Kĩ năng tìm biểu thức Liên Hợp hoặc Nhân tử khi giải Phương trình vô tỷ

Kĩ năng tìm biểu thức Liên Hợp hoặc Nhân tử khi giải Phương trình vô tỷ tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án...

1

KĨ NĂNG TÌM BIỂU THỨC LIÊN HỢP HOẶC NHÂN TỬ

CỦA PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

(dành cho bạn đọc muốn thử sức với một số PT vô tỉ phức tạp và thử sức giải phương trình bậc 3)

Lưu ý

+Bài viết gồm 5 chuyên đề: Chuyên đề 1 là các phương trình không dùng Casio Chuyên đề 2 và 3 là các thí dụ dùng máy tính Casio có hướng dẫn sơ lược, chuyên đề 4 và 5 là lí thuyết hướng dẫn chi tiết cách dùng máy tính Caiso tìm biểu thức liên hợp hoặc tìm nhân tử cần xuất hiện trong phương trình của chuyên đề 2 và 3

+Do có nhiều phương trình mới lạ và phức tạp nên bài viết không là tài liệu để ôn tập cho các kì thi

+Các PT trong bài viết dùng Casio hỗ trợ nên nó phức tạp hơn các dạng PT khác

Chuyên đề 1 PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ KHÔNG DÙNG CASIO HỖ TRỢ

Chuyên đề này gồm các PT có nghiệm đẹp ta hoàn toàn nhẩm được Dù vất vả trong việc nhẩm và tính toán nhưng giúp chúng ta tiến bộ khi học môn Toán

A Các Phương trình tìm biểu thức liên hợp không dùng Casio

Thí dụ 1 Giải phương trình

32212

21

9

31

c a a

c b a c

c b a

Biểu thức liên hợp cần tìm là x2x1 6x2x1

Tương tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x2x22 2x2x1

012

221

26

Thí dụ 2 Giải phương trình

5429127

9

12

c a a

c b a c

c b a

Biểu thức liên hợp cần tìm là x22x2 5x28x4

Tương tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x22x3 7x212x9

09127

324

852

4

42

c a a

c b a

c b a

c b a

Biểu thức liên hợp cần tìm là x2x2 14x26x4

Tương tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x2x4 18x210x8

081018

44

614

PT

3

PTcó 4 nghiệm x1;x2;x3

Thí dụ 4 Giải phương trình

742283213

2128

4

32

4

2

c a a

c b a

c b a

c b a

Biểu thức liên hợp cần tìm là x22x3 11x228x21

Tương tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x22x4 13x232x28

0283213

4221

2811

23

x x

4

2 2

x x x

x x

x

Hướng dẫn

x

x x x

x x

x

2 2

x x

4

2 2

Hướng dẫn

Do 3x22x40 nên x 0

2258896

5

PT

22421

Hướng dẫn

Ta nhẩm được các nghiệm đẹp của PT là 2;1

Biểu thức liên hợp cần tìm là 2x2x4 4x421x224xvà

x x

x x

45

42(

1)(

42(1)

1431

2 4

x x x

x

x x

x

f

Ta có f'(1)0nên PT có nghiệm bội x1 (tính f '(1)0 Pt có nghiệm képx1) Các ví dụ kiểm tra chính xác là nghiệm kép xin dành cho bạn đọc)

Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax2bxc x4x21

Lấy đạo hàm đƣợc biêu thức

1

22

)(

2 4

x x b

ax x

c b a

Do PT có nghiệm kép x1nên nó là nghiệm của P(x)

suy ra2ab10(**)

c b a

621)

