Ứng dụng biểu thức liên hợp để giải một số dạng toán về căn thức Trong các kì thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10 nếu chúng ta vận dụng kiến thức về biểu thức liên hợp một cách hợp lí và[r]
Trang 1Trong các kì thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10 nếu chúng ta vận dụng kiến thức
về biểu thức liên hợp một cách hợp lí và sáng tạo sẽ giúp giải được nhiều bài toán hay
và khó về căn thức
Dạng 1: Ứng dụng biểu thức liên hợp để tính giá trị của biểu thức
⍟Ví dụ 1 Tính giá trị của biểu thức sau: A = 8 40 8 5 8 40 8 5
Giải Ta có:
2
2
A 8 40 8 5 8 40 8 5 2 (8 40 8 5 )(8 40 8 5 )
16 2 8 (40 8 5) 16 2 24 8 5 16 2 (2 2 5)
16 2(2 5 2) 12 4 5 2(6 2 5) 2( 5 1)
A = ( 5 1) 2
(vì A > 0)
⍟Ví dụ 2 Tính giá trị của biểu thức sau:
B 1 1 1
Giải Ta có :
k + 1 k ,
k k 1 k k 1 k + 1 k
Áp dụng đẳng thức trên với k = 1, 2, ,2014 ta được
B 2 1 3 2 2015 2014
2015 1
x x 2015 y y 2015 2015.Tính giá trị của biểu thức:
2015 2015
2016 2016
P
Giải:
Nhân cả hai vế của đẳng thức đã cho với x x2 2015 ta được
x 2015 x x x 2015 y y 2015 2015 x 2015 x
x 2015 x y y 2015 2015 x 2015 x
Tương tự như vậy, ta có: 2 2
x x 2015 y 2015y (2)
Trang 2Cộng vế với vế (1) và (2) , rồi rút gọn ta được:
x + y = – (x + y) x + y = 0 x = – y
Vậy
2015 2015 2015 2015
2016 2016 2016 2016 2016 2016
Dạng 2: Ứng dụng biểu thức liên hợp để rút gọn biểu thức
⍟Ví dụ 4 : Rút gọn biểu thức A 1 2 3
Giải Ta có
2
A 2 3 2 3 2 (2 3)(2 3) 4 2 2
A 2 (vì A 0)
Cách khác: Ta có
A 2 (vì A 0)
⍟Ví dụ 5 : Rút gọn biểu thức 2
2
B
Giải ● Trường hợp x = 5: Với x = 5 ta được
2 2
5 3 2 5 9
●Trường hợp x ≠ 5 : Với x ≠ 5 Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu ta được
B
(4x 12 x 3) x 9 3(x 5) x 9 x 9
(x 3)(4x 12 x 3) 3(x 5)(x 3) x 3
Ta thấy với x = 5 biểu thức
2
x 9
x 3
cũng có kết quả bằng 5 nên trong cả hai trường hợp x = 5 và x ≠ 5 cùng có chung đáp số là x2 9
x 3
Vậy B =
2
x 9
x 3
Trang 3Dạng 3: Ứng dụng biểu thức liên hợp để chứng minh bất đẳng thức.
Chứng minh : A 30
31 Giải Ta có
k 1 (k 1) k k k 1 k(k 1)( k k 1) k(k 1) k k 1
Áp dụng đẳng thức trên với k =1,2, , 924, ta được
31 31
Vậy A30
31
⍟Ví dụ 7 Cho các số thực dương a,b Chứng minh bất đẳng thức sau :
3a 2ab 3b 2 2(a b )
a b
Giải:
Ta có
2 2
2 2
2(a b ) (a b) 2(a b ) (a b) 2(a b ) (a b)
2(a b ) (a b) 2(a b ) (a b) (a b) 2(a b ) (a b) 2(a b ) a b
Do đó
a b
a b
(a
Bất đẳng thức cuối đúng do a, b là các số dương, nên bất đẳng thức đã cho đúng
Trang 4Dạng 4: Ứng dụng biểu thức liên hợp để giải phương trình, bất phương trình vơ tỷ
⍟Ví dụ 8: Giải phương trình 2x 5 6 x 2x x 11 0 2 (1)
Giải: Điều kiện 5 x 6
2 Phương trình (1) 2x 5 3 2 6 x 2x 2 x 10 0
2
2
2x 5 3 2 6 x 2x x 10 0
( 2x 5 3)( 2x 5 3) (2 6 x )(2 6 x ) 2x x 10 0
2(x 2) x 2 (x 2)(2x 5) 0
2x 5 3 2 6 x
2x 5 3 2 6 x
x 2 0 (vì 2x 5 0 với mọi x 6)
5 2x 5 3 2 6 x
x = 2 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình cĩ nghiệm duy nhất là x = 2
⍟Ví dụ 9: Giải phương trình 4(x 1) (2x 10) 1 2 2x 3 2 (2)
Giải Điều kiện x 3
2
2 4(x 1) 1 2x 3 (2x 10) 1 2x 3 1 2x 3
2
2
2
2 2
2
2
x 1
x 3
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình cĩ hai nghiệm x = – 1 và x = 3
Trang 5⍟Ví dụ 10: Giải phương trình sau: x 3x 3 3x 5 1 3x3 2 3 (3)
