các dạng hệ phương trình

Cách tìm nghiệm duy nhất của hệ đối xứng loại 1 ĐK cần Vì x0; y0 là nghiệm thì y0; x0 cũng là nghiệm của hệ.. Để hệ có nghiệm duy nhất thì x0 = y0, thay vào hệ để tìm m ĐK đủ: Thay m vừa

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Dạng 1: Hệ gồm một pt bậc nhất và các pt bậc cao

1/ Phương pháp: Rút một ẩn từ pt bậc nhất thế vào các pt bậc cao

2/ Ví dụ

Ví dụ 1: giải các pt sau:

a/ 2

y

ìï - + =

ïïí

ïïî b/ 3 2

2 5x 7

x y

x x y

ìï + = ïïí

ïïî

Ví dụ 2: Cho hệ pt 2 2

1 0

x y

ìï - + = ïïí

ïïî

a/ Giải hệ khi m = 3

b/ Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

Giải: a/ (x ;y) = (0 ; 1) và (2/3 ; 5/3)

b/ m = 0 hoặc m = 4

Ví dụ 3: Cho hệ pt

2 2 1

ìï + = ïïí

ï - = ïïî

a/ Giải hệ khi m = 2 b/ Tìm m để hệ vô nghiệm

Giải: a/ (x ;y) = ( 2; 2)

2 - 2 b/ m > 2

Ứng dụng : Cho hệ pt 2

0 2x 2 3 0

x y m

ìï - - = ïïí

ïïî

a/ Giải hệ khi m = 1

b/ Tìm m để hệ có 2 cặp nghiệm thõa mãn 2 2 2 2

x +y =x +y

ĐS: a/ (x;y) = (2;1) và (-2; -3)

b/ m = 2

Dạng 2: Hệ pt đối xứng loại 1

1/ Định nghĩa: Là hệ có dạng ìïg x y f x y( ; )( ; ) =00

ïïí

ïïî trong đó khi hoán đổi x và y thì mỗi pt

không thay đổi

Ví dụ: Các hệ pt

3

xy x y

ïïí

11

x y yx

xy x y

ïïí

ïïî

2/ Cách giải:

2.1 Nhớ lại định lý Viet trong phương trình bậc hai

Cho pt ax2 + b x + = c 0có hai nghiệm x1; x2 thì 1 2

1 2

b

x x

a c

x x a

ìï

-ï + = ïïï

íï

ï = ïïïî Ngược lại nếu có hai số

u ; v thỏa mãn ìï + =u v uv P S

ïïí

ï = ïïî thì u ; v là nghiệm của pt x

2 - Sx + P = 0

Ví dụ Tìm hai số u ;v thỏa mãn ìï + =u v uv 8 6

ïïí

ï = ïïî

2.2 Cách giải hệ đối xứng loại 1:

Đặt x+y = S và xy = P ( ĐK S2 > 4P); thay vào tìm S và P Từ đó suy ra x và y

3 / Bài tập:

Bài 1: Giải các hệ pt:

hoac

b

4 2 2 4

7 21

x xy y

x x y y

ìï + + =

ïïí

ïïî Đặt x + y = S và xy = P ta có P = 2 và S = ±3

Với P = 2; S = 3 ta có nghiệm (-1;-2) và (-2; -1)

Với P = 2 ; S = -3 ta có nghiệm (1; 2) và (2; 1)

c

6 6 11

11

xy

xy x y

ìïï + + =

ïï

íï

ï + + =

ïïî

Nghiệm của hpt (-2; -3) và ( -3; -2)

Bài 2: Cho hệ pt

2 2

6

x y m

x y

ìï + = ïïí

ï + = ïïî

a Giải hệ khi m = 26

b Tìm m để hệ vô nghiệm

c Tìm m để hệ có 2 nghiệm phân biệt

Giải: Ta có

6 36 2

x y

m xy

ìï + = ïïï

í

-ï = ïïïî , khi đó x; y là nghiệm của pt X

2 – 6X + 36-2m = 0 (1)

a Nghiệm của pt (1;5) và (5; 1)

b m < 18

c m > 18

Bài 3: Cho hệ pt ìï5(x y xy x y+ )= +4 4x1 m y

ïïí

ï + - = -ïïî

a/ Giải hệ khi m = 2

b/ Tìm m để hệ có nghiệm

Giải: a ( 4 - - 7; 4 - + 7) ( 4va- + 7; 4 - - 7)

