bất đẳng thức

Bất đẳng thức Bernonlly.. F Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức trong hình học: 1.. Dấu bằng khi: A,B,C thẳng hàng... $7: Phơng pháp chứng minh bằng quy nạp.. B1 Thử trực tiếp với n n

Trang 1

Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức

b a

c bc ac

b a

a

2 1 2

Trang 2

Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức Hoặc 1 2 1. 2 .

2

2 1 2 2

2

(a +a + +a n b +b + +b n ≥ a b +a b + +a n b n Với∀a1 ,a2,…, an,b1 ,b2,…, bn R∈ Dấu bằng khi:

n

n b

a b

4 Bất đẳng thức Bernonlly.

Với ∀a∈R,a≥−1:(1+a)n ≥1+na,∀n∈Z+

Dấu bằng khi và chỉ khi a = 0

E) Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức có dấu giá trị tuyệt đối:

a X

F) Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức trong hình học:

1 Với ba điểm A,B,C tuỳ ý thì: AB + BC ≥AC Dấu bằng khi: A,B,C thẳng hàng

2 Với mọi a, b: a +b ≥a+b Dấu bằng khi: a, b cùng phơng

3 Với mọi a, b: a +b ≥a+b Dấu bằng khi: a, b cùng phơng

a

với ab > 0

VD2 CMR:

ab b

21

11

1

2

VD3 CMR: a3 +b3 ≥a2b+ab2 với ∀a, b ≥ 0

Trang 3

1

3 2

1 2 1

+ + + +

n

n với n∈N*

+ +

+ + +

<

b a d

d a d c

c d c b

b c b a

c a c

b c b

a a c

c c b

b b a

a

+

+ +

<

+

+ +

$5: Phơng pháp chứng minh bằng dùng giả thiết.

VD1 Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác CMR: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)

VD2 Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác CMR:

a) (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)≤abc

b) a3+b3+c3+3abc ≥a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)> a3+b3+c3+2abc

VD3 Cho a,b,c ∈[− 1 ; 2] và a+b+c=0 CMR: a2 + b2 + c2 ≤ 6

VD4 Cho các số nguyên dơng: a,b,p,q,r,s Thoả mãn các điều kiện qr – ps =1

1

2 3

1 2

1

<

+ + + +

n

n với n∈N*

Trang 4

VD3 CMR: 1 2

2

11

1

2 2

2 + + + <

n với n∈N*

$7: Phơng pháp chứng minh bằng quy nạp.

B1 Thử trực tiếp với n nhỏ nhất ( có trong bài toán ) bài toán đúng

B2 Giả xử bài toán đúng với n=k ( với k lớn hơn n đã thử ) PCM: Bài toán đúng với n=k+1.

a) Đẳng thức

VD1 CMR: 1+2+3+…+ n =

2

)1(n+

1(n+ n+

n i i n

i

a

m a

m

1

1 2 1

n i

k i n

k i

a

m a

m

1 1

1

)(

n i

k i n

k i

a n

m a

m

1 2

1 1

)(

Với mọi ai,mi >0,k∈N*

$8: Phơng pháp chứng minh bằng phản chứng.

Để chứng minh A ≥ B

Ta giả sử A < B từ đây biến đổi dẫn đến trái với giả thiết của bài toán

hoặc trái với một điều đã biết trớc đó

Kết lận A ≥ B đúng

VD1 CMR: + ≥ 2

a

b b

a

với ab > 0

VD2 Cho a,b,c >0 và abc=1 CMR: a+ b+ c ≥ 3

VD3 Cho a,b thoả a+b=2 Chứng tỏ ab<1 và a4+b4 ≥ 2

$9: Phơng pháp chứng minh bằng h m s à ố

A) S ử d ụ ng miền giá trị

Để chứng minh B < f(x) < A

Đặt y=f(x) xác định trên D

Khi đó với mọi x thuộc D thì phơng trình f(x) – y = 0 có nghiệm

Từ đó suy ra điều kiện: y∈(B;A) hay B < f(x) < A

1

13

1

2

≤+

−

++

≤

a a

với a > 0, a R∈

VD2 CMR:

3

112

12

2

>

++

+

−

a a

với a R∈ B) S ử d ụ ng Định lý Lagrange

Trang 5

Nếu y=f(x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b) thì: ( )

a b

a f b f c f b a c

a f b f

−

− ( ))