9

Thí dụ 19 Giải phương trình

231221

36

287

Thí dụ 22 Giải phương trình

232

212

x x

1012

11

PTcó 2 nghiệm x1,x4

Thí dụ 25 Giải phương trình

32374105

2

Hướng dẫn

Ta nhẩm được các nghiệm đẹp của PT đã cho là x1;x3

Có vẻ cần tìm thêm nghiệm ngoại lai Ta xét PT sau

(*)544141212

2

Ta nhẩm được nghiệm đẹp của PT(*) là x0

Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax2bxc 2x22x1

Do x1;x3là nghiệm PT nên cũng là nghiệm của biểu thức cần tìm

9

1

c b a

c b

a

Do cách đổi dấu tìm nghiệm ngoại lai x=0 nên x=0 là nghiệm biểu thức

12

2 2

2bxc x  x

Từ đó ta cóa1;b1;c1

Biểu thức cần tìm là x2x1 2x22x1

Tương tự,biểu thức nữa cần tìm là 2x22x1 12x24x1

Cho 2 biểu thức bằng 0 suy ra2 2x22x1 12x24x110

suy ra nhân tử cần xuất hiện là: 2 2x22x1 12x24x11

Đặt 2x22x1a0; 12x24x1b0

Tacó 4a2b2 4x24x3(*)

Thay vào PT được(2ab1)(2ab2)0

(**)01141212

4121

2

Hướng dẫn

Ta nhẩm được các nghiệm đẹp của PT đã cho là x0;x1;x3

Nếu coi cả 3 nghiệm là nghiệm của biểu thức thì

3

13

1x2  x  x2  x

3

23

Đến đây có lẽ ta không phát hiện được mối liên nào đặc biệt ngoài liên hệ!!

Có vẻ cần coi nghiệm nào đó trong 3 nghiêm là nghiệm ngoại lai của biểu thức cần tìm

13

Do ở thí dụ 1 ta thấy x=0 là nghiệm ngoại lai của biểu thức cần tìm thì sẽ có mối liên hệ đặc biệt!!

Như vậy biểu thức cần tìm là x2x1 2x22x1

Tương tự, biểu thức nữa cần tìm là 2x22x1 12x24x1

Cho 2 biểu thức bằng 0 suy ra2 2x22x1 12x24x110

suy ra nhân tử cần xuất hiện là: 2 2x22x1 12x24x11

Hướng dẫn

Ta nhẩm được các nghiệm đẹp của PT đã cho là x0;x1

Đặc biệt dùng đạo hàm thấy x0 là nghiệm kép

(lưu ý có thể tìm nghiệm ngoại lai x3 )

Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax2bxc x24x1

Lấy đạo hàm được

14

22

x b

Tương tự,biểu thức nữa cần tìm là 2x24x11 8x1

Cho 2 biểu thức bằng 0 suy ra2 x24x1 8x110

suy ra nhân tử cần xuất hiện là: 2 x24x1 8x11

Đặt x24x1a0; 8x1b0

Tacó 4a2b2 4x28x3(*)

Thay vào PT được(2ab1)(2ab2)0

(**)011814

2

2

Hướng dẫn

15

Ta nhẩm được các nghiệm đẹp của PT đã cho là x0;x1

Đặc biệt dùng đạo hàm thấy x0 là nghiệm kép(hoặc nghiệm ngoại lai x3 ) Biểu thức cần tìm là x22x1 x24x1

Tương tự,biểu thức nữa cần tìm là 2x24x11 8x1

Cho 2 biểu thức bằng 0 suy ra2 x24x1 8x110

suy ra nhân tử cần xuất hiện là: 2 x24x1 8x11

Đặt x24x1a0; 8x1b0

Tacó 4a2b2 4x28x3(*)

Thay vào PT được(2ab1)(2abx22)0

(**)011814

78163

17

)

1

Hướng dẫn

Ta nhẩm được các nghiệm đẹp của PT đã cho là x0;x1

Đặc biệt dùng đạo hàm thấy x1 là nghiệm kép(bội)

Biểu thức cần tìm là x24x1(x1) x27x1

Tương tự,biểu thức nữa cần tìm là x24x x416x38x

Cho 2 biểu thức bằng 0 suy ra(x1) x27x1 x416x38x10

suy ra nhân tử cần xuất hiện là: (x1) x27x1 x416x38x 1

Đặt (x1) x27x1a0; x416x38x b0

Tacó a2b27x316x2x1(*)

