2.Tìm toạ độ điểm B’ đối xứng với điểm B qua mpP.. 3.Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ACD.. II/ Phần tự chọn học sinh chọn một trong hai câu 4a hoặc câu 4b 2 điểm Câu 4a : Dành cho học
Trang 1Sở GD & ĐT Nam Định Đề thi cuối năm
Trờng THPT.A NH Năm học 2009 - 2010
Môn : Toán lớp 12
Thời gian làm bài : 150 phút
I/ Phần chung cho tất cả học sinh ( 8 điểm)
Câu 1 : Cho hàm số : y =
x
x
−
− 2
3
có đồ thị (C) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành do hình phẳng giới hạn bởi các đờng (C), x = -3, x = 1, y = 0 khi quay xung quanh trục ox
Câu 2 : Tính tích phân
1 I = dx
x
x x
∫
Π
4 0 3
cos
sin 2 J = dx
x
e x
∫
2 1
2
1 ( 1 )( 2 2)
1
Câu 3 : Trong không gian với hệ trục toạ độ oxyz cho bốn điểm A( 2;0;1),
B( 1;0;0), C(1;1;1), D(-5;-2;4) và mặt phẳng (P) : 2x + y -3z - 8 = 0
1.Viết phơng trình mặt cầu (S) tâm A, tiếp xúc với mp(P).Tính góc giữa hai đờng thẳng CA và BD
2.Tìm toạ độ điểm B’ đối xứng với điểm B qua mp(P)
3.Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ACD
II/ Phần tự chọn (học sinh chọn một trong hai câu 4a hoặc câu 4b ) (2 điểm)
Câu 4a : (Dành cho học sinh học chơng trình Cơ bản)
1.Với giả thiết nh câu 3, hãy viết phơng trình chính tắc của đờng thẳng a là hình chiếu của đờng thẳng AB trên mp(P)
2 Giải phơng trình trên tập số phức : (2 - iz)2 + (5 + 4i)z - 17 = 0
Câu 4b : (Dành cho học sinh học chơng trình Nâng cao).
1.Với giả thiết nh câu 3, hãy chứng minh hai đờng thẳng BA và CD chéo nhau, tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng đó Chứng minh đờng thẳng BC song song với mp(yoz)
2 Giải phơng trình trên tập số phức : z2 + (4 - i)z + 2 + 4i = 0
Hết
Trang 2Đáp án toán 12 Câu Nội dung chính Điểm
- TXĐ : x≠2
- y’ = ( 2 ) 2
1
x
−
−
< 0 nên hs nghịch biến trên (− ∞ ; 2 ), ( 2 ; +∞ )
- → −y =−∞ → + y=+∞
x
xlim 2 ; lim 2 nên đths có TCĐ là đt x = 2
-xlim→±∞y =−1 nên đths có TC ngang là đt y = - 1
- BBT x -∞ 2 +∞
y’
y -1 +∞
-∞ -1
- Tâm đối xứng của đt I(2;-1), (C) cắt oy tại (0; -3/2), cắt ox tại (3;0)
- Vẽ đúng dạng đồ thị y
x
0,25
0,25 0,25
0,25 0,5 0,25 0,25
x
dx x
3
2 1
1 1 2
3
∫
∫
−
−
− +
− Π
=
−
− Π
x x
∫
−
−
− +
Π1
3
2
2
2 2
1 1
−
−
2
1
x x
3
−
Π
=
+ +
5
24 5
ln 2 5
4
0,25 0,25
0,25 0,25
Đặt u = x ⇒ du = dx
dv = tanxd(tanx) v = 1/2tan2x
I = x.1/2tan2x 0 Π4
- ∫
Π
4 0
2
tan 2
1
xdx
x
∫
Π
−
0
cos
1 2
1
2
1 8
4 0
Π
=
4
2 4
1 2
1 8
− Π
=
−Π
− Π
0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 3Câu2.2 1đ
Đặt x = -t thì dx = - dt
−
5 , 0
2
5 , 0 5 , 0
2
5 , 0 5 , 0
2
dx e t
e
dt e t
e
dt
x
x t
t t
x x
e
dx e
x
x
∫
∫
−
5 , 0
2
5 , 0 5 , 0
1 2
1 1
- J =
x
x dx
x
+
=
−
+ +
∫
2 ln 2 4
1 2
1 2
1 2
4
1 0 , 5 5 , 0
2 1 2 1
−
- =
7
2 4 9 ln 4
2 1 2 2
1 2 2 ln 1 2 2
1 2 2 ln 2 4
+
−
−
− +
0,25 0,25
0,25 0,25
14
7 )
3 ( 1 2
8 3 0 2 2
2 2
− + +
−
− +
- MC (S) tâm A nên có PT là : (x -2)2 + y2 + (z -1)2 =
2 7
- CA= ( 1 ; − 1 ; 0 ),BD= ( − 6 ; − 2 ; 4 )
- Cos(CA,BD) =
7
1 56
2
0 2 6
.
