rong các đẻ thi học sinh giỏi THCS cũng như đề thi vào lớp 10 THPT, thường có bài về phương trình và hệ phương trình vô tỉ.. Việc sử dụng biểu thức liên hợp cho các bài toán này nhiều kh
Trang 1
rong các đẻ thi học sinh giỏi THCS
cũng như đề thi vào lớp 10 THPT,
thường có bài về phương trình và hệ
phương trình vô tỉ Việc sử dụng biểu thức
liên hợp cho các bài toán này nhiều khi cho ta
kết quả nhanh chóng
Trước hết ta nhắc lại một số công thức sau:
TT | Biểu thức | Biểu thức liên hợp| Tích
“|ŸA+WB |ŸA?-VAB+VB | 4+8
3 va - VB Yar + AB+i/B2 A-8
Dưới đây là một số thí dụ mình hoa
*Thí dụ 1 Giải PT §2x-3-Vx =2x-6
Lời giái Điều kiện về: Khi do PT da cho
tương đương với
(J2x-3-vx)(J2x-3+x)
\2x-3+vx
© -= —~==2(x—3)
V2x-34+vx
© hoặc x = 3 (thoa min) hoac
|
3
Từ ĐKx>~> Ì suy ra 2-—————›o
J2x-3+Vx
2—
Do đó PT (1) vô nghiệm
Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất x = 3
Thí dụ 2 Giải PT - + 9x +20 =2V3x+10
Lời giải Điều kiện vền Khi đó PT đã
2(V3x+10~I(V3x+10+I)
3 6)=
(+204 +6) V¥3x+10+41
6(x+3)
3 6)=—
S(xr2Nx+6) V3x+1041
© hoac x = —3 (thoa man) hoac
6
6
® Với x>— 3 thÌ -—————<3 và y + 6 > 3,
V3x+104]
nên PT (1) vô nghiệm
x+6-
® Với ——Šx<~-3, tơng lự có ————— >3
và x + 6 < 3 nên PT (1) vô nghiệm
Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất x = -3 Thí dụ 3 Giải PT |3241245=3x+Í32+5 (®)
Lời gidi, Ta có
(*)©>x2+l2-4=3(x-2)+(x2+5—3)
(W#a15-4(V2312+4)
=
Vix? +1244 (vx? +5~3)( Vx? +543)
V¥x74+5+3
©—-—— =Ì(t-2)+—————
© hoặc x = 2 (thoả mãn) hoặc
=3(x-2)+
Vx2+1244 Vx24+543
Do Vx? 4+12>Vx2+5, tit (*) suy ra 3v > 5,
dân đến x + 2 > 0, từ đó suy ra
Trang 2
x+2 3 x+2 <0
\jx+l2+4 VXx'+§+3
nên PT (1) vô nghiệm Vậy x = 2 là nghiệm
duy nhất của phương trình (*),
Thí dụ 4 Giải PT 2x2—IIx+21=Ÿ4x-4
Lời gidi PT đã cho tương đương với
(x-3)(2x-5) =
34/4x-4—2)(J(4x-4)? +2Ÿ4x-4+4)
3J(4x—4)? +2Ÿ4x-4+4
12(x-3) 1(4x-4)? +2Ÿ4x-4+4
12
/?+2t+4
c»(x-3){2x—8)=
© hoặc x = 3 hoặc 2x~Š— =0 (1)
với t= Yax—4
® Với x > 3 thì 2: - Š > Ì và
suy ra PT (1) vô nghiệm
e Với x < 3, thì 2x — 5 < Ì và
suy ra PT (L) vô nghiệm
12
< |,
t?+2¢+4
12
5 >I, P+2¢+4
Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất x= 3
6x—4
x 244
—
*% Thí dụ 5 Giải PT J2x+4—-2N2—x=
Lời giải Điều kiện —2 < x < 2 Khi đó PT đã
cho tương đương với
(J2x+4-2\2-xÌ(J 2x+4 +22~x) _ 2(3x-2)
os 2(3x-2) | _23x-2) e> hoặc x =”,
2x+4+2j2-x Vx 44
Bình phương hai về của (1) ta được
4.J2(2+x)(2—x)+(2-x)(x+4)=0
©2-x(4jJ22+x)*(x+4)J2-x)=0 @)
Dễ thấy 4/2(2+x)+(x+4)V2-x>0 với
-2<x<2, do đó từ (2) suy ra x = 2 (thoả mãn) Vậy PT đã cho có hai nghiệm tr hoặc x=2
Jx+I+jy~2=3 (I) {ytl+vx-2=3 (2)
Loi gidi Diéu kién x 2 2 va y > 2 Tu HPT da
cho ta suy ra’
Ýx+I-ýx-2=-jy+l—.|y~2 c„ (Vx+]-ýx- 2)(\|x+l+Vx-2})
x+l+x~2
_- (y*I-jy-2(Qy+lt}y—2)
dvnsj2
Từ đó có /x+I+x-2=\jy+l+y-2
Nếu x > y > 2 thì Jx+l+\{x-2>|y+Í+|y-2;
Néu2<x<ythi vx+l +/x-2 <jy+I +jy-2
Thí dụ 6 Giải HPT
Do đó x = y Thay vào PT (I) ta được
\xz+l+x~2=3 ©.j(x+1x-2)=5—x (3)
Bình phương hai vế của (3), giải ra được x = 3
(thoả mãn)
Vậy hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (3: 3)
+t aes =2 (1)
eyes =2 (2)
Lời giải Điều kiện x > ~ y > 0 Ti hé da cho
*Thí dụ 7 Giải HPT
a
t vx Ý y dy
24 -— |] J24~+-—=
Cire arse
1 4 2+—+—
x vx