Hệ phương trình đối xứng loại 1 : Từng phương trình đối xứng theo x, y.. Hệ phương trình đối xứng loại 2 : Phương trình này đối xứng với phương trình kia.. Trừ 2 phương trình, dùng các h
Trang 11 Hệ phương trình bậc 1 : ++ = =
ax by c
a x b y c Tính : D = a b a b' ' , Dx = c b c b' ' , Dy = a c a c' '
D ≠ 0 : nghiệm duy nhất x = Dx/D , y = Dy/D
D = 0, Dx≠ 0 ∨ Dy≠ 0 : VN
D = Dx = Dy = 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết)
2 Hệ phương trình đối xứng loại 1 :
Từng phương trình đối xứng theo x, y Đặt S = x + y, P = xy
ĐK : S2 – 4P ≥ 0 Tìm S, P Kiểm tra đk S2 – 4P ≥ 0;
Thế S, P vào pt : X2 – SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y
(α, β) là nghiệm thì (β, α) cũng là nghiệm;
Nghiệm duy nhất ⇒α = β⇒ m = ?
Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không
3 Hệ phương trình đối xứng loại 2 :
Phương trình này đối xứng với phương trình kia Trừ 2 phương trình, dùng các hằng đẳng thức đưa về phương trình tích A.B = 0
Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1
4 Hệ phương trình đẳng cấp : ++ + + = =
ax bxy cy d
a x b xy c y d
Xét y = 0 (Có thể xét x = 0, xét x ≠ 0, đặt y = tx)
Xét y ≠ 0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t Còn 1 phương trình theo y, giải ra y, suy ra t, suy ra
x
5 HOÁN VỊ VÒNG QUANH :
=
=
=
( ) ( ) ( )
x f y
y f z
z f x
Xét hàm số f(t) luôn đồng biến (nghịch biến) trên D
Với x, y, z ∈ D, từ tính đơn điệu của f(t) trên D suy ra x = y = z
Thế vào hệ, giải pt x = f(x) trên D
A– Cơ bản:
1) (A–03)
− = −
1 1 (1)
(2)
1 5 1;
2 1
− ±
= −
→
2) (B–02) − = −
2 (2)
x y x y
x y x y
(1)⇔ = → = = = + → = =
(2)
(2)
1
3) A2–05) + + − + =
x y
Đặt u = u= 2x y+ + ≥ 1 0;v= x y+ ≥ 0
Có − = 2+ 2 = ⇔ = =
1 5
v
4) (D1–06) − + = −
3( ) 7( )
x xy y x y
x xy y x y Đặt = − =u x y v xy
Trang 2 − + = = =
2
2
1; 2 2
u v
5) (D–02) +
+
1
2 5 4 (1)
2 2
x
x
y y
y (2) ⇔ 2x = y >0 → (1) (0;1),(2;4)
6) (B–05) − + − =
3log (9 ) log 3 (2)
(2) ⇔ x = y → (1) +ñk (1;1),(2;2)
7) (A–04)
+ =
4
2 2
1 log ( ) log 1 (1)
y x
y
x y
(1) ⇔ = 3 → (2) + (3;4)
4
ñieáu kieän
y
x
8) (D2–06) − 2 + −+ + = −2
ln(1 ) ln(1 ) (1)
12 20y =0 (2)
x xy
(2) ⇔ x= 2y; x = 10y → x và y cùng dấu
Xét f(t) = ln(1+t) – t (t > –1); (1) ⇔ f(x) = f(y)
Từ tính đơn điệu của f(t)→ x = y → ĐS: (0; 0)
9) D08) + + = −
xy x y x y
(1)⇔(x+y)(x–2y–1)=0→ñk:x 1;y 0≥ ≥ x= 2y+1→ (2) (5;2)
10) (A08)
4 2
5 4 5 (1 2 )
4
x y x y xy xy
x y xy x
Đặt = +
=
2
u x y
v xy có
+ + = −
+ = −
2
5 (1) 4
5 (2) 4
u v uv
u v
(1) ⇔
= = − → − ÷÷
= − − →
= − = − → − ÷
2 (2)
5
u v
11) (B–08) + + = +
2
x x y x y x
x xy x
(2) ⇔ xy = 3 + −3 2 → − (1) ( 4; )17
x x
12) (B2–08) − − = −
3 4
Thế (2) vào (1)⇒ x− − − 1 (x 1) 2 +x3 − = 8 0 (x≥ 1)
Cách 1: đặt t = x−1→ t =1 → (2; 1)
Cách 2: f(x) = x− − − 1 (x 1) 2 +x3 − 8 (x≥ 1)
Có f(x) đồng biến ∀x > 1 ⇒ x =2 là nghiệm duy nhất
Trang 313) (A–06) + − =
3 (1)
.
