cac dang he phuong trinh

Chơng III:Hệ Phơng trình 1Hệ hai ph ơng trình bậc hai ẩn-Định nghĩa :Cho hai phơng trình bậc nhất hai ẩn ax+by =c và a’x+b’y=c’.Khi đó ta có hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn -Nếu hai p

Chơng III:Hệ Phơng trình 1)Hệ hai ph ơng trình bậc hai ẩn

-Định nghĩa :Cho hai phơng trình bậc nhất hai ẩn ax+by =c và

a’x+b’y=c’.Khi đó ta có hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn

-Nếu hai phơng trình ấy không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm

2)Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đ ờng thẳng biểu diễn tập nghiệm

Phơng trình (1) đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d)

Phơng trình (2) đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d’)

-Nếu (d) cắt (d’) hệ có nghiệm duy nhất

-Nếu (d) song song với (d’) thì hệ vô nghiệm

a) Quy tắc thế: Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phơng trình thành hệphơng trình tơng đơng

+Bớc 1:Từ một phơng trình của hệ đã cho ta biểu diễn một ẩn kia rồi thế

vào phơng trình thứ hai dể đợc một phơng trình mới ( chỉ có một ẩn

+ Bớc 2: Dùng phơng trình mới ấy thay thế cho một trong hai phơng trình

của hệ( và giữ nguyên phơng trình kia )

L

u ý: Khi các hệ của cùng một ẩn đối nhau( hoặc bằng nhau) thì ta cộng( hoặc trừ) hai vế của hệ Khi hệ của cùng một ẩn không bằng nhau cũngkhông đối nhau thì ta chọn nhân với một số thích hợp để đa về hệ số củacùng một ẩn đối nhau hoặc bằng nhau

b Giaỷi vaứ bieọn luaọn phửụng trỡnh : Quy trỡnh giaỷi vaứ bieọn luaọn

Bửụực 1: Tớnh caực ủũnh thửực :

1 2 2 1 2

2

1

1

b a b a b

2

1

1

b c b c b

2

1

1

c a c a c

a

c

a

D y = = − (goùi laứ ủũnh thửực cuỷa y)

Bửụực 2: Bieọn luaọn

D x

y x

Nếu D = 0 và D x ≠ 0 hoặc D y ≠ 0 thì hệ vô nghiệm

Nếu D = Dx = Dy = 0 thì hệ có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm

Ý nghĩa hình học: Giả sử (d1) là đường thẳng a1x + b1y = c1

(d2) là đường thẳng a2x + b2y = c2

Bµi 1:Giải các hệ phương trình sau:

 − =

 2x y 3

1yx

5yx2

3y2x

15yx

1y3x8

3y2x2

=

− 6 3

1 2 7

y x

y x

0 2

3

y x

y x

8 2

y x

y x

1 3

1 3

2

2

y x

y x

Bµi 2: Giải các hệ phương trình sau:

+

5 2 6

y

2

x

5 3 y

=

−

6 2 y

3

2

2 y 3 2





3 12

0 2x y x y

2

2

2 2

= + +

7 , 1 1 3

2 5 2

y x x

y x x

2 2 3

6

5 1

1 2 1

y x

y x

3 4

1 2

1 1

y x

y x

Bµi 2:Giải các hệ phương trình sau:

2 12

0 2

Loại 5:Hệ ph ơng trình có vế trái đẳng cấp với x,y vế phải

Khi ủoự ta coự theồ tieỏn haứnh caựch giaỷi nhử sau:

Bửụực 1: Kieồm tra xem (x,0) coự phaỷi laứ nghieọm cuỷa heọ hay khoõng ?

Bửụực 2: Vụựi y≠0 ta ủaởt x = ty Thay vaứo heọ ta ủửụùc heọ mụựi chửựa 2 aồn t,y Tửứ

2 phửụng trỡnh ta khửỷ y ủeồ ủửụùc 1 phửụng trỡnh chửựa t

Bửụực 3: Giaỷi phửụng trỡnh tỡm t roài suy ra x,y.