(

PP: Chỉ ra y=f(x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b) thì: ( )

a b

a f b f c f b a c

hàm số y=f(x) XĐ trên (a;b) nếu:

*) f, (x) ≥ 0 ∀x∈( )a;b thì hàm số không giảm trên (a;b) (số điểm có f,(x)=0 là môt số hữu hạn ) *) f, (x) ≤ 0 ∀x∈( )a;b thì hàm số không tăng trên (a;b) (số điểm có f,(x)=0 là môt số hữu hạn ) *) f, (x) = 0 ∀x∈( )a;b thì hàm số không đổi trên (a;b)

Bài toán II: Chứng minh bài toán: f(x)>0 ∀x∈ (a;b)

PP: Tìm tập XĐ: D chỉ ra [a;b)⊂D

Tính f(a) chỉ ra f(a)≥ 0

Tính f,(x) và chỉ ra f,(x)>0 ∀x∈ (a;b)suy ra f(x)>f(a)≥ 0 ∀x∈ (a;b)

D) S ử d ụ ng Y min;YMax của hàm số

Bài toán III: Chứng minh bài toán: f(x)≥0 ∀x∈D1

PP: Tìm tập XĐ: D chỉ ra D1 ⊂D

Tìm Ymin với x∈ D1 Chứng tỏ Ymin ≥ 0 từ đó suy ra ∀x∈D1:y= f(x)≥Ymin ≥0

E) S ử d ụ ng tính chất của hàm số lồi,lõm(BĐT JENSEN)

*) Hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp 2 f,,(x)>0 ∀x∈ (a;b)thì ∀x1;x2; ;x n ∈ (a;b)ta có:

++

n

x x

x nf x f x

f x

n

)(

)()

++

n

x x

x nf x f x

f x

n

)(

)()

1

4cos1

2cos1cos1cos

+

++

≤+

x

x x

sin 2

sin 2 sin A+ B+ C ≤ với A,B,C la số đo các góc trong của 1 tam giác b)

a

a b a

b b

2

2 sinx + tanx ≥ x+ 1 ∀x∈ π

Trang 6

Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thứcBài tập 4: CMR

ne x

2

b a b

∈

≥ +

∈ +

n

x x

e) ∀x> x−x < sinx<x

6 : 0

3

Bài 6: CMR nếu n là số tự nhiên chẵn và a là số lớn hơn 3 thì (n+1)xn+2-3(n+2)xn+1+an+2=0 VN

b m

a

thì ax2+bx+c=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1)

$10: Phơng pháp chứng minh bằng biến đổi tơng đơng.

VD1 Cho a,b,c R∈ CMR: a2 + b2 + c2 ≥ ab+bc+ca

VD2 Cho a,b,c,d R∈ CMR: a2 + b2 + c2+d2+1 ≥ a+b+c+d

b a

−

+ 2 2

≥ 2 2 Nếu ab=1 và a>b

VD8 Cho a,b R∈ CMR: a2 + b2 + 1 ≥ ab+a+b

VD9 Cho a,b,c ∈[ ]0 ; 1 CMR: a2 + b2 + c2 ≤ 1+a2b+b2c+c2a

VD10 Cho a,b,c ∈[ ]0 ; 2 và a+b+c=3 CMR: a2 + b2 + c2 ≤ 5

$11: Phơng pháp chứng minh bằng hình học-vộc tơ.

bài 1: (x+y) 2 +z2 + (x−y) 2 +z2 ≥ 2 x2 +z2 HD: a(x+y;z); b(x−y;z).Với: x,y,z∈R

Bài 2: (x+m) 2 +y2 + (x−m) 2 +y2 ≥ 2m HD: a(x-m; y); b( −x−m; −y).Với: x,y,m∈R

2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2

(a −x + b −y + a −x + b −y ≥ a −a + b −b

Với: x,y,a1,a2,b1,b2∈R HD: A(x;y), B(a1;b1), C(a2;b2)

Bài 4: a2 +b2 + c2 +d2 ≥ (a+c) 2 + (b+d) 2 Với: a,b,c,d ∈R HD: u(a;b),v(c;d).Bài 5: a2 +b2 + c2 +d2 ≥ (a−c) 2 + (b−d) 2 Với: a,b,c,d ∈R

