Các loại hệ phương trình (2009-2010)

Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất x0; y0, tìm các giá trị nguyên của m sao cho x0 và y0 là những số nguyên.. Tìm b sao cho với mọi a, luôn tìm được c để hệ phương trình có nghiệm II

Trang 1

Hệ phương trình hai ẩn

I HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1 Bài toán: Giải và biện luận hệ phương trình: 1 1 1

a x b y c

+ =





Cách giải:

b1 Tính các định thức: 1 1

a b D

a b

= ; 1 1

x

c b D

c b

= ; 1 1

y

a c D

a c

= b2 Ta có:

i/ D 0≠ : Hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x Dx

D

= , Dy

y D

= ii/ x ( y )

D 0

D 0 hoặc D 0

=



 : Hệ phương trình vô nghiệm

iii/ D D= x =Dy =0: Hệ phương trình có thể vô nghiệm, có thể vô số nghiệm

( nên thay giá trị cụ thể vào hệ phương trình rồi kết luận )

2 Các ví dụ:

VD1: Cho hệ phương trình:

x my 3m

mx y 2m 1

+ =



 + = +

1 Giải và biện luận hệ (I)

2 Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất (x0; y0), tìm các giá trị nguyên của m sao cho x0 và y0 là những số nguyên

VD2: Cho hệ phương trình:

2

mx 4y m 4

x (m 3)y 2m 3



1 Với các giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn điều kiện x y≥ ?

2 Với các giá trị của m đã tìm được, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x + y

( ĐH An Ninh 98 )

VD3: Giải và biện luận hệ phương trình

(1 sina)x cosa.y cosa cosa.x (1 sina)y sina





VD4: Tìm các giá trị của b sao cho với mọi a R∈ thì hệ phương trình có nghiệm

Trang 2

x 2ay b

ax (1 a)y b

+ =



 + − =

 ( ĐH Công Đoàn 98 )

3 Bài tập làm thêm:

B1 Giải và biện luận hệ phương trình





B2 Cho hệ phương trình  + = +mx 2y m 12x my 2m 5+ = +

a) Giải và biện luận hệ phương trình

b) Khi hệ có nghiệm (x; y), hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập đối với m

B3 Cho hệ phương trình ax y bx ay c+ = 2 c

 + = +

 a) Giải và biện luận hệ phương trình

b) Tìm b sao cho với mọi a, luôn tìm được c để hệ phương trình có nghiệm

II HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1

1 Dạng: g(x;y) 0f(x;y) 0==

 (1), trong đó: f(x;y) và g(x;y) là các biểu thức đối xứng theo x; y

2 Nhận dạng: Khi thay x bởi y và thay y bởi x thì hệ không đổi Tức là:

f(x;y) 0 g(x;y) 0

=





thay x bởi y và thay y bởi x

¬ → f(y;x) 0

g(y;x) 0

=



 Chẳng hạn: hệ phương trình x y xy 11x2+ +y2 3(x y) 28=

 + + + =



3 Cách giải:

b1 Dùng ẩn số phụ: Đặt S = x + y , P = xy Ta được: F(S;P) 0G(S;P) 0==

b2 Giải hệ phương trình (2)

+ Nếu S0 , P0 là một nghiệm của hệ (2) thì nghiệm x, y của hệ (1) là nghiệm của hệ

0 0

x y S

xy P

+ =



 =



Trang 3

+ Khi đó x, y là nghiệm của phương trình: t2 – S0.t + P0 = 0 (3)

b3 Kết luận

4 Chú ý:

a) Hệ (1) có nghiệm (x; y) ⇔ Hệ (2) có nghiệm (S0; P0) ⇔ S2 −4P 0≥

b) Nếu 2

S −4P >0 thì phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt

2

1

t

2

t

2

=

Khi đó hệ (1) có hai nghiệm tương ứng 1

2

x t

y t

=



 =

 và

2 1

x t

y t

=



 =

 c) Nếu S20 −4P0 =0 thì phương trình (3) có nghiệm kép 0

S

t t

2

= = Khi đó hệ (1) có 1 nghiệm tương ứng x y S0

2

= = d) Do tính đối xứng,

“ nếu (x0; y0) là một nghiệm của hệ (1) thì (y0; x0) cũng là một nghiệm của hệ (1)”

Do đó: Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì nghiệm này có dạng (x0; x0)

e) Các biểu thức đối xứng thông dụng:

x +y = x y+ −4xy x +y −6x y =S4 −4P(S2 −2P) 6P− 2 =S4 −4S P 2P2 + 2

f) Đôi khi cần đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa ( ẩn ở mẫu )

VD1: Giải hệ phương trình





 ( ĐH Mỏ – Địa chất 98 )

VD2: Ch hệ phương trình x xy y 2m 1x y xy2+ + =2 m(m 1)+

 (I) ( ĐHQG Hà Nội 99 )

1 Chứng minh rằng với mọi m, hệ phương trình (I) luôn luôn có nghiệm

2 Tìm m để hệ (I) có nghiệm duy nhất

VD3: Tìm các giá trị của a để hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm

2





 ( ĐH Y Dược TpHCM 98 )

6 Bài tập làm thêm

Trang 4

B1 Giải hệ phương trình

1 1

 + + + =







( ĐH Ngoại thương 97, khối D )

B2 Cho hệ phương trình x y mx2+ =y2 6 m2

 + = −

 ( Báo chí, Tuyên truyền 98, khối D )

1 Giải hệ phương trình khi m = 1

2 Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm

B3 Cho hệ phương trình x y m 1x y xy2+ = +2 2m2 m 3

 ( ĐH Su phạm Quy Nhơn 99 )

