Dùng biểu thức liên hợp để giải phương trình chứa dấu căn

[r]

PHƯƠNG PHÁP DÙNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP

Ví dụ1: Giải phương trình 3x 1 6 x3x214x 8 0

(Nhận xét: ta tìm số làm cho cả hai biểu thức dưới căn chính phương và là nghiệm , x=

5 là nghiệm nên ta đưa PT về dạng (x-5) Q(x) )

Giải:

Điều kiện :

1

6



 

2

3x 1 6 x3x 14x 8 0  ( 3x 1 4) (1  6 x) 3 x214x 5 0



Với

1

6



 

thì

Vậy phương trình có nghiệm x = 5

Ví dụ2: Giải phương trình 2x 1 x  2 3x 1 0 

Giải:

(Phân tích: Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của PT nên ta biến đổi đưa PT về dạng (x-1).f(x) =0 như sau.)

ĐK :

1

x

2



2

2x 1 x   3x 1 0 



x 1

2 x 1

x 2 0 2x 1 1

2x 1 1

 Giải(*)

Đặt t  2x 1 0  ta có PT: t2 +2t-1=0 Giải được t 2 1  x 2  2

Vậy PT đã cho có hai nghiệm : x = 1 ; x 2  2

Ví dụ3: Giải phương trình 3 2(  x 2 )2x x 6

Giải:

(Phân tích: Nhận thấy x = 3 là một nghiệm của PT nên ta biến đổi đưa PT về dạng (x-3).f(x) =0 như

sau.)

ĐK x  2

3 2(  x 2 )2x x 6

 

8 x 3

x 6 3 x 2

x 3





Ví dụ4: Giải phương trình :

2 2



 Giải:

(Phân tích: Nhận thấy x =

1

2 là một nghiệm của PT nên ta biến đổi đưa PT về dạng (1-2x).f(x) =0 như

sau.)

Đ K: 0< x  1

2 2



2

1 2x 0

0

(*)





Với 0< x  1 thì (*) vô nghiệm

Vậy PT đã cho có 1 nghiệm x =

1 2

Ví dụ5: Giải phương trình 9 4x 1  3x 2   x 3

Giải:

(Phân tích: Nhận thấy x = 6 là một nghiệm của PT nên ta biến đổi đưa PT về dạng (x-6).f(x) =0 như

sau.)

ĐK:

2

x

3



x 6

0

(*)



Với

2

x

3



chứng minh (*) vô nghiệm

Vậy PT đã cho có một nghiệm x= 6

Ví dụ6: Giải phương trình x212 5 3x   x25

Giải:

(Phân tích: Nhận thấy x = 2 là một nghiệm của PT nên ta biến đổi đưa PT về dạng (x-2).f(x) =0 như

sau.)

x 12 5 3x   x  5 x 12 x  5 3x 5 Vì VT > 0 nên ĐK : 3x-5 > 0  x >

5 3 Phương trình tương đương với :

x 2

Ví dụ7: Giải phương trình 3 x21 x  x31

Giải:

(Phân tích: Nhận thấy x = 3 là một nghiệm của PT nên ta biến đổi đưa PT về dạng (x-3).f(x) =0 như

sau.)

ĐK : x3 2

2

x 3 1

Ta chứng minh được:

2 2

Vậy PT có nghiệm duy nhất x = 3

Ví dụ8: Giải phương trình x 2  4 x 2x2 5x 1

Giải:

(Phân tích: Nhận thấy x = 3 là một nghiệm của PT nên ta biến đổi đưa PT về dạng (x-3).f(x) =0 như

sau.)

