DÙNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP VÀO GIẢI PT VÀ HPT VÔ TỈ

Dùng biểu thức liên hợp vào giải ph -

2 3 A+3 B 3 A2 -3 AB +3 B2 A+B

3 3 A-3 B 3 A2 +3 AB +3 B2 A-B

ví dụ1: Giải phơng trình 2x− 3- x=2x-6

Lời giải.

Điều kiện x≥2/3 khi đó PT đã cho tơng đơng với

( 2x− 3- x)( 2x− 3+ x)/ 2x− 3+ x=2(x+3)

⇔

x x

x

+

−

−

3

2

3 =2(x-3) ⇔ hoặc x=3 (thoả mãn ) hoặc

2 - 1/ 2x− 3+ x=0 (1)

Từ điều kiện x≥2/3 >1 suy ra 2 - 1/ 2x− 3+ x>0

Do đó pt (1) vô nghiệm Do đó pt đã cho có nghiệm duy nhất x=3

ví dụ2: Giải PT x2+9x+20=2 3x+ 10 (*)

Lời giải.

Điều kiện x≥-10/3 Khi đó PT đã cho tơng đơng với

(x+3)(x+6)=2( 3x+ 10-1)( 3x+ 10+1)/ 3x+ 10+1

⇔(x+3)(x+6)=6(x+3)/ 3x+ 10+1

⇔hoặc x=-3(thoả mãn) hoặc x+6 -

1 10 3

6

+ +

 Với x>-3 thì 3x+610+1<3 và x+6>3 nên pt (1) vô nghiệm

 Với -10/3≤x<-3, tơng tự ta có

1 10 3

6

+ +

x >3 và x+6<3 nên pt (1) vô nghiệm Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=3

ví dụ3: Giải pt: x2 + 12+5=3x+ x2 + 5 (*)

Lời giải.

Ta có: (*)⇔ x2 + 12-4=3(x-2)+( x2 + 5-3)

⇔ =3(x-2)+

⇔ =3(x-2)+

⇔hoặc x=2 (thoả mãn) hoặc

=3+ =0 (1)

Do x2 + 12> x2 + 5, từ (*) suy ra 3x>5 dẫn đến x+2>0, từ đó suy ra

-3- <0 nên pt (1) vô nghiệm

Vậy x=2 là nghiệm duy nhất của pt (*)

ví dụ4: Giải pt: 2x2 -11x+21=3 4x− 4

Lời giải.

PT đã cho tơng đơng với

(x-3)(2x-5)=

⇔ (x-3)(2x-5)=

Hoặc x=3 hoặc 2x-5- =0 (1) với t= 3 4x− 4

• Với x>3 thì 2x-5>1 và <1, suy ra pt (1) vô nghiệm

• Với x<3 thì 2x-5<1 và >1,suy ra pt (1) vô nghiệm

Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=3

ví dụ5: Giải pt: -2 =

Lời giải:

điều kiện -2≤x ≤2 Khi đó pt đã cho tơng đơng với

=

⇔ = ⇔ hoặc x=2/3,

Hoặc +2 = x2 + 4 (1)

Bình phơng 2 vế của (1) ta đợc

4 +(2-x)(x+4)=0

⇔ (4 +(x+4) )=0 (2)

Dễ thấy 4 +(x+4) >0 với -2≤x ≤2

do đó từ (2) suy ra x=2 ( thoã mãn )

Vậy pt đã cho có 2 nghiệm x=2/3 hoặc x=2

ví dụ6: Giải HPT









=

− + +

=

− + +

)2 (3 2 1

)1 (3 2 1

x y

y x

Lời giải:

Điều kiện x≥2 và y≥2 từ HPT đã cho ta suy ra x+ 1- = -

⇔ =

1

+

x + = +

Nếu x>y≥2 thì x+ 1+ > +;

Nếu 2≤x<y thì x+ 1+ < +;

Do đó x=y Thay vào PT (1) ta đợc

1

+

x + =3⇔ =5-x (3)

Bình phơng 2 vế của (3) giải ra ta đợc x=3 (thoả mãn )

Vậy hệ đã cho có nghiệm (x,y)=(3,3)

ví dụ7: Giải HPT















= + +

= + +

) 2 ( 2

1 2 1

)1 ( 2

1 2 1

x y

y x

Lời giải:

Điều kiện x>0, y>0 Từ hệ PT đã cho ta suy ra

x

1

2 +

-x

1

= 2 +1y - 1y ⇔ =

Từ đó ta có

x

1

2 + +

x

1

= 2 +1y + 1y (3) Nếu x>y>0 thì 2 +1x + 1x < 2 +1y + 1y ;

Nếu 0<x<y thì

x

1

2 + + 1x > 2 +1y + 1y ; Vậy từ (3) suy ra x=y Thay vào PT (1) ta có

x

1

2 + =2- 1x Bình phơng 2 vế

ta đợc 2+1x =4+1x

-x

4

⇔x=4 (thoã mãn) Vậy hệ đã cho có nghiệm (x,y)=(4,4)