Thay vào PT được(ab1)(ab2)0

(**)018161

7)

Hướng dẫn

Ta nhẩm được các nghiệm đẹp của PT đã cho là x0;x1;x3

Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax2bxc 7x212x9

Do x0;x1;x3là nghiệm PT nên cũng là nghiệm của biểu thức cần tìm

9

23

c b a

c b

a

c

Từ đó ta cóa1;b2;c3

Biểu thức cần tìm là x22x3 7x212x9

Tương tự,biểu thức nữa cần tìm là x22x2 5x28x4

Cho 2 biểu thức bằng 0 suy ra 7x212x9 5x28x410

suy ra nhân tử cần xuất hiện là: 7x212x9 5x28x410

Đặt 7x212x9 a0 ; 5x28x4 b0

17

Tacó a2b22x24x3(*)

Thay vào PT được(ab1)(ab2)0

(**)01485912

14

Ta nhẩm được các nghiệm đẹp của PT đã cho là x0;x1

Đặc biệt dùng đạo hàm thấy x1 là nghiệm kép(bội) Hướng khác:

( tìm nghiệm ngoại lai x=2 là nghiệm PT:2(x1) 4x1 16x324x214x28x1)

Biểu thức cần tìm là x22x1(x1) 4x1

Tương tự,biểu thức nữa cần tìm là 2x24x1 16x324x21

Cho 2 biểu thức bằng 0 suy ra2(x1) 4x1 16x324x2130

suy ra nhân tử cần xuất hiện là: 2(x1) 4x1 16x324x213

2

321

2416

14)1(

;   

Thí dụ 7 Giải phương trình

34425204

12

6

Hướng dẫn

Ta nhẩm được các nghiệm đẹp của PT đã cho là x0;x1

Có vẻ cần tìm thêm nghiệm ngoại lai Ta xét PT sau

(*)34425204

12

6

Ta nhẩm được nghiệm đẹp của PT(*) là x3

Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax2bxc 6x22x1

Vì cách đổi dấu trước căn nênx0;x1;x3là nghiệm PT của biểu thức cần tìm

73

9

31

c b a

c b a

c b

73

9

15

c b a

c b a

c b a

c

19

biểu thức nữa cần tìm là 2x22x5 4x220x25(2)

Cho 2 biểu thức (1),(2)bằng 0 suy ra2 6x22x1 4x220x2570

suy ra nhân tử cần xuất hiện là: 2 6x22x1 4x220x257

1

;1

5

Hướng dẫn

Ta nhẩm được các nghiệm đẹp của PT đã cho là x1;x2

Có vẻ cần tìm thêm nghiệm ngoại lai Ta xét PT sau

(*)384817812

5

Ta nhẩm được nghiệm đẹp của PT(*) là x1

Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax2bxc 5x212x8

Vì cách đổi dấu trước căn nên x1;x2;x1là nghiệm PT của biểu thức cần tìm

5

22

4

1

c b a

c b

a

c b a

c b

nghiệm biểu thứcax2bxc 178x

Từ đó ta có biểu thức nữa cần tìm là 2x24x1 178x (2)

Cho 2 biểu thức (1),(2)bằng 0 suy ra2 5x212x8 178x50

suy ra nhân tử cần xuất hiện là: 2 5x212x8 178x5

1

;2

812

Hướng dẫn

Ta nhẩm được các nghiệm đẹp của PT đã cho là x1;x2

Có vẻ cần tìm thêm nghiệm ngoại lai Ta xét PT sau

1425

812

Ta nhẩm được nghiệm đẹp của PT(*) là x1

Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax2bxc 5x212x8

Vì cách đổi dấu trước căn nên x1;x2;x1là nghiệm PT của biểu thức cần tìm

5

22

4

1

c b a

c b

a

c b a

c b

a

Biểu thức cần tìm là x22x2 5x212x8(1)

Xétax2bxc 5x2

21

Do cách đổi dấu tìm nghiệm ngoại lai x=-1 nên x=-1 là

nghiệm biểu thứcax2bxc 5x2

Từ đó ta có biểu thức nữa cần tìm là x22x1 5x2 (2)

Cho 2 biểu thức (1),(2)bằng 0 suy ra 5x212x8 5x2 30

suy ra nhân tử cần xuất hiện là: 5x212x8 5x2 30

;2

11

;2

Chuyên đề 2 TÌM BIỂU THỨC LIÊN HỢP

Chuyên đề này xin được giới thiệu các phương trình dùng máy tính cầm tay tìm biểu thức liên hợp có dạng ax2 bxck P(x),với a,b,c là các số nguyên Khi a=0 là trường hợp quen thuộc!

Sau đây là các thí dụ đơn giản của dạng này

Thí dụ 1 Giải phương trình

4

254662

x x x

x x

x

Hướng dẫn

Do 5x24x20 nên x 0

(*)24546622

2 2

2

x

x x x

x x

x

2454662

2

PT

Biểu thức cần tìm là 2x22x1 x42x32x2 và 3x22x1 6x46x34x2

PTcó 2 nghiệm x 1 ;

3

4 2 1 2 1

2

x x x

x x

x x x

x x

13 3



x

(*)886241812

2

8

2 2

x

x x x

x x

8862418

122

8

PT

(*)1242351

2 2

2

x

x x x

x x

x

24823522

PT

23

Thí dụ 4 Giải phương trình

4

63423

2

x x x

x x

6

x x x

x x

x x x

x x

x

Hướng dẫn

(*)64342322

2 2

x

x x x

x x

6434232

2

PT

(*)6454231068

2 2

2

x

x x x

x x

x

64542310

68

PT

(*)845135853

2 2

2

x

x x x

x x

x



x x x

x x

8

x x x

x x

3

PT

(*)2458129

684

2 2

2

x

x x x

x x

x

24581296

84

PT

(*)465)73)(

3(17102

2 2

x

x x x

x x

x

465)73)(

3(17

102

PT

x x x

x x

2 2

2

x

x x x

x x

x

425146910

44

PT

Thí dụ 12 Giải phương trình

54212

2

4

Hướng dẫn

Biểu thức cần tìm là x2x1 3x22x1 và x2x2 5x24x4

PTcó 3 nghiệm x 0 ; x1 2

Thí dụ 21 Giải phương trình

7621669

9

636981

4

Hướng dẫn

611

Hướng dẫn

Biểu thức cần tìm là 2x2x2 14x211x6 và 4x22x1 32x232x9

)(

1(510

8510

1

Hướng dẫn

Biểu thức cần tìm là 2x2x22 x41

12108

12359

2

4324

2

2

2

2 3 2

x x x

x

11

4

2621412

x x x x

x

15

32

12221

x x x

x

4231

321

x x

25

6333

2

24

x x x x

18

63327

4

4104

x x x x

x

Hướng dẫn

Biểu thức cần tìm là 2x2x3(x2) 3x1 và 2x21 x34x210x4

33

PT đã cho có 2 nghiệm:x 1;

12

)24918281(5)24918281(5

3 2

2 2

2

98824343

)

2

(

42

y x x

x x x

8824343

311833

3

022

21

2 2 2

2

2

2 4 2

2

y x x

x x

y

y y

y x

x

Hướng dẫn.

Sử dụng Hàm đặc trưng có

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương x y222

Với x y222thay vào PT thứ 2 của hệ ta được

(*)113341162

133

)

2

Biểu thức cần tìm là 2x2 3x6(x2) 3x2 13 và x25 2x216x41

PT(*) có 2 nghiệm:x 2;

3

1573215732

13

3

02

2 2

2

2

2 2

2

x x x

x x

y

y x

133

2

46912

1

3

2

2 3 2

23  3 



x

Thí dụ 44 Giải phương trình

35

x x x x

67579

x là nghiệm ngoại lai nó là nghiệm PT: 2x26x3 x44x37x28x3

*Giải phương trình sau ( không dùng CASIO)