b

1 4 1

m

m

é

ê £

ê

ê ³

ê

ë

Bài 4 Tìm a để hệ pt

2

2(1 ) ( ) 4

x y

ìï + = + ïïí

ï + =

Giải: Đặt x+y = S và xy = P, ĐK S2 > 4P Ta có ìï = ±ïïíïS P = -12a

ïïî

Với S = 2, P = 1 – a thì x, y là nghiệm của X2 – 2 X + 1 – a = 0 có D =1' a

Với S = -2 , P = 1 – a thì x, y là nghiệm của X2 + 2 X + 1 – a = 0 có D ='2 a

Để hệ có đúng 2 nghiệm thì mỗi pt có nghiệm kép, suy ra a = 0

4 Cách tìm nghiệm duy nhất của hệ đối xứng loại 1

ĐK cần

Vì (x0; y0) là nghiệm thì (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ Để hệ có nghiệm duy nhất thì x0 =

y0, thay vào hệ để tìm m

ĐK đủ: Thay m vừa tìm được vào hệ xem giá trị nào thỏa mãn

Ví dụ 1: Tìm m để hệ pt

2 2

6

x y m

x y

ìï + = ïïí

ï + = ïïî có nghiệm duy nhất

Giải

ĐK CẦN Vì (x0; y0) là nghiệm thì (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ Để hệ có nghiệm duy nhất thì x0 = y0 Ta có hệ

2 0

0 0

18 2x

3 2x 6

m m

x

ïî

ĐK ĐỦ Thay m = 18 vào ta có nghiệm ( x; y ) = (3; 3)

Ví dụ 2: Tìm m để hệ x y xy2 2 m

ïïí

Đáp số: m = 0 hoặc m = 8

BÀI TẬP CŨNG CỐ

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

a

5

x y x y

xy x y

ìï + + + =

ïïí

ï + + =

ïïî b

4 4

ìï + = ïï

íï + - = ïïî c

11

x y yx

xy x y

ïïí

ï + + = ïïî

d 2 2

11 3( ) 28

x y xy

x y x y

ìï + + =

ïïí

30 ( ) ( ) 35

x y y x

ïï

ïïî

Bài 2: Tìm m để hệ 2 2

2 1

ìï + + = + ïïí

ìï + + = + ïïí

Dạng 3: Hệ phương trình đối xứng loại 2

1/ Định nghĩa: Là hệ có dạng ìïf x y f y x( ; )( ; )=00

ïïí

ïïî trong đó hoán đổi x và y cho nhau thi phương trình này trở thành phương trình kia

Ví dụ: Hệ phương trình

2 2

3x 4

-ïïí

-ïïî

2/ Cách giải

Trừ từng vế của 2 pt cho nhau để đưa về pt tích

3/ Ví dụ

Ví dụ 1: Giải các hệ pt:

a

2

2

3x 4

-ïïí

-ïïî Hệ có nghiệm (x; y) = (0;0) và (-1;-1)

b

2

2

0 3

y xy x x

y

x xy y

ïî

c

1 3

y x

y

x y

ï + = ïïî ïï

d

2x 3yx 2 0

x y

VN y

y y x

ïî

Ví dụ 2: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:

2 2

2 2

2x

ïïí

ïïî

Giải: ĐK CẦN x = y suy ra m = -1

ĐK ĐỦ Thay m = -1 ta thấy thỏa mãn

4/ Bài tập củng cố:

Bài 1: Giải các phương trình sau

a

3 2

0 40

é

b

3

3

0

x y

é

c

3

3

1 2

1 2x

y

ïïí

ïïî

Bài 2: Tìm m để các hệ sau có nghiệm duy nhất:

a

2

2

ïïí

2 2

xy x m y

xy y m x

-ïïí

-ïïî

c.( Khối B-2003)

2

2

2

2

3x

y

x

y

ï =

ïï ïî

Lấy (1) – (2) ta được

3x 0(3)

x y

y x y x y x y

x y y

é = ê

+ Với x = y ta có 3x3 - x2 - 2 = Û 0 x = Þ 1 y = 1

+ Phương trình (3) vô nghiệm vì x > 0 và y > 0

Dạng 4: Hệ phương trình đẳng cấp

1/ Định nghĩa: Là hệ có dạng 1 1

( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )

f x y g x y

f x y g x y

ïïí

ïïî trong đó f1 và f2 đẳng cấp và cùng bậc

g1; g2 đẳng cấp và cùng bậc

2/ Cách giải Bước 1: Xét x = 0 hoặc y = 0.