HD: u(a;b),v( −c; −d) Hoặc A(a;b), B(c;d) và có: OA+OB≥AB

Bài 6: ab+cd ≤ a2 +c2 b2 +d2 Với: a,b,c,d R∈ HD: u(a;c),v(b;d).và có: u.v ≤uv.Bài 7: Tìm giá trị N2 của y= x2 − 2px+ 2p2 + x2 − 2qx+ 2q2 Với: p,q∈R và p<0; q>0

HD: A(p;p); B(q;q); M(x;0) và có: MA+MB≥AB Từ đó Miny= 2(q-p) khi: M≡O Tổng quát: Với: p,q∈R.Đặt A(x-p; p) , B(x-q; q) Thì: OA+OB≥AB= (p−q) 2 + (p −q) 2 Bài 8: Tìm giá trị LN & NN của: y=

2 1

x+ − Với : x∈[ ]0 ; 2 HD: u( 1 ; 2 2 ),v( x; 2 −x).

2 1

2 2

1x = −x ⇔x=

Trang 7

Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức khi đó u//vcòn Min y= 2 khi đó v cùng phơng Ox hay 1- 0

2x = ⇔ x= 2 Bài 9: 3x2 + 8x− 3 ≤ 5 (x2 + 1 ) HD: ( 3 ; 4 ), ( 2 1 ; 2 ).

x x

v

u  − Và có: uv ≤uv Bài 10: Tìm giá trị N2 của y= cos 2 ϕ − 2 cos ϕ + 2 + cos 2 ϕ + 6 cos ϕ + 13

HD: A(1;1-cosϕ); B(3;4), C(1;0).y =OA+AB≤OC+CB= 1 + 20

Bài 11: Chứng minh rằng: cos 4 ϕ + cos 4 α + sin 2 ϕ + sin 2 α ≥ 2

HD:u(cos 2 ϕ ; cos 2 α ),v(sin 2 ϕ ;o),w( 0 ; sin 2 α ) và có: u+v+w ≥u+v+w

Bài 12: Chứng minh rằng: 4 cos 2xcos 2 y+ sin 2 (x−y) + 4 sin 2xsin 2 y+ sin 2 (x−y) ≥ 2

HD: M(2cosxcossy;sin(x-y)), N(-2sinxsiny;-sin(x-y)) và có: OM+ON ≥MN

1 (

2

3

; 2

1 ( −

B và có: MA−MB ≤AB= 1 bằng khi OM//AB loại.Bài 14: Chứng minh rằng: x2 +xy+y2 + x2 +xz+z2 ≥ y2 +yz+z2

2

3

; 2 (

), 2

3

; 2 (x y y v x z z

4

3 ) 2 (

≥

+ +

+

ca

c a bc

b c ab

a

HD: (1; 2), (1; 2), (1; 2)

a c

w c b

v b

a

u   và:u+v+w ≥u+v+w= (1+1+1) 2 + 2 (1+1+1) 2 = 3

c b a c

b a

Bài 16: Cho: x,y,u,v∈R và: x2+y2=u2+v2=1 chứng minh: − 2 ≤x(u+v) +y(u−v) ≤ 2

c b c

b a

Bài 2: Cho a,b,c *

+

∈R CMR: ( + + )(1+1+1) ≥ 9

c b a c b a

Bài 3: Cho a,b *

+

∈R CMR: 1 1 4 .

b a b

+

∈R CMR:

2 2

2

3 3 2

a b

−

1 1

Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số f(x) = (x +3)(5-x) Với −3≤ x≤5

Bài 9: Với x>1 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x +

Trang 8

Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thứcBài 11: Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số: f(x) = x− 1 + 4 −x.

Bài 12: a) Cho a,b,c R∈ CMR: ( ) 2 3 ( 2 2 2 ).

c b a c

b

a+ + ≤ + +

b) Cho a,b,c,d R∈ v b<c<d c hoặc d<c<b CMR: à ( ) 2 8 ( ).

bd ac d

c b

a+ + + > +

4 (a+b+c+d 4 ≥abcd Bài 14: Cho a,b R∈ và a2 +b2 =1 CMR: a+b ≤ 2

Bài 15: a) Cho a,b R∈ và 4a - 3b = 15 CMR: a2 +b2 ≥ 9

5

1

4a2 +b2 ≥

Bài 16: Cho a,b R∈ và a < 1 ,b < 1 CMR: a+b < 1 +ab.