= + +
−
=
BD CA
BD CA
0,25 0,25 0,25 0,25
-Pt đt d qua B và ⊥(P) có pt tham số là : x = 1 + 2t ; y = t ; z = -3t
-Gọi M = d∩(P),ta có 2(1 + 2t) + t + 9t -8 = 0 ⇔ t =
7
3
7
9
; 7
3
; 7 13
-vì B’ đối xứng với B qua (P) nên M là trung điểm của đoạn BB’ , từ đó tìm
7
18
; 7
6
; 7 19
0,25 0,5 0,25
-Gọi H là trực tâm của tam giác ACD thì H =(ACD)∩(Q)∩(R),trong đó
- mp(ACD) có cặp vtcp là AC = ( − 1 ; 1 ; 0 ),AD= ( − 7 ; − 2 ; 3 ) nên có vtpt là
) 3
; 1
; 1 ( ] ,
= AC AD
n , nên pt mp(ACD) là : x + y + 3z - 5 = 0 (1)
-mp(Q) qua D và ⊥ AC nên có vtpt là n Q = AC⇒ (Q) : -x + y -3 = 0 (2)
-mp(R) qua C và ⊥AD nên có vtpt là
n R = AD ⇒ (R): -7x -2y + 3z + 6 = 0 (3)
-Giải hệ PT (1) ; (2); (3) tìm đợc H
11
6
; 11
35
; 11 2
0,25 0,25 0,25 0,25
- đt a = (α)∩(P); trong đó (α) chứa đt AB và ⊥(P) nên nó có cặp vtcp là
(− 1 ; 0 ; − 1), =(2 ; 1 ; − 3)
AB nên vtpt của (α) là n= [AB,n p] = ( 1 ; − 5 ; − 1 )
Trang 4- đt a là tập hợp các điểm có toạ độ thoả mãn hệ x- 5y - z - 1 = 0
2x + y -3z - 8 = 0
-Đặt y = t, tìm đợc x = -5 + 16t ; z = -6 + 11t
- PT chính tắc của đt a là :
11
6 1
16
x
0,5
- Biến đổi pt về dạng : -z2 + 5z - 13 = 0
- Tính đợc ∆ = - 27 = 27i2
- Tìm đợc nghiệm của PT là : z =
2
27
0,5 0,25 0,25
- BA= ( 1 ; 0 ; 1 ),CD= ( − 6 ; − 3 ; 3 ),AC = ( − 1 ; 1 ; 0 )
- [BA,CD] = ( 3 ; − 9 ; − 3 ) ⇒ [BA,CD.]AC = − 3 − 9 + 0 = − 12 ≠ 0nên hai đờng thẳng
BA và CD chéo nhau
- d(BA,CD) =
11
4 99
12 9 81 9
12
=
= + +
−
-BC= ( 0 ; 1 ; 1 ) mp(yoz) có pt là x = 0 và có vtpt là i= ( 1 ; 0 ; 0 )
- ta có BC.i=0+0+0=0 và B ∉ mp(yoz) vì 1 ≠ 0 nên đt BC // mp(yoz)
0,5 0,25 0,25
-Tính đợc ∆ = (4 - i)2 - 4(2+ 4i) = 7 - 24i
- Gọi w = a +bi sao cho w2 = 7 - 24i ,ta có hệ pt a2 - b2 = 7
2ab = -24
- Giải hệ pt tìm đợc w1 = 4 - 3i ; w2 = - 4 + 3i
-Từ đó tìm đợc nghiệm của PT là : z1 = -i ; z2 = - 4 +2i
0,25
0,25 0,25 0,25 *) Ghi chú : các cách giải khác đúng, giám khảo cho điểm tơng đơng