Bước 2: x khác 0 Đặt y = tx sau đó chia từng vế của 2 phương trình cho nhau

3/ Ví dụ Giải hệ phương trình

40 (1) 10x (2)

ìï + = ïïí

ïïî

Giải + Nếu x = 0 suy ra y = 0 Vậy (0;0) là một nghiệm

+ Với x ¹ 0 Đặt y = tx thay vào hệ và chia từng vế của (1) cho (2) ta được

3 3

2

t

+

+

+ Với t = ½ suy ra x = 2y thay vào (2) ta được 5y(y2 – 4) = 0 Û y2 = Û4 y= ±2

Suy ra (4; 2) và (-4; -2) là nghiệm

+ Với t = -1/2 suy ra x = -2y thay vào (2) ta được y2 = -4 VN

Kết luận: Hệ có 3 nghiệm

4/ Bài tập

Bài 1 Giải các hệ phương trình

a (KA-2005)

y xy y

ïïí

ïïî b

2

y

ìï + - = ïïï

-ïïïî

c

2 2

2 2

x y x y

ïïí

ïïî d

y y

ïïí

ïïî

ĐS a (1; 3) ; (3/2; 2) b (2; 1) ; (-2; -1) c (1;2) ; (2;1) d.( 2; 1);( 11 ; 1 )

Bài 2: Tìm m để hệ sau có nghiệm

2

4x 3x 4

ïïí

ïïî

ĐS Mọi giá trị của m

Bài 3: Cho hệ

2

2

x xy

x xy y m

ìï - = ïïí

ïïî

a Giải hệ khi m = 14 b Tìm m để hệ có nghiệm

ĐS a.(2;1); (-2; -1) b mọi giá trị của m

Dạng 5: Hệ không có cấu trúc đặc biệt

Loại 1: Phương pháp thế và đặt ẩn phụ

Bài 1: Giải hệ

2 2

( 2 )(3 ) 18

x x x y

x x y

ïïí

ïïî

2 ; 3 thay vào ta có

9

u v

ïï

và

Với u = 6 và v = 3 1 7 và 1 7

ï = - - ï = - +

Bài 2: Giải hệ (22 3 )( 1) 14

x x y x

ïïí

ïïî Giải: Đặt

2

2 7

Ta có

2

u v

v

éìï = ïêïíê

ïêïîë

và

Với u = 7 và v = 2 ta có

Bài 3: Giải hệ 2

2

( 1) 3 0 (1)

K hôi D- 2009 5

x x y

x y

x

ìï + - - = ïïï

ïïïî Giải: ĐK x 0 (1) x y 3 1 thay vào(2) ta có 22 3 1 0

Đặt

1 1

ta có 1

2

t t

é = -ê ê

-ê = ê

Với t = -1 suy ra x = -1 và y = -1

Với t = -1/2 suy ra x = -2 và y = 3/2

Bài 4: Giải các hệ

1 7 (1)

1 13 (2)

ìï + + = ïïí

4 2

5/ 4 (1 2 ) 5/ 4

x y x y xy xy

-ïïí

-ïïî

c (Khối B- 2008)

4 3 2 2 2

ïïí

ïïî

d

1

3x

y

y

ïïï

-ïî

HD: a Vì y = 0 không thỏa mãn nên chia (1) cho y và chia (2) cho y2

Đặt u x 1 và v x

và

Hệ có các nghiệm (3 ; 1); (1; 1/3)

b Hệ tương đương

2 2

x y xy x y

-ïïí

-ïïî

c

2

(2) 2

xy

ïïï

4

x

x

é = ê + + + = Û ê =-ê Hệ có nghiệm (-4; 17/4)

d ĐK y ¹ 3x Đặt u = 3x + y và v = 3x – y ta được

2 3 10 2 0 (1) 1

6 (2)

u uv v u

v

ïïï

íï + = ïïïî

Giải (1) ta có u = - 2v và u = 5v

+ u = - 2v thay vào (2) ta có

12

+ u = 5v thay vào (2) ta có 5 1 1 1/ 5

Tóm lại hệ phương trình có 4 nghiệm

Loại 2 : Sử dụng phương pháp đồng biến, nghịch biến

Phương pháp: Nếu hàm số f(t) ĐB (NB) trên (a; b) thì phương trình f(x) = f(y) có nghiệm

duy nhất x = y trên (a ;b)

Bài 1: Giải hệ

3

(1) (DH K hoi A- 2003)

2 1 (2)

ìïï - = -ïï

íï

ïïî Giải: ĐK x ¹ 0; y ¹ 0 Đặt f t( ) t 1 ; t 0 có '( )f t 1 12 0

đồng biến Phương trình (1) có nghiệm x = y thay vào (2) ta được

3

1

2

x x

x

é = ê ê

ê = ê ë Vậy hệ có 3 nghiệm (1 ; 1) và 1 5 1 5

Bài 2: Giải hệ

a

b c.

DH a ĐS (1 ; 1) ; ( 3 - ± 15; 3 - ± 15)

b Ta có x4 + y4 = Þ 1 x4 £ Þ - £ 1 1 x £ Þ 1 y = x3- 3 x nghịch biến

4

1 2 1 2

x

y

ìïï = ±

ïï

ïí

ïï = ±

ïï

ïî

c ĐS x = y = 3