Bài 17: a) Cho a,b∈R+ CMR:

b

b a

a b a

b a

+

+ +

≤ + +

+

1 1

2

c) Cho a,b,c,d>0,a≤b≤c≤d và bd ≤1.CMR:

d c b a

11

1

2

1 1

1 + + >

+

Bài 19: Cho a,b,c ∈R+ CMR: a+b+c≥ ab+ bc+ ca.

Bài 20: Cho a,b,c R∈ CMR: 2 2 2 2 2 2 ( ).

c b a abc a

c c b b

Bài 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x+1x .

Bài 22: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) =

+

a

.Bài 24: a) Cho a,b,c *

+

2

12

1

2 2

+

++

1

2 2

c b a ab c ca b bc a

++

≥+

++

++ c) Cho a,b,c *

+

abc abc a c abc c b abc b

++

+++

++

+ d) Cho a,b,c,d *

+

∈R CMR:

.11

11

1

4 4 4 4

4 4 4

4

4 b c abcd b c d abcd c a b abcd d a b abcd abcd

+++

++++

++

+

e) Tổng quát cho bài toán trên

Bài 25: Với x> -2 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x +

2

+

x Bài 26: Với x>0 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 3x2 +

x

1

.Bài 27: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = (2-x)(2x+1) Với: -0,5< x < 2

Bài 28: Cho a,b≥0 CMR: a) 16ab(a−b) 2 ≤ (a+b) 4

b) (1+a+b)(a+b+ab) ≥ 9ab

c) 3a3 +7b3 ≥ 9ab2

Trang 9

Bài 29: Cho a,b R∈ và a+b =2 CMR: a4 +b4 ≥ 2

Bài 30: a) Cho a,b *

+

∈R CMR: + ≥ 2

a

b b

a

b) Cho a,b,c *

+

∈R CMR: + + ≥ 3

a

c c

b b

a

c) Tổng quát bài toán trên

Bài 31: a) Cho a,b *

+

∈R CMR: ( + )(1+1) ≥ 4

b a b

Bài 32: Cho a,b,c *

+

∈R và a+b+c = 1 CMR:

c

c b

b a

a

+

+ +

≥

1 1 1 4

3

.Bài 33: a) Cho a,b,c

a b a b

) (a b c a b c

b) Cho a,b;x,y,z>0 và x+y+z=1.CMR: 3 ( 3 ) 4 ( ) 4 ( ) 4 ( ) 4

z

b a y

b a x

b a b

2 2

2

a + + ≥ + +

Bài 38: Cho a,b,c ∈R+ CMR: (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc.

Bài 39: a) Cho a,b,c *

+ +

+

c a c

b c b

a

b) Cho a,b,c,d *

+

+ +

+

d a d

c d c

b c b

a

c) Cho a,b,c *

+

∈R CMR:

c b a b a a c c

b+ + + + + ≥ + +

9 2

2 2

d) Cho a,b,c,m *

+

∈R và m>1 CMR:

c b a b a

m a c

m c b

++

≥+

++

+

∈R CMR:

n m nb ma

c na mc

b nc mb

a

+

≥ +

+ +

3

+ +

+ + +

+ +

+

b a

c a c

b c b

a b

a c a

c b c

b a

+

∈R CMR:

2

2 2

b a

c a c

b c b

+

+ +

b a

c a c

b c b

+

+ + +

Trang 10

Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức c) Cho: a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR:

2

9 1 1

+

+ +

+ +c c a a b

ca a

bc

+ +

≥ +

b) Cho a,b,c ∈R* CMR:

b

c a

b c

a c

b b

a a

c

++

≥++ 22 22

2

c) Cho a,b,c ∈R* CMR:

a

c c

b b

a c

b b

a a

c

++

≥++ 22 22

2

Bài 43: Cho a,b,c,d ≥0 CMR: (a+b)(c+d) + (a+c)(b+d) + (a+d)(b+c) ≥ 6 4 abcd.