1422236

142

2 2 2

2

x x b a

x x b a

Tìm a,b theo x rồi suy ra x13 2

Thí dụ 2 Giải phương trình

1422236

2

Hướng dẫn Bấm máy tính ta tìm được 1 nghiệm

Tìm được nghiệm ngoại lai đẹp x=1bằng cách đổi dấu trước căn

Được PT sau: 3 2x26x3 2x2 2x24x1

Biểu thức cần tìm là x22x 2x26x3và x22x1 2x2

Cho 2 biểu thức bằng 0 suy ra 2x26x3 2x210

suy ra nhân tử cần xuất hiện là: 2x26x3 2x21

Dùng casio giúp ta định hướng được PT đã cho có thể đưa về PT tích Cụ thể như sau

Đặt 2x26x3a; 2x2 bTacó a2b22x24x1

Thay vào PT được(ab1)(ab2)0

Giải PT 2x26x3 2x210 bằng cách chuyển vế,bình phương

Hoặc tìm a,b theo x ta Suy ra PT có 1 nghiệmx13 2

Thí dụ 3 Giải phương trình

0135

Cho 2 biểu thức bằng 0 suy ra 3x26x x2510

suy ra nhân tử cần xuất hiện là: 3x26x x251

Đặt 3x26x a0; x2 5b0Tacó a2b22x26x5

Thay vào PT được(ab1)(ab3)0

Giải PT 3x26x x2510 bằng cách chuyển vế,bình phương

Hoặc tìm a,b theo x ta Suy ra

PT có 2 nghiệmx13 2 ;x3

Thí dụ 4 Giải phương trình

37

021684943425

Hướng dẫn

Biểu thức cần tìm là 2x24x1 12x225x4và 2x24x1 4x29x4

Cho 2 biểu thức bằng 0 suy ra 12x225x4 4x29x420

suy ra nhân tử cần xuất hiện là: 12x225x4 4x29x42

Cho 2 biểu thức bằng 0 suy ra 35x  2x29x610

suy ra nhân tử cần xuất hiện là: 35x  2x29x61

6

Hướng dẫn

Tìm thêm nghiệm ngoại lai là nghiệm PT: 4x26x1 32x2 3 6x26x2 0

Biểu thức cần tìm là 2x23x1 32x2 và 2x23x 6x26x2

Cho 2 biểu thức bằng 0 suy ra 32x2  6x26x210

suy ra nhân tử cần xuất hiện là: 32x2  6x26x21

4

Hướng dẫn

Biểu thức cần tìm là 2x22x32 3x23và 2x22x2 8x24x7

Cho 2 biểu thức bằng 0 suy ra2 3x23 8x24x710

suy ra nhân tử cần xuất hiện là: 2 3x23 8x24x710

3

Hướng dẫn

39

Biểu thức cần tìm là 2x23x3 25x212x12và 2x23x2 12x26x7

Cho 2 biểu thức bằng 0 suy ra 25x212x12 12x26x710

suy ra nhân tử cần xuất hiện là: 25x212x12 12x26x71

4

Hướng dẫn

Biểu thức cần tìm là x22x32 3x24x2và x22x2 10x212x3

Cho 2 biểu thức bằng 0 suy ra2 3x24x2 10x212x310

suy ra nhân tử cần xuất hiện là: 2 3x24x2 10x212x31

372610

23

suy ra nhân tử cần xuất hiện là: 10x226x7 8x220x210

2312161

4

Hướng dẫn

Biểu thức cần tìm là 2x22x1 16x212x3và 3x23x1 33x224x8

Cho 2 biểu thức bằng 0 suy ra3 16x212x32 33x224x810

suy ra nhân tử cần xuất hiện là: 3 16x212x32 33x224x810

54

675644

25

8

Hướng dẫn

Biểu thức cần tìm là x22x2 8x233x2và 2x24x3 28x2124x1

Cho 2 biểu thức bằng 0 suy ra2 8x233x2 28x2124x110

suy ra nhân tử cần xuất hiện là: 2 8x233x2 28x2124x11

12

2

Hướng dẫn

Biểu thức cần tìm là x22x2 2x22x1và 2x24x5 12x216x13

Cho 2 biểu thức bằng 0 suy ra2 2x22x1 12x216x1310

suy ra nhân tử cần xuất hiện là: 2 2x22x1 12x216x1310

1418935

Cho 2 biểu thức bằng 0 suy ra3x1 x25 x 9x218x1450

suy ra nhân tử cần xuất hiện là: 3x1 x25 x 9x218x145

263216

6104

Cho 2 biểu thức bằng 0 suy ra2x1 4x210 x 16x232x2650

PHƯƠNG PHÁP THẾ TRONG THỦ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH ĐỂ TÌM NHÂN

TỬ CHUNG HOẶC TÌM BIỂU THỨC TRONG NHÂN LIÊN HỢP KHI GIẢI PHƯƠNG

TRÌNH VÔ TỈ

Một kĩ năng rất hữu ích có thể giúp ta giải được một phương trình vô tỉ là kĩ năng tìm nhân tử chung hoặc tìm biểu thức trong nhân liên hợp Đôi khi việc tìm ra các biểu thức đó

là rất khó khăn nếu ta không có máy tính cầm tay trợ giúp Bài viết này xin được giới thiệu

kĩ thuật dùng máy tính cầm tay tìm nhân tử chung hoặc biểu thức để ta xử lí nhân liên hợp

có dạng ax2 bxck P(x),với a,b,c là các số nguyên Sau đây là các thí dụ

Thí dụ 1 Giải phương trình

2632

1

4

1063

3

2 2

3 4

x

x x

12683

6 x  x  x  x  x  x 

x

Ta tìm nghiệm của PT(1) bằng máy tính CASIO fx-570VN PLUS như sau:

Nhập biểu thức vế trái(VT) của PT(1) rồi bấm SHIFT SOLVE

Máy hỏi Solve for X ta bấm 10 = máy cho ta nghiệm X=2

Ấn nút sang trái để quay lại PT(1)

Sửa biểu thức thành VT(1):( X-2) rồi bấm SHIFT SOLVE

Máy hỏi Solve for X ta bấm 10 =, máy cho ta nghiệmX 2,546818277

Bấm SHIFT STO A (lưu nghiệm vừa tìm vào A)

Giả sử nhân tử của PT(1) có dạng ax2 bxc x2 3x6

chứa 2 nghiệm vừa tìm

Nghiệm X=2 suy ra 4a 2bc 2  0 c  4a 2b 2

Nhân tử của PT(1) trở thành: ax2 bx4a2b2 x23x6

632

)2()2)(

Vì A là nghiệm của PT(2) nên

ta tìm a,b là số nguyên bằng cách bấm máy tính như sau:

A

A A

)2(2

263

Máy hiện Start? Ta bấm  9 =

Máy hiện End? Ta bấm 9 =

Máy hiện Step? Ta bấm 1 =

Quan sát bảng ta thấy khi X=1=a thì F(X)=0=b là số nguyên

Như vậy a=1,b=0,c=2

Nên nhân tử cần tìm là x2 2 x23x6

Suy ra PT xuất hiện 4(x2 2 x2 3x6)

Biểu thức còn lại là x63x43x312x26x4

45

Biểu thức này chứa nhân tử cần tìm nên nó chứa nhân tử sau:

235)

63(

(4)2)(

235(

(4)2)(

632

)(

632

)632

2(

)3(26

3

2 2

4

2 2

x x x

x

x x

3

02)

3

(

2 4 2

2

x x x

)(

2(

02

2 3 2

x x x x x

Giải tiếp ta được nghiệmx 2 và

3

2

299612

29961

29961

2 3 2

2 3

x x x

x

Lời giải

Phương trình đã cho tương đương với PT:

)1(0398)2(362