PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIET1.. * Ứng dụng trong bài toán có liên quan đến biểu thức có chứa tổng và tích của các nghiệm... b Tìm m để phương trình có đúng một nghiệ
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIET
1 Phương trình bậc hai ax 2 + bx +c = 0 (a 0)
Cách giải và công thức nghiệm
2 Định lý Viet
Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) có hai nghiệm x1, x2 thì:
Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là các nghiệm của phương trình:
x2 - Sx + P = 0
3 Ứng dụng của định lý Viét:
*) Ứng dụng trong bài toán nhẩm nghiệm phương trình bậc hai:
+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1 và một nghiệm x = c/a
+ Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x = -1 và một nghiệm x = -c/a
*) Ứng dụng trong bài toán phân tích biểu thức f(x) = ax 2 + bx + c thành nhân tử.
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì biểu thức f(x) = ax2 + bx + c sẽ được phân tích thành nhân tử: f(x) = ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)
Ví dụ: x2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2); 2x2 - 3x - 2 = 2(x - 2)(x - 1/2) = (x - 2)(2x - 1)
*) Ứng dụng trong bài toán có liên quan đến biểu thức có chứa tổng và tích của các nghiệm.
4 Một số bài toán thường gặp
Bài toán1: Giải và biện luận phương trình dạng: ax2 + bx +c = 0
Bước 1: Nếu a = 0, xét b và c:
+ Nếu b 0, phương trình có một nghiệm duy nhất x = -c
b + Nếu b = c = 0, phương trình nghiệm đúng với mọi x
+ Nếu b = 0, c 0, phương trình vô nghiệm
Bước 2: Nếu a 0, tính = b2 - 4ac
+ Nếu > 0, phương trình có có hai nghiệm phân biệt 1,2
2
b x
a
+ Nếu = 0, phương trình có nghiệm kép
2
b x
a
+ Nếu < 0 , phương trình vô nghiệm
Bài toán 2 Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm
Điều kiện: a0,b0
ax 2 + bx + c = 0 (a 0) (2)
= b 2 – 4ac Kết luận
> 0
(2) có hai nghiệm phân biệt
1,2
2
b x
a
2
b x
a
< 0 (2) vô nghiệm
ax 2 + bx + c = 0 (a 0) (2)
= b’ 2 – ac Kết luận
'
> 0
(2) có hai nghiệm phân biệt
1,2
b x
a
'
b x
a
'
< 0 (2) vô nghiệm
1 2 b ; 1. 2 c
Trang 2Điều kiện : a 0, 0.
Bài toán 4 Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt
Điều kiện : 0, 0
a
a c
Bài toán 5 Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm trái dấu
Điều kiện: a.c < 0
Bài toán 6 Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm dương
Điều kiện :
0 0
a b a c a
Bài toán 7 Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt
Điều kiện :
0 0
a b a c a
Bài toán 8 Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm âm
Điều kiện :
0 0
a b a c a
Bài toán 9 Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm âm phân biệt
Điều kiện :
0 0
a b a c a
Bài toán 10 Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt và hiệu các nghiệm bằng k
Điều kiện:
+ Điều kiện 1: phương trình có hai nghiệm phân biệt:a 0, 0.
Bài tập
Trang 3Bài 1 Cho phương trình: x2 - (m +1)x + 12 = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối dấu;
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: (x1 - 2x2)(x2 - 2x1) = 10
HD:
a)
b)
Bài 2 Tìm m để phương trình x2 - mx + 1 = 0 có hai nghiệm và hiệu các nghiệm đó bằng 1
Bài 3 Cho phương trình: (m + 1)x2 - 2(m + 1)x + m - 8 = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b) Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm dương
Bài 4 Cho phương trình: 3x2 - 4x - m + 5 = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt;
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
Bài 5 Cho phương trình: x2 - 3x + 2m + 5 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2
thoả mãn:
a) 2 2
1 2 10;
1 2 1 2 7;
x x x x
Bài 6 Cho phương trình: x2 - (2m + 3)x + m2 + 2m + 2 = 0 (1) Xác định m để:
a) Phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 Khi đó chứng minh rằng:
4x1x2 = (x1 + x2)2 - 2(x1 + x2) + 5
b) Phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 2 2
1 2 15;
x x
c) Phương trình (1) có một nghiệm x1 = 2 và x2 > 4
Bài 7 Cho phương trình: x2 + 2mx + 3 = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để tổng bình phương các nghiệm bằng 10
Bài 8 Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm nguyên: x2 - mx - m = 0
Bài 9 Tìm m để phương trình: (m + 1)x2 - (3m + 5)x + m - 1 = 0 có đúng một nghiệm dương
Bài 10 Cho phương trình: (m - 2)x2 + 2mx + m - 1 = 0
a) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương
b) Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm âm
Bài 11 Tìm m để hai phương trình sau là tương đương:
x2 +mx + m = 0 và x2 + 4x + m = 0
Bài 12 Cho phương trình: x2 + x + m = 0 (1) và x2 + mx - 7 = (2) Tìm m để phương trình (1)
có một nghiệm gấp 3 lần một nghiệm của phương trình (2)
Bài toán 13 Cho một số k tuỳ ý và phương trình bậc hai ax2 bx c 0 có hai nghiệm x1 và
Trang 42 ( 1) 0
kb k ac
Giải:
Điều kiện để có một nghiệm bằng k lần nghiệm kia là x1 = kx2 hoặc x2 = kx1 Ta có:
x1 = kx2 hoặc x2 = kx1 (x1 - kx2)( x2 - kx1) = 0 (1)
Vế trái của đẳng thức trên là một biểu thức đối xứng của x1 và x2 Do đó nó có thể biểu diễn qua x1 x2 b; x x1 2 c
Cụ thể là:
2
2 2
(2)
k ac kb
a
Từ (1) và (2) suy ra x1 = kx2 hoặc x2 = kx1 2
kb k ac
Bài 14 Cho phương trình: 2 2
x m x m m
a) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm? Khi ấy, hãy tìm một hệ thức liên hệ độc lập giữa các nghiệm
b) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn: 2 2
1 2 5( 1 2 2)
x x x x
HD:
3
a) ĐK: m 3
Hệ thức độc lập là: 2
(x x ) 2(x x ) 8 0
Bài 15 Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 + 2mx + 4 = 0 Hãy tìm tất cả các giá trị của m để có đẳng thức:
HD:
Phương trình có hai nghiệm x1, x2 0 m2 - 4 0 m m22
Khi đó theo định lý Viet ta có: 1 2
1 2
2 4
x x
2 2
4
m
Bài 16 Hãy tìm tất cả các giá trị của m để phương trình bậc hai:
(m + 1)x2 - 2mx - m = 0
có hai nghiệm mà sắp xếp trên trục số, chúng đối xứng nhau qua điểm x = 1
HD:
ĐK:
1 2
1 0
0
1 2
m
x x
Trang 5
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT, BẬC HAI
1 Phương trình có ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
Bài 1 Giải các phương trình sau:
a) |2x - 3| = x – 5; b) |2x + 5| = |3x - 2|; c) |4x + 1| = x2 + 2x – 4; d) 3 1 | 3 |
2
x
x
x
; e) |x2 – 2x - 3| = x – 3 f) x2 + 4x - 3|x + 2| + 4 = 0; g) 6x2 - 4x - 7 + |3 - x| = 0; h) |2x2 + 3x - 1| = 3 + x;
Giải:
Cách 1: Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để phá dấu giá trị tuyệt đối.
|2x - 3| = x – 5
Nếu 2x – 3 0 x 3/2 thì ta có phương trình: 2x – 3 = x – 5 x = -2 (loại)
Nếu 2x – 3 < 0 x < 3/2 thì ta có phương trình : -2x + 3 = x - 5 3x = 8 x = 8/3 (loại) Vậy phương trình vô nghiệm
Cách 2: Bình phương hai vế ta được phương trình hệ quả:
|2x - 3| = x – 5 (2x - 3)2 = (x - 5)2 4x2 - 12x + 9 = x2 - 10x + 25 3x2 - 2x - 16 = 0
Bài 2 Giải các phương trình sau:
a) |x2 + x - 1| = 2x - 1; b) |x2 + 2x - 4| + 2x + 6 = 0;
c) |x2 - 20x - 9| = |3x2 + 10x + 21|; d) |x2 - 2x - 3| = x2 - 2x + 5;
e) |2x - 3| = |x - 1|; f) |x2 - 2x - 3| = 2
g) |3x - 2| +x2 - 5x + 6 = 0;
1 Phương trình có ẩn trong dấu căn.
* Dạng: f x( ) g x( )
Cách giải:
Cách1: ( ) ( ) ( ) 0 2
g x
f x g x
f x g x
Cách: f x( ) g x( ) f x( ) [g x( )] 2
Bài 2 Giải các phương trình sau:
a) 4x 9 2 x 5; b) x2 7x 10 3 x 1; c) 3x 4 x 3;
d) x2 2x 3 2x 1; e) x2 6x 9 | 2 x 1|; f) 3x2 6x 2 4 x 3 0;
Giải:
2
2
5
5 2
2 2
2
x
x x
x
Bài 3 Giải các phương trình sau:
Trang 62 2
6
3 3
2
x
* Phương trình dạng: f x( ) g x( )
Cách giải:
( ) 0
( ) 0
f x
f x g x
f x g x
g x
f x g x
f x g x
hoÆc
Ví dụ Giải phương trình:
a) 2x2 5x x2 4; b) 3x2 4x 4 x 5; c) 2x2 3x 4 7x 2
HD:
a)
2
2
2 2
2
4 0
2
1
4
x x
x x
x
x
x
*Phương trình dạng: f x( ) g x( ) a
Cách giải: ĐK: g x f x( ) 0( ) 0
f x g x a f x g x f x g x a f x g x a f x g x
Ta được phương trình dạng f x( ) g x( )
Bài tập Giải các phương trình sau:
c) 2x 9 4 x 3x 1; d) 4 1 4 2 1 1
e) x 8 5x 20 2 0; f) 3x 3 5 x 2x 4;
g) 3x 1 8 x 1; h) 3x 4 x 4 2 x;
i) x 3 7 x 2x 8;