Bài 44: Cho a,b∈R+ CMR: ( 1 +a)( 1 +b) ≥ ( 1 + ab) 2

Bài 45: Cho a,b,c ∈R+ CMR: ( 1 +a)( 1 +b)( 1 +c) ≥ ( 1 + 3 abc) 3

Bài 46: a) Cho a,b,c R∈ CMR: a2 ( 1 +b2 ) +b2 ( 1 +c2 ) +c2 ( 1 +a2 ) ≥ 6abc.

b

≥ và a

2c2

2 2

b

≥ CMR: (a

1+a2)(c1+c2)≥(b1+b2)2.Bài 52: Cho: a1,a2,…,an ≥ 0 và a1+a2+…+an 2

Bài 54: a) Cho a,b,c>0 và a+b+c=1.CMR: ( 1 +1)( 1 +1) ( 1 +1) ≥ 64

c b

b) Cho: a1,a2,…,an≥0 và a1+a2+…+an=1 CMR: n

n

n a

a

1 1 ) (

1 1 )(

1 1 (

2 1

+

≥ + +

+

∈R CMR:

3

2 2

2

2 2

2

a ca c

c c

bc b

b b

ab a

++

+++

++

a b

1

CMR:

n

n n

n b

a b b

b

a a

a b

a

<

+++

<

2 1

2 1 1

1

Bài 59: Cho ai, i=1 ,n; ai ∈R+và a1+a2+…+an=1.CMR: 1 2 1 3 1 1 21

−

≤ +

+ +

Bài 61: Cho x,y,z ∈R+ và x+y+z=a CMR: (a−x)(a−y)(a−z) ≥ 8xyz.

Bài 62: a) Cho a>b>0.CMR: 3

) (

1 ≥

−

+

b a b

Trang 11

) 1 )(

(

4

2 ≥ +

−

+

b b a

c) Cho a>b>0.CMR: 2 2

) (

d) Cho a,b & 1

2

1 , ≥ >

∈

b

a a

) ( 4

a

1 3

2 2 1 1

2)1() (

)(

n n k k

k n a

a a

a a a a

1 3

1

2

1 1

+ + + +

!≤ +

với n∈N.Bài 65: CMR: (n) 2 ≥n n với n∈N

Bài 66: CMR: n n! ≥ n với n∈N,n >1

1

2 (

4

33

3

23

1

2 + + <

+ n n với n∈N.Bài 69: CMR: (2 1)(12 1) 21

5 3

1 3 1

1

<

+

− + + +

n

2 2

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

>

− + +

− +

ca

b a c bc

a c b ab

c b

≤ +

+

1 1

1

1 1 1

15

11)(

8

11)(

3

11

+++

++

9

11)(

5

11)(

2

11

+++

++

n

n với n∈N*.Bài 75: a) Cho 0<a,b,c<1 CMR: a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)

4

3

≤ b) Cho 0<a,b,c,d<1 CMR: (1-a)(1-b)(1-c)(1-d) >1-a-b-c-d

a

.Bài 77: ∀∆ABC CMR: 2 (a+b+c) ≤ a2 +b2 + b2 +c2 + c2 +a2 < 3 (a+b+c).

Bài 78: Cho a,b,c R∈ CMR: ( 2 2 )( 2 2 )( 2 2 ) 8 2 2 2

c b a a c c b b

) 1 ( ) 1 2 )(

1 2 (

5 3

2 3 1

+

= +

− + + +

n

n n n

100

7 5

3 5 3

2 3 1

<

+ + + +

Trang 12

Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thứcBài 82: a) CMR:

1 4 ) 1 4 )(

3 4 (

1

9 5

1 5 1

1

+

= +

− + + +

n

n n

b) CMR:

4

1 ) 1 4 )(

3 4 (

1

9 5

1 5 1

+

− + + +

n n

Bài 83: a) CMR: 1.1!+2.2!+3.3!+…+100.100!<101!

b) CMR: 1.1!+2.2!+3.3!+…+n.n!<(n+1)! với n∈N*

Bài 84: a) Cho a,b∈R* CMR: 2 3( ) 4 0

2 2

2

≥++

−+

a

b b

a a

b b

a

b) Cho a,b∈R* CMR: 2( 2) 5( ) 6 0

2 2

2

≥++

−+

a

b b

a a

b b

a

Bài 85: a,b,c,d trong đó có 3 số dơng,một số âm thoả mãn: 1+1+1+1 = 0

d c b

CMR: Các số: a+b, b+c, c+d. là số đo ba cạnh của một tam giác

Bài 86: Cho a,b,c ≥0 CMR: a3 +b3 +c3 ≥a2 bc+b2 ca+c2 ab

Bài 87: a) Cho a,b R∈ CMR:

4

1 ) 1 ( ) 1 (

) 1

)(

( 4

1

2 2 2 2

2 2 2

2

≤ +

b a b

a

) 1 )(

1 (

) ( ) 1 (

2 2

≤ +

b a ab

) 1 )(

1 (

) 1 )(

( 2

+ +

− +

≤

−

b a

ab b

!

1 )!

1 (

)!

2 (

1 )!

1

p n n

n n

+ +

+ + + +

+ +

Bài 91: CMR: (n+11)!+(n+12)!+ +(n+1p+1)!<1nn1!−(n+1p+1)! với n∈N

Bài 92: a) CMR:

n n

Bài 94: Cho x,y là hai số thực thoả x2+y2=1 CMR: f(x,y) =16(x5+y5)-20(x3+y3)+5(x+y)≤ 2

Bài 95: Cho a,b,c,d R∈ và a2+b2+c2+d2=1.CMR: (x2 +ax+b) 2 + (x2 +cx+d) 2 ≤ ( 2x2 + 1 ) 2 ∀x∈R.

Bài 96: Cho a,b *

+

∈R và a+b = 1 CMR:

2

25 ) 1 ( ) 1 ( + 2 + + 2 ≥

b

b a

+

∈R và a=c +d,b≥ c+d CMR: ab≥ad+bc Bài 98: Cho a,b,c *

b a b

a + ≥ +

Trang 13

Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức b) Cho a,b∈R+ CMR: a n b n a b n

) 2

( 2

1 ( )

=

− 1

0

21

x x

1

2 <

+ + + +

n với n∈N.Bài 106: a,b,c∈R. Trong đó tổng 3 số khác không.CMR: 3 0

3 3 3

≥ +

+

− + +

c b a

abc c

b

Bài 107: Cho R,r là bán kính các đờng tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC CMR: R 2≥ r

+

1

1 1

+

+ +

+

1

1 1

1

≥ +

+ +

1

−

Bài 109: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác và có diện tích là S CMR: a2 +b2 +c2 ≥ 4S 3

Bài 110: Cho a,b,c là ba cạnh của ∆ABC CMR: a2 (b+c−a) +b2 (c+a−b) +c2 (a+b−c) ≤ 3abc.

+

∈R CMR:

c b a c b a c b a c b

1 4

1 2

+ +

+ + +

+ +

Bài 112: Nếu phơng trình: x4+ax3+bx2+ax+1=0 có nghiệm thực thì:

a) a2+(b-2)2 >3 b) 1

2 ≥ +b

3

4

≥ + +b c

Bài 114: Cho a,b,c ∈Q là ba cạnh của một tam giác.CMR: ( 1 + − )a + ( 1 + − )b + ( 1 + − )c ≤ 1

c

b a b

a c a

c b

Bài 115: Nếu phơng trình: (a+x)2+(b+y)2+(x+y)2=c2 có nghiệm thực thì: (a+b) 2 ≤ 3c2

Bài 116: a) Cho a,b,c R∈ và a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)

3

4

≤ CMR: a+b+c ≤4

b) Cho a,b,c R∈ và a+b+c=6 CMR: a2+b2+c2 ≥12

Bài 117: a) Cho a,b,c R∈ và a2 +b2 +c2 =1 CMR: a+3b+5c ≤ 35

b) Cho x,y R∈ và 36x2 +16y2 =9 Tìm Max,Min của: p=y-2x+5

c) Cho x,y R∈ và x2 +y2 =1 Tìm Max A= x 1 +y+y 1 +x

d) Cho x,y R∈ Tìm Min f(x,y)=(x-2y+1)2+(2x+ay+5)2 tuỳ theo a R∈

Bài 118: Cho a,b,c,d R∈ và a2 +b2 +c2 +d2 =1 CMR: (t2+at+b)2+(t2+ct+d)2 ≤(2t2+1)2

Tiêu đề	Bất đẳng thức
Người hướng dẫn	Nguyễn Văn Bốn
Trường học	Trường Đại Học
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Tài liệu ôn thi

Định dạng
Số trang	21
Dung lượng	1,51 MB