Bài 1:Giải cỏc hệ phương trỡnh sau:

56 2

6

2 2

2 2

y xy x

y xy x

−

023

13

2

2 2

2 2

y xy x

y xy x





 + + =

=++

112

3

173

2

2 2

2 2

y xy x

y xy x

0675

2 2

2 2

y xy x

y xy x

1 1

2

2

y x

−

−+

=

−+

0)2(6)4

(5)2(

32

12

2 2

2

y x

y x y x

Bài 2: Cho hệ phương trỡnh :





 − − + − =

=+++

−

02

)13(

07)

52(

2 2

2 2

m m x m x

m m

x m x

054

032

2 x x m mx

Bài 4: Cho hệ phương trỡnh :

xy y

2 2

2

443

a Giải hệ phương trỡnh khi k = 1

b CMR hệ cú nghiệm với mọi giỏ trị của k

b Giải và biện luận hệ phơng trình

Bài 6 : (ĐH An Ninh – Khối A - 2000) Tìm a để hệ sau có nghiệm

Loai 6: Hệ ph ơng trình đối xứng loại 1

a.ẹũnh nghúa: ẹoự laứ heọ chửựa hai aồn x,y maứ khi ta thay ủoồi vai troứ x,y cho nhau

thỡ heọ phửụng trỡnh khoõng thay ủoồi.

X −SX P+ = ( ủũnh lyự Vieựt ủaỷo ).

Bài 1 : Giải cỏc hệ phương trỡnh sau:

7 13

Ngạn ngữ Nga

5

+

=

+

0 9 2

= + 35

30

3 3

2 2

y x

xy y x

= +

= +

4

4

xy y x

y x

= + 2

34

4 4

y x

y x

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

+

5 )

1 1

)(

(

49 )

1 1 )(

xy y

x

y x y

+

= + + +

4 1 1

4 1 1

2 2 2

2

y x y

x

y x y

1 7

78

xy x

y y

x

xy y xy

11

28 ) ( 3

+

7 21

2

2

2 2 4

4

xy y

x

y x y

4

280 ) )(

y x

y x y x

30 35

x y y x

y y x x

6 20

2 2

x y y x

x y y x

− +

+

= +

− +

y x x x

xy x

x y y y

xy y

9 2 2

−

2 2

2

2 2

) ( 19

) ( 7

y x y

xy x

y x y

xy x

y x y y x

y x

y x

4 ) ( 1

) 2 )(

1 (

2 9

y

x xy

x

y xy

−

= + + +

4 5

4

5 ) 2 1 (

2 3

2

2 4

xy xy y x y

x

x xy

12 ) ( )

(

6 )

(

3 2

2

y

x y

x

xy xy

3 8 9 2 3

2 2

2 2

y x y

x

y x y x

2 2

y xy x xy y x

+

822

3

3 y x

xy y x

9)2)(

2(

64

2

y x x

x

y x x

y y x x y x

33

1

3 3

6 6

2 4 3 3

y x

y x

3 4 1 1

xy y x

y x

Bài 3: Giải và biện luận hệ phương trình :

a x

y y x

)1(24)(

2 2 2

m y

x y x

a.Giải hệ phương trình sau với m = 1

b.Tìm m để hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt

x m y y

y m x x

2 2

a.Giải hệ phương trình sau với m = 0

b.Tìm m để hệ phương trình có nghiệm, có nghiệm duy nhất

Bài 6: Cho hệ phương trình:

21

2 2 2

m y xy x

m xy y x

a Giải hệ phương trình với m = -3

) 1 ( ) 1 (

2

2

y m x xy

x m y xy

a Giải hệ phương trình với m = -1

1 3 1

x y

m y

y x x

Bài 9: Cho hệ phương trình :

m y x

m xy y x

a Giải hệ phương trình với m = 4

b.Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

Bài 10: Chứng tỏ rằng với mọi giá trị của tham số m thì hệ phương trình

sau luôn có nghiệm và hãy xác định m để hệ có nghiệm duy nhất

12)

m y xy x

m m y x xy

Bài 11: Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm :

m xy y x

xy y

x

144)(5

Bài 12 Cho hệ phương trình :

1 ) 1 (

1 1

2

2 y m x y x

xy y x

a Giải hệ phương trình với m = 0

1

2 2

m y xy x

m xy y x

có ít nhất một

nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0 và y > 0

Bài 14 : Giả sử x, y là nghiệm của hệ phương trình Tìm a để P = xy nhỏ

=+

12

32

2 2 2

a xy x

a a y x

Bài 15: Tìm a đề hệ phương trình có đúng 2 nghiệm

)1(24)(

2 2 2

a y

x y x

Bài 16: Cho hệ phương trình:

+

311

11

11

y x

m x

y x

y y x

a Giải hệ phương trình với m = 6

b Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm

Bài 17: Cho hệ phương trình :

m y x

m y

a Giải hệ phương trình với m = 1

b.Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

c Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

d Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt

b Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất

Bài 20 : Vụựi giaự trũ naứo cuỷa m thỡ heọ phửụng trỡnh sau coự nghieọm:

=

+

m y

Bài 21 : Vụựi giaự trũ naứo cuỷa m thỡ heọ phửụng trỡnh sau coự nghieọm:

Loại 7: Hệ ph ơng trình đối xứng loại 2

a.ẹũnh nghúa: ẹoự laứ heọ chửựa hai aồn x,y maứ khi ta thay ủoồi vai troứ x,y cho nhau

thỡ phửụng trỡnh naày trụỷ thaứnh phửụng trỡnh kia cuỷa heọ.

b Caựch giaỷi:

• Trửứ veỏ vụựi veỏ hai phửụng trỡnh vaứ bieỏn ủoồi veà daùng phửụng trỡnh tớch soỏ.

• Keỏt hụùp moọt phửụng trỡnh tớch soỏ vụựi moọt phửụng trỡnh cuỷa heọ ủeồ suy ra nghieọm cuỷa heọ

2 2

5 5

2 2

2 1

.

y x

y c

x y

= +

y xy y

x xy x

3 2

3 2

1 3

2 3

2 3

y

x x x

y y

x y

y

83

83

y

x x y

43

43

=+

x y x

y x y

312

312

2 2

23

23

x y

11

=

− +

0 7

0 7

2 3

2 3

x

a y x

y

a x y

CMR: Hệ có nghiệm duy nhất khi a>0, điều đó có đúng không khi a<0 ?

Bài 19: Chứng minh rằng với a khác 0 hệ có nghiệm duy nhất

x

a x y

2 2

2 2

2

2

Bài 20: Cho hệ phương trình :

m y x y

m y x x

2)(

2)(

2

2

a Giải hệ phương trỡnh khi m = 0

b Tỡm m để hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất Tỡm nghiệm duy nhất đú

Bài 21: Xỏc định cỏc giỏ trị õm của a để hệ phương trỡnh cú nghiệm duy

2 2

2 2

y a y x

x a xy

Bài 22: Chứng minh hệ phương trỡnh sau cú 3 nghiệm

2 2

11

11

y

y x

x

x y

Bài 23: Cho hệ phương trỡnh:





=+

m mtgy x

m x m y tg

2 2

2 3

y a x

x a y

17 : Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

2 2

Ngạn ngữ Nga

a Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm

b Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất

Bài 18 : Giải và biện luận hệ phơng trình

2

2

2 2





o)

2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1

x y x y z y z x z

2 2 2

3 2 2

2 2

1 1 1

x y

y x

= + +

y y x x

y x

2 2

=

−

−

0 4 4

3 2 5

2

2 2

xy y

y xy x

3 2 2

2 2

1 1 1

x y

y x

x y

1

3 1

3

x x

x x

1 7

Bài 26 : Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm

IV Caực heọ phửụng trỡnh khaực:

Ta coự theồ sửỷ duùng caực phửụng phaựp sau:

a ẹaởt aồn phuù:

Vớ duù : Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh :

− +

−

= +

36 ) 1 ( ) 1 (

12

2 2

y y x x

y x y x

3)

5 6

x 1 y(y x) 4y (x 1)(y x 2) y

b Sử dụng phép cộng và phép thế:

Ví dụ: Giải hệ phương trình :

c Biến đổi về tích số:

Ví dụ : Giải các hệ phương trình sau:

+

= +

) ( 3

2 2

2 2

y x y

x

y y x x

= +

+

= +

2

7 7

2 2

3 3

y x y x

y y x x

1 1

3

x y

y

y x

x

Hệ phương trình đồng bậcI)Hệ đồng bậc:

Ví dụ:

Đặt x=ky ta thu được:

ta cĩ:

+)Với k=1 ta cĩ:

Ngạn ngữ Nga +)Với k=-2 ta có:

Cách giải chung:Nếu các số hạng trừ số hạng tự do trong các phương trình của hệ có bậc bằng nhau thì ta đặt x=ky nối hai phương trình của hệ.

Đặt x=u+a , y=u+b thay vào phương trình (1):

Để đưa được về hệ đồng bậc thì ta phải chọn để hệ số của số hạng u ,v là 0 tức là

Thay x=u-1 , y=v-2 vào hệ phương trình đã cho ta có:

Khi này ta đã có thể giải được bình thường như hệ đồng bậc.

Ví dụ 3:Giải hệ phương trình:

Rõ ràng x=0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả 2 phương trình của hệ cho

ta có:

Đặt ta có:

Đến đây ta đã có thể giải như giải hệ đồng bậc bình thường (đặt u=ky).

Sau đây là một số bài tập áp dụng: