max của: P= + + −(x y z) (xy yz zx+ + )
Trang 72 2 2 2
ó :
Qua BBT ta c
Bài 18: Cho 2 số dương x,y thõa mãn: x+y=5/4 Tìm Min của: A= +4x 41y
5 16
5
4
0
4 5
3
A
a
a
+ −
−
−
= < <
=
= −
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=1; y=1/4
Bài 19: CMR: Với mọi tam giác ABC ta luôn có:
1 os 1 os 1 os
Xét hàm số:
2
2
x
y = + x −
2
> ∀ ∈ ÷
Ta thấy y’ đồng biến và ta có: y > 0 Vậy ta có:
2
2
x
x > −
Áp dụng cho các góc A/2, B/2 , C/2 ta có:
cos 1 ;cos 1 ;cos 1
> − > − > −
Trang 8
2 1 1 1 1 9 2 ( ) 2 8 8 18 144 3 3 8 8 A B C VT A B C A B C A B C π π π π + + ⇒ > + + ÷ − + + ≥ − + + − = − = > Bài 20: Cho 2 số không âm tùy ý x,y thõa mãn x+y=1: Tìm Min, Max của:S x1 y1 y x = + + + 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 1 1 ( ) 1 2 ( ) 1 1 2 2 6 à : 0 : 0; à 2 ( ) 4 4 4 2 2 1 2 inS ( ) 6 ' 0 4 3 ( 2) ax (0) 1 x y x y x y xy S y x xy x y xy x y t M xy Coi t xy t v S f t t t M f S t M S f + + + − = + = = + + + + + + + − ≤ ≤ = = ⇒ ∈ = = − + = + + = = − ⇒ = + < ⇒ = =