Ứng dụng biểu thức liên hợp

ỨNG DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP TRONG CÁC BÀI TOÁN CHỨA CĂN

1) Lý thuyết:

a) Nếu A, B là các biểu thức nhận các giá trị dương thì:

( A+ B)( A− B) = A – B

A+ B và A− B là hai biểu thức liên hợp của nhau

b) Với X , Y là hai biểu thứ bất kỳ ta có

( 3 X + 3Y)( 3 X2 − 3 XY + 3Y2 )= X + Y

3 X + 3Y ; 3 X2 − 3 XY + 3Y2 được gọi là 2 biểu thức liên hợp của nhau

( 3 X − 3Y)( 3 X2 + 3 XY + 3Y2 ) = X – Y

3 X − 3Y ; 3 X2 + 3 XY + 3Y2 được gọi là 2 biểu thức liên hợp của nhau

2) Bài tập:

Bài 1: Rút gọn biểu thức:

1 5 + 5 9 + 9 13 + + 21 25

Giải:

Ta sẽ biểu diễn số hạng tổng quát sau đó áp dụng cho từng trường hợp cụ thể để rút gọn

Số tổng quát :

1

4

k+ k+ =

4

+ −

4 4

+ −

4 4

k+ − k

( k = 1 , 2 , 3, …, 25)

Áp dụng đẳng thức 1

4

k + k+ = k+ −44 k ta có

1 5 + 5 9 + 9 13 + + 21 25

= 5 1 9 5 13 9 25 21

= 5 1 9 5 13 9 21 17 25 21

4

= 25 1

4

4

−

= 1 Bài 2 : Giải phương trình:

Giải :

Ta sẽ biểu diễn số hạng tổng quát của từng số hạng trong vế trai sau đó áp dụng cho từng trường hợp cụ thể để rút gọn vế trái

ĐK : x ≥ 0 Số hạng tổng quát của mỗi biểu thức trong phương trình :

+ −

=

1 1

+ − + − = k+ −1 k (k ≥ 0 )

Áp dụng đẳng thức này với k = x , x + 1 , x + 2 cho vế trái của phương trình

Phương trình tương đương với:

x+ − x+ x+ − x+ + x+ − x+ = 1

⇔ x+ −3 x = 1 ⇔ x+3 = x + 1 ⇔ x+ 3 = x + 2 x+ 1

⇔ x = 1 ⇔ x = 1 (TMĐK)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là :x = 1

Bài 3 : Rút gọn biểu thức :

5 4 4 5 6 5 5 6 + + 7 6 6 7 + + 25 24 24 25

Giải :

Ta sẽ biểu diễn số hạng tổng quát sau đó áp dụng cho từng trường hợp cụ thể để rút gọn

Số hạng tổng quát là :

1

(k+ 1) k + k+ 1.k =

1 (k+ 1) (k k+ + 1 k) =

1 ( 1) .( 1 )( 1 )

+ −

1.

+ −

1

k − k

+

Áp dụng đẳng thức (k+1) k1+ k+1.k = 1 1

1

k − k

+ ta có :

5 4 4 5 6 5 5 6 7 6 6 7 + + + + 25 24 24 25

4 − 5 + 5 − 6 + + 23 − 24 + 24 − 25

= 1 1

4 − 25 = 1 1

2 5 − = 3

10

Bài 4 : Chứng minh bất đẳng thức :

1 1 1

2 n 1 < n+ − n< 2 n

+

Giải : Bài này ta chứng minh 2 bất đẳng thức liên tiếp

1

1

Với n là số nguyên dương ta có :

2 n < n+ + 1 n < 2 n+ 1 => 1 1 1

2 n 1 < n 1 n < 2 n

2 n 1 < n+ − n< 2 n

+

Bài 5 : Chứng minh bất đẳng thức :

2 26 2 1 1 1 1 10

Giải :

1 + 2 + 3 + + 25 => M = 2 1 1 1 1

2 1 2 2 2 3 2 25

Theo bài 4 thì với n là số nguyên dương ta có :

1

2

n

2 1 2 2 2 3 2 25

2 1 2 2 + + 2 3 + + 2 25 < 1− 0+ 2− 1 + + 24− 23+ 25− 24

= 25 − 0 = 5

Bài 6 : So sánh 2 số biết : A = 3- 2 2 ; B = 2 2 - 7

Giải:

A= 3- 2 2 = (3 2 2)(3 2 2)

3 2 2

2

9 (2 2)

3 2 2

−

9 8

3 2 2

−

1

3 2 2 +

B = 2 2 - 7 = (2 2 7)(2 2 7)

