Sử dụng các biểu thức liên hợp để giải toán

SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI TOÁN Trong chương trình lớp 9 có một số bài toán có chứa dấu căn rất cồng kềnh và phức tạp nếu khéo léo sử dụng biểu thức liên hợp để biến đổi thì ta sẽ thu được một biểu thức rất gọn trong chuyên đề này tôi nêu một số cách sử dụng biểu thức liên hợp để giải toán. Sau khi học xong chuyên đề này học sinh sẽ không lúng túng khi gặp các bài toán có chứa dấu căn;

SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIấN HỢP ĐỂ GIẢI TOÁN

Cao Quốc Cờng ( GV THCS Vĩnh Tờng- Vĩnh Phúc)

Sử dụng các biểu thức liên hợp để giải toán là một kỹ năng cơ bản của học sinh THCS Trong bài viết này tôi muốn giới thiệu với các bạn một số bài toán trong quá trình giải

có sử dụng các biểu thức liên hợp.

Bài 1: Cho x x2  2010y y2  2010  2010 (*)

Tính giá trị của biểu thức M  x y

Lời giải: Lần lợt nhân hai vế của đẳng thức (*) với x x2  2010 và y y2  2010 ta







Cộng vế với vế của (1) và (2) ta đợc:  2010x y   2010x y   x y  0

Vậy giá trị của biểu thức M  x y = 0

Bài 2: Giải phơng trình:

a, 3x  1 6  x 3x2  14x 8 0  x R 

(Trích: Đề thi tuyển sinh đại học năm 2010 môn toán khối B)

b,  2  5 2 5

x   x  x  x  (2b)

c,  2 3  2 3 4

    (2c)

Lời giải: a, ĐKXĐ: 3 1 0 1

6

x

x x

 







Ta có: 3x  1 6  x 3x2  14x 8 0    3x  1 4  1  6  x 3x2  14x 5 0 

5 0(1)

x

x









PT (1) có nghiệm x = 5 thỏa mãn ĐKXĐ

PT (2) vô nghiệm vì 3 1

3x  1 4 6  x 1 x  với 1

;6 3

Vậy phơng trình có nghiệm là x = 5

b, ĐKXĐ:  x R Đặt a x2   1 x; b x2   1 x Khi đó:

2

a b







 PT(2b) có dạng: a5b5 123 0   a5b5a b a b2 2    a b  123 0 

a3 b3 a2 b2 a b 123 0

a b 3  a b4 3a b3 4a b2 12a b 41  0

Vì a b 2 x2  1 0 a b 43a b 34a b 212a b 41  0

2

Vậy PT có nghiệm là: 5

2

c, Ta thấy 2  3 2  3 1  Đặt  2 3

x

t

  (Với t 0) thì  2 3 1

x

t

PT (2c) có dạng : 1 2

t

*Với t  2 3 ta có : 2 3 2 3  2 3 2 3 2  3



2 3 2 2 3 1 1 2.

2

x

x

x



* Với t  2 3 ta có :  2 3 2 3 2 32 2 3 2

x x

x

Vậy phơng trình có nghiệm x 2.

Nhận xét: - Trong cách giải của bài 1 và bài 2a ta đã nhân với các biểu thức liên hợp để

làm xuất hiện các hạng tử chung, nhân tử chung

- Với bài 2b ta đã sử dụng tích hai biểu thức liên hợp a b  1 để biến đổi phơng trình a5 b5  123 0  về dạng phơng trình tích

- Với bài 2c bên cạnh việc sử dụng biểu thức liên hợp để đặt ẩn phụ ta còn sử dụng biểu thức liên hợp để giải PT  2  3x   2 3

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức :

Lời giải: Đặt 3 125 3 125

A       ta có: M  A 2010 (1)

*Tính A: Đặt

3

3

125

27

3 125

27

x

x y

A x y y











3

A 1 A2 A 6 0 A 1

       (Vì PT A2 A  6 0 vô nghiệm vì có   23 0  ) Vậy A = 1 (2) Kết hợp (1) và (2) ta có giá trị của biểu thức M  1 2010

Nhận xét: Ta thấy 125

27

27

  là hai biểu thức liên hợp của nhau Vì vậy

ta nghĩ đến việc biến đổi để làm xuất hiện tích hai biểu thức trên

Bài 4: Cho phơng trình: x2  4 5 4 x 2m3  21m 0 (1) ( Với m là tham số)

Giải phơng trình (1) với 3 343 3 343

2

a b và m a b 

2 5 3

2

3

Mặt khác PT(1) có: / 3

Kết hợp (*) và (**) ta thấy PT(1) có   / 0 Vậy PT(1) có nghiệm kép 4

Nhận xét:

Nếu ta làm theo thứ tự tính m ( Tơng tự bài 3) sau đó thay vào PT(1) và giải PT thì sẽ rất khó khăn Sự sáng tạo của bài toán là khai khác dữ kiện 3

Bài tập áp dụng:

Bài1: Cho 2x 4x2  5 2  y 4y2  5  5 Tính M   x y 3

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức: E 3 9 4 5   3 9 4 5 

Bài 3: Cho 3 847 3 847

x     Tính giá trị của biểu thức: M x3  5x 112010

Bài 4: Giải phơng trình:

a, x x2  1  x x2  1 2 

b, 7 4 3  x 3 2  3x  2 0

Bài 5: Cho biểu thức: 3  2  2 3  2  2

Tính giá trị của biểu thức với x 3 2010