Giải:
Phương trình (3) tương đương với phương trình
3 2 2
2
x 3x 4 3(x 1 3 3x 5) 0
3(x 3x 4)
(x 1) (x 1) 3x 5 (3x 5)
3
(x 1) (x 1) 3x 5 (3x 5)
Vì
2
3
Dấu " =" xảy ra
3
3
x 1 0
3x 5 0 x
( Vô lí )
Do đó dấu" =" không thể xảy ra nghĩa là (x 1) 2 (x 1) 3x 53 3(3x 5) 2 0 x R
Suy ra
3
(x 1) (x 1) 3x 5 (3x 5)
Nên phương trình (*) ⇔(x – 1)(x+2) = 0 ⇔ x =1 hoặc x= – 2
Vậy phương trình có hai nghiệm là x= 1; x= – 2
⍟Ví dụ 11: Giải phương trình: 5x 1 7x 8 4x 3 6x 6 (4)
Giải:
Điều kiện: x 8
7
Phương trình (4) tương đương với phương trình sau
5x 1 7x 8 4x 3 6x 6
5x 1 4x 3 7x 8 6x 6 0
5x 1 4x 3 5x 1 4x 3 7x 8 6x 6 7x 8 6x 6
0
5x 1 4x 3 7x 8 6x 6
0 5x 1 4x 3 7x 8 6x 6
0 5x 1 4x 3 7x 8 6x 6
Trang 61 1
7
⇔ x = 2 (Thỏa mãn điều kiện)
Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình đã cho
Ví dụ 12 Giải bất phương trình sau
2 2
9x 5x 12
2 4 3x
(4)
Giải Điều kiện x 4
3
Bất phương trình (3)
2 2
4 3x 2
2
2 2
4 3x 4
4 3x 2 4 3x 2
4 3x 2 5x 12 4 3x 2 4 3x 4 5x 12
4 3x x 2 4 3x x 4x 4
x x 0 x(x 1) 0
x 1 0
(vì x 1 x) 1 x 0
x 0
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là – 1< x < 0
Dạng 5: Giải hệ phương trình vô tỷ
⍟Ví dụ 13 Giải hệ phương trình sau: x 1 y 7 4 (1)
y 1 x 7 4 (2)
Giải: Điều kiện x ≥ 7; y ≥ 7 Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra
x 1 x 7 y 1 y 7
( y 1 y 7)( y 1 y 7) ( x 1 x 7)( x 1 x 7)
x 1 x 7 y 1 y 7
x 1 x 7 y 1 y 7
● Nếu x > y ≥ 7 thì x 1 x 7 y 1 y 7
● Nếu 7 ≤ x < y thì x 1 x 7 y 1 y 7
Vậy x = y Thay vào phương trình (1) ta được
Trang 72 2
x 11 (x 1)(x 7) 11 x
x 6x 7 121 22x x
⇔ x = 8 (Thỏa mãn điều kiện).Vậy hệ có nghiệm (x; y) =(8; 8)
⍟Ví dụ 14 Giải hệ phương trình sau:
2x 3 x 2x 2y 1 y 2y (1)
x 2 y 1 3 (2)
Giải: Điều kiện x ≥ 2 ; y ≥ 1
2x+3 2y 1 x 2x y 2y 0
2x+3 2y 1 x 2x y 2y 0
2x+3 2y 1 2x+3 2y 1
(x xy 2x) (xy y 2y) 0 2x+3 2y 1
2(x y 2)
x(x y 2) y(x y 2) 0 2x+3 2y 1
2
2x+3 2y 1
Vì x ≥ 2 ; y ≥ 1 nên 2 x y 0
2x+3 2y 1
Do đó (*) ⇔x y 2 0 y x 2 Thế vào (2) ta được :
2 2
x 2 x 1 3 2x 1 2 x x 2 9
x x 2 5 x
9x 27
x x 2 (5 x)
3
x
y = 5 (Thỏa mãn điều kiện )
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y) = (3; 5)
BÀI TẬP
Bài 1 : Chứng minh rằng
2003 3( 1 2) 5( 2 3) 4003( 2001 2002)
44
Trang 8Bài 2: Với mọi số nguyên dương n, chứng minh rằng
2
n
2
Bài 3: Cho f(x) =(x3 + 6x – 5)2006 Tính f(a) với a 3 3 17 33 7
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a) 3x 2 (x 6) 3x 2 4 b) 6 8 6
3 x 2 x c) ( x 5 x 2)(1 x2 7x 10) 3 d) 2 2
12 5 3 5
e) 3 5x2 3x 1 3 2x2 5 3 x2 2x 3 2x2 5x 4
Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau:
49 20 6 49 20 6 7 4 3
b) B a b c 2 ac bc a b c 2 ac bc
e)
2
Bài 6: Giải các bất phương trình sau:
2x 1 1 b)
2
5x 6 7 x 5x 4x 19 0
c) 2x 4 2 2 x 12x 82
9x 16
Bài 7: Cho các số thực dương a, b Chứng minh bất đẳng thức
2 2
Bài 8: a) Chứng minh rằng : 1
n
b) Áp dụng : Cho A 1 1 1 1
Chứng minh rằng 98 < A < 99
Trang 9Bài 9: Giải các hệ phương trình
a) x 5 y 2 7
b) 2 2
3x 15y 2 y 5x 1 2
Bài 10 So sánh
a) 2006 2005 và 2005 2004
b) n nm và n 1 n m 1 với m, n ∊ N*
Bài 11 Tìm n ∊ N sao cho :
Bài 12 Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện:
x2 2004 x 2005x2 y2 2004 y 2005y2
Chứng minh x = y