2 2 7

2

2 2 7 2 2 7 2 2 7

V ì 0 < 2 2 + 7 < 3 + 2 2 nên 1

3 2 2 + <

1

2 2 + 7

Vậy A < B

Bài 7: Cho các số dương a , b , c thoả mãn a > b Chứng minh rằng:

a c+ − a < b c+ − b

Giải:

a c+ − a = ( a c a)( a c a)

a c a

a c a

a

+ −

c

a c+ + a

b c+ − b = ( b c b)( b c b)

b c b

b c b

b c b

+ −

c

b c+ + b

Vì a > b nên a c+ + a > b c+ + b

a c a < b c b

c

a c+ + a <

c

b c+ + b

Vậy a c+ − a < b c+ − b

Bài 8: Cho các dương a , b ,c thoả mãn a > c , b > d

Chứng minh rằng: a b+ − a− b < c d+ − c− d

Giải:

Âp dụng kết quả bài toán trên ta có:

a > c => a c+ − a < c b+ − c => a b+ − a− b < c b+ − b - c

b > d => b c+ − b < d c+ − d => b c+ − b - c < d c+ − d - c

Áp dụng tính chất bắc cầu từ 2 bất đẳng thức trên

=> a b+ − a− b < d c+ − d - c

Bài 9: Cho a > b > 0 So sánh 2 biểu thức:

3 a+ − 1 3 a và 3b+ − 1 3b

Giải:

3 a+ − 1 3a = 3 2 3 3 3 2

1

+ −

1 (a+ 1) + a+ 1. a+ a

3b+ − 1 3b = 3 2 3 3 3 2

1

+ −

1 (b+ 1) + b+ 1. b+ b

Vì a > b > 0 nên: 3 2 3 3 3 2

1 (a+ 1) + a+ 1. a+ a < 3 2 3 3 3 2

1 (b+ 1) + b+ 1. b+ b

Vậy 3a+ − 1 3 a < 3b+ − 1 3b

Bài 10: So sánh : A = 3 20 + 3 32 ; B = 3 24 + 3 28

Giải:

Ta có : A – B = 3 20 + 3 32 - 3 24 − 3 28 = (3 32 − 3 28) – (3 24 − 2 20)

= 3 2 332 283 3 2

32 32 28 28

−

24 20

24 24 20 20

−

= 3 2 3 43 3 2

32 + 32 28 + 28 - 3 2 3 3 3 2

4

24 + 24 20 + 20

Ta có : 3 32 2 + 3 32 28 3 + 3 28 2 > 3 24 2 + 3 24 20 3 + 3 20 2

=> 3 2 3 43 3 2

32 + 32 28 + 28 < 3 2 3 3 3 2

4

24 + 24 20 + 20

=> 3 2 3 43 3 2

32 + 32 28 + 28 - 3 2 3 3 3 2

4

24 + 24 20 + 20 < 0

Vậy : A < B

Bài 11: Tìm x thoả mãn x+ 29 − x+ 9 = 2

ĐKXĐ : x ≥ - 9

Giả sử x thoả mãn x+ 29 − x+ 9 = 2

29 9

+ + + = 2 =>

20

x+ + x+ = 2





29 6

9 4

x x



 + =

 => x = 7 (TNĐK)

Bài 12: Cho số dương a thoả mãn ( 2

5 3

a + + )3 = 35.Tính 2

5

a + - a

Giải:

( a2 + + 5 3)3 = 35 => a2 + + 5 3 = 3 35 => 2 2 3

2

35 5

+ −

=>

3 2

5

35 5

3 2

5

35 5

+ − => a2+5 - a = 3

5 35

Bài 13: Cho các số dương x , y thoả mãn ( x2 + − 5 x)( y2 + − 5 y) 5 =

Tính : x5 + y5

Ta có : ( x2 + + 5 x)( x2 + − 5 x)= ( y2 + + 5 y)( y2 + − 5 y) = 5

5

+ + =

+ − ;

2

2

5 5

5

+ + =

+ −

Theo điều kiện bài cho ta có :

2 2

2

2

5

.( 5 ) 5

5

5

5







=>







Cộng từng vế tương ứng ta có :

- x – y = x + y => x = - y => x5 = - y5 => x5 + y5 = 0

Bài 14 : giải phương trình :

2 2

1

2 2(1 1 )

x

− =

Giải :

ĐK : x ≥ - 1

2 2

1

2 2(1 1 )

x

− =

2 2( 1 1) ( 1 1)

2

2 ( 1 1)

2 2(1 1)

x

+ −

2

2 ( 1 1)

x

− = + − ⇔ x – 2 = ( 1 + −x 1) 2 ⇔x – 2 = 2 + x - 2 1 x+ ⇔2 1 x+ = 4

⇔ 1 + x = 4 ⇔ x = 3 (TMĐK)

16 18 + 20 22 + 22 24 + + 62 64

Bài 16 : Tìm số nguyên dương n thoả mãn

1 1 1 19

1 2 + 2 3 + + n 1 n =

Bài 17 : Rút gọn

2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 + + + + 100 99 99 100

Bài 18 : So sánh : A = 2008 − 2006 ; B = 2006 − 2004