ĐK: 2  x  4

x 3 2x 1

Nhận xét:

1 1 1 1 1

x  4

Vậy PT chỉ có nghiệm x = 3

Ví dụ9: Giải phương trình 3 x 2 3 x 1 3 2x2 32x21

Giải:

( Phân tích : VP  1  VT  1  x  -1 Nhận thấy nếu 2x 2 = x+1 thì hai vế PT bằng nhau gợi cho

ta nghĩ đến việc phân tích ra thừa số chung 2x 2 – x -1)

2

0

0

(*)











Dể nhận ra (*) vô nghiệm với x  -1

Vậy PT có nghiệm : x= -1 ;

1 x 2





Ví dụ10: Giải phương trình 3 x 24  12 x 6

Giải:

ĐK : x  12

3 2

3

3 2 3

0

12 x 3

x 3

 



Thay 6 = 3 x 24  12 x vào (*) Ta được 3(x 24 )2 4 x 24 03    x = -24; x = -88

Vậy PT đã cho có 3 nghiệm + x = 3 ;x = -24; x = -88

Ví dụ11: Giải phương trình 1

1−√1 − x −

1 1+√1+x=

x

Giải:

Điều kiện :

1 − x ≥0 1+ x ≥ 0

1 −√1 − x ≠ 0

x ≠ 0

⇔− 1≤ x≤ 1 , x ≠ 0

¿{ { {

¿

¿ Phương trình đã cho tương đương với :

⇔(1 − x)(2 − x)=(1− x )√3 x − 2

⇔ 4 (1− x)=3 ⇔ x =1

4 ( nhận)

Một số phương trình căn thức giải được nhờ vào sự quan sát tinh tế, lựa chọn hợp lý các biểu thức liên hợp trong mỗi phương trình Ta xét các ví dụ sau.

Ví dụ11: Giải phương trình :  1 x 1    1 x 2x 5    x

Giải:

ĐK : x  -1

Ta có x = 0 không phải là nghiệm của phương trình Ta nhân hai vế PT với : 1 x 1  ta được PT:

Ví dụ12: Giải phương trình 2x23x 5  2x2 3x 5 3x 

Giải:

Vì VT > 0  ĐK x >0

Nhân hai vế PT đã cho với : 2x23x 5  2x2 3x 5 0 

Ta được PT:

Cộng hai vế PT đã cho với PT (*) ta được PT:

2

2 2x 3x 5 2 3x    x 4

Thử lại thấy x = 4 là nghiệm

Ví dụ13: Giải phương trình 2x 3  x 2x 6

Giải :

ĐK:

3 x

2



 

1

Vì :

1

Nên PT có nghiệm x = 3

Ví dụ14: Giải phương trình 2x211x 21 3 4x 4  3 

Giải:

   

3 2

3 2 3

2

12

x 3 2x 5

Với t = 34x 4

Khi x > 3 thì 2x – 5 > 1 , khi đó 2

12

1

t 2t 4   PT vô nghiệm khi x >3 Khi x < 3 chứng minh tương tự

Vậy PT có nghiệm x =3

6x 4 2x 4 2 2 x





Giải:

ĐK:2 x 2 

2

2 3x 2

2x 4 2 2 x

2x 4 2 2 x

x 3

(*)



 



x 2

Vậy PT đã cho có hai nghiệm x=2; x = 3

Ví dụ16: Giải phương trình x29x 20 2 3x 10  

Giải: ĐK :

10 x

3





3x 10 1

6

3x 10 1

3x 10 1



Khi x  -3 thì x+6 > 3 và

3 3x 10 1   1 1   PT (*)vô nghiệm

Tương tự

10

3



  

thì PT (*) cũng vô nghiệm

Vậy PT có một nghiệm x = -3

Ví dụ16:Giải phương trình x 1  x 1  2 x x2 2

Giải:

ĐK : -1  x  2

x 0

(*)







Giải (*)





Vậy PT đã cho có hai nghiệm : x = 0 ; x =1

Bài tập tương tự:

Giải các phương trình sau:

√x +√x2−1+

1

√x −√x2−1=√2(x3+1)

2.√4 x +1 −√3 x −2= x +3

5

3 2x1x2 3x 1 0

4.( 1 x 1)( 1 x 2x 5)x

2

2