x y xy
Bình phương 2 vế pt(2)→ pt(3) Đặt t = xy → + = + (1) x y t 3; thay vào (3) ⇒ t =3⇒ đáp số (3; 3)
B- Đối xứng loại I (S; P)
14) (A1−05) + + ++ + + =+ =
x y x y
x x y y y
ĐS:( 2; − 2),( 2; 2),(1; 2),( 2;1) − − −
15) (CĐ–06) + + +
2 y =8 2 xy(x+1)(y+1)=12
x y x
16) (A1–06) + + + =
2 2
1 ( ) 4 (1) ( 1)( 2) (2)
Cách 1: (1)⇒ y ≠ 0 chia 2 pt cho y ,
đặt
=
= + −
2 1
2
x
u
y
v x y
+ =
⇔ = =
1
u v ĐS(1;2),( 2;5) −
Cách 2: Thay y từ (2) vào (1)⇒ y+x–2=1 ĐS(1;2), (–2;5)
17) (A2–07) − + =
− + = −
1 1
x x y x y
x y x xy Đặt u = –x2; v = xy + −+ + = −= ⇔ = − =
0 1
u
u v uv
v
u v uv ĐS: (1; 0), (–1; 0)
C- Đối xứng loại II
18) (B–03)
+
= +
=
2 2 2 2
2 3
2 3
y y
x x x
y
19) (ĐH –99)
+ =
+ =
1 3 2
1 3 2
x
y
− − ÷÷
( 2; 2),( 2; 2) (1;1), (-1;-1)
20) (A1–07)
−
−
2 2 3 1 (1)
2 2 3 1 (2)
y x
Đặt u =x –1; v =y –1 Lấy (1)–(2)⇒ pt (3): f(u) =f(v)
Với hàm số f(t) = t+ t2+ +1 3t đồng biến trên D ⇒u=v
⇒ g(u)= + 2 + −
1 1
3u
u u =0; g(u) nghịch biến ⇒ u =0 là nghiệm duy nhất ⇒ x = y =1
21) (B2–07)
2
3 2
2 2
3
2 9
2 9
x x
y y
C1: (1)– (2) có (x–y).A = 0 (A ≠ 0 )⇔ x = y
2 ( 1) 8 ( 1) 8
xy
≥ 2 xy ≥
(x 1) 8 (y 1) 8
ĐS (0; 0), (1; 1)
HD: TH1 x=y suy ra x=y=1
TH2 chú ý: x>0 , y> 0
suy ra vô nghiệm
Trang 422) B1_07)CMR
−
−
2
2
1
1
x
y
y e
y x e
x
cĩ đúng 2 n0
>
>
0 0
x y
Từ x>0; y > 0 ⇒ ex>1; ey>1 Lấy (1) –(2) ⇒ (3): f(x)=f(y),
Với f(t)= − >
−
1
t ⇒f(t)đồng biến ∀t >1 ⇒ x =y
−
2 2007 0 1
e
x → g”(x) > 0 ; kết hợp tính liên tục của hàm số ⇒ đpcm
23) HSG) + + + =
2
2
3 ln(2 1) (1)
3 ln(2 1) (2)
Đk: x> –1/2; y>–1/2 Lấy (1) –(2)⇒ f(x) = f(y)
Với f(t)= t2+4t+ln(2t +1)( > −1)
2
t ⇒ f đồng biến ⇒ x = y
⇒ g(x) = x2+4x+ln(2x +1) = 0; g(x) đồng biến ⇒ x = 0 là nghiệm duy nhất →thư ûlại Đáp số x = y = 0
D- Hệ đẳng cấp:
3 3
b)Tìm m để hệ phương trình co ùnghiệm
x = 0 ⇒ y2 = 3= −m/3⇒ m = –9
x ≠ 0 ⇒ y = tx ⇒ = − − +
+ +
2 2
t t (t∈¡ ) (*) C1: KSHS f(t) = − − +
+ +
2 2
1
t t
t t ⇒− − 3 4 3 ≤ ≤ − +m 3 4 3 C2: (*) ⇒ pt b2 theo t ĐKCN : ∆ ≥0→đáp số
25) Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x2 –xy +y2≤ 3 Chứng minh: − − 1 2 7 ≤x2 +xy− 2y2 ≤ − + 1 2 7
E- Hệ hốn vị vịng quanh
26) D2–08)
36 60 25 0
36 60 25 0
36 60 25 0
⇔
= +
= +
= +
2 2 2 2 2 2
60
36 25 60
36 25 60
36 25
x y
x y z y z x z
⇒ x; y ; z khơng âm
x = 0 ⇒ y = z = 0 ⇒ x = y = z = 0 là 1 nghiệm của hệ
x > 0 ⇒ y > 0; z > 0
Xét f(t) =
+
2 2
60
36 25
t
t ⇒ f đồng biến ⇒ x = y = z= 56là 1 n0
27) (A2–06) − = +
3 3( 1)
− − − ÷ ÷ − ÷÷÷÷
(3;1),( 3; 1), 4 ; , 4 ;
28) (B2–06) − + =
2 2
2 2
x y x y
x y x y ( (3;2), (–2;–3) )
29) (D1–04) + + =− − = −+
1
2x y 2x
x y y x
x y(x=y=–1; x=1,y=0)
Trang 530) (A1–03) =
3 log 2
x y
31) (B1–02) − + =
x y ((1;1), (9;3))
32) Đề 2009 :
1 7
( , )
1 13
xy x y
x y
x y xy y ; D
( 1) 3 0
5 ( ) 1 0
x x y
x y
x
= +
2 2
10 20 (1)
5 (2)
xy x
xy y
2
5 y 5
x2 ≥20 theo (1) x2≤ 20 suy ra x2=20 ⇒ x,y