1 Giải hệ phương trình với m = 3

2 Chứng minh rằng với mọi m, hệ phương trình trên luôn có nghiệm





 ( ĐH Ngoại thương 98 )

2 2

1

xy 1

x y







( ĐH Ngoại thương 99, khối A )

B6 Cho hệ phương trình

xy(x 1)(y 1) m

 + + + =

 + + =

 ( ĐH Ngoại thương 97, khối A )

2 Xác định m để hệ phương trình đã cho có nghiệm

B7 Giải hệ phương trình x y xy 11x2+ +y2 3(x y) 28=

 + + + =

 ( ĐHQGHCM 2000, khối D )





 ( ĐH Sưphạm HàNội 2000, khối B )

2 2







B10 Giải hệ phương trình x y 5x4+ =y4 97

 + =



Trang 5

III HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2

( )

f(x;y) 0 1

f(y;x) 0 2





=



2 Nhận dạng:

Khi thay x bởi y và thay y bởi x thì phương trình (1) trở thành phương trình (2) và ngược lại

Ta có: ( ) thay x bởi y ( )

và thay y bởi x

f(x;y) 0 1 = ¬ → f(y;x) 0 2= Chẳng hạn: hệ phương trình

2 2







3 Cách giải:

b1 Biến đổi

( ) ( )

f(x;y) 0 1

f(y;x) 0 2



 ⇔

f(x;y) 0 f(x;y) f(y;x) 0

=



f(x;y) 0 (x y).g(x;y) 0

=



( ) ( )

x y

A f(x;y) 0 g(x;y) 0

B f(x;y) 0

 =







 =

 =



 b2 Giải hệ phương trình (A) và (B)

Chú ý: Có thể biến đổi hệ (B) về hệ phương trình đối xứng loại 1 để giải như sau:

( )

g(x;y) 0

B f(x;y) 0

=



 ⇔ g(x;y) 0 C( )

f(x;y) f(y;x) 0

=



 ( Hệ (C) là hệ đối xứng loại 1 ) b3 Kết luận

2x

2y

 + =





 + =



( ĐHQG Hà Nội 99, khối B )

Trang 6

VD2: Cho hệ phương trình





 ( ĐHSưphạm Vinh 99 ) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

VD3: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

2 2





 ( ĐH Hàng hải 97 )

2 2 2 2

3y x

3x y

=





( ĐH khối B 2003 )

3 3





 ( ĐHQG Hà Nội 98 )

4y

x 3y

x 4x

y 3x

y

 − =





 − =



( ĐHQG Hà Nội 97 )





 ( ĐHQG TpHCM 96 ) Xác định a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

3 3







2 2







2 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất





 ( ĐHQG Hà Nội 2000)

Trang 7

2

1 2x y

y 1 2y x

x

 = +





 = +



( HV Chính trị 2001 )

B8 Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

( )

2 2

x 1 y a

y 1 x a

 + = +



 + = +

 ( ĐH Sưphạm HCM 2001 )

2 2





 ( ĐH Hàng hải 97 )

1 Giải hệ phương trình khi m = –1

2 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

B10 Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất







IV HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP

f (x;y) g (x;y)

=



 (I), với:

f (x;y),f (x;y) : hai đa thức đẳng cấp cùng bậc

g (x;y),g (x;y) : hai đa thức đẳng cấp cùng bậc







+ Đa thức hai biến x và y có dạng: n n 1 n 2 2 n 1 n

+ Trong đó: n là số nguyên dương (n N*∈ ) và các hệ số a ,a , ,a không đồng thời bằng 0 được gọi là đa 0 1 n thức dẳng cấp bậc n

2 Cách giải:

b1 Giải hệ (I) khi x = 0

b2 Giải hệ (I) khi x 0≠

+ Đặt y = t.x , ta được:F(x;t) 0G(x;t) 0==

 (II)

KHỬ x

→ h(t) 0= → =Giải phương trình t t0

+ Thay t = t0 vào (II), ta có: 0

0

F(x;t ) 0 G(x;t ) 0

=



 (III)

Giải hệ (III)

0

x x

→ = Thế t , x tìm y 0 0 0

y t x

b3 Kết luận

3 Chú ý:

3.1 Theo cách giải nêu trên, ta có thể giải hệ (I) như sau:

b1 Giải hệ (I) khi y = 0

Trang 8

b2 Giải hệ (I) khi y 0≠ Đặt x = t.y ( làm tương tự như trên )

b3 Kết luận

3.2 Đối với hệ đẳng cấp bậc hai, ta có thêm phương pháp giải như sau:

b1 Sử dụng phép biến đổi tương đương, khử y2 ( hoặc khử x2 ) Từ đó tính y theo x

( hoặc tính x theo y )

b2 Sử dụng phép thế, ta được phương trình bậc 4 trùng phương

b3 Giải phương trình bậc 4 trùng phương nói trên và kết luận

xy(x y) 2

ìï - = ïí

ïỵ (QGHN 97)

ïí

ïỵ ( Mỏ địa chất 97 )





 ( ĐH Ngân hàng 2001 )

ïí

2 Xác định m để hệ phương trình có nghiệm





 ( ĐH Kiến trúc HCM 95 )





 ( ĐH SưphạmHCM 2000 )

2





 ( ĐH Hàng hải 2000 )





 ( ĐH Kiến trúc HàNội 98 )







Trang 9

V HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC

1 Cách giải:

Dùng các phép biến đổi, đưa về hệ phương trình đã biết cách giải Thường gặp các trường hợp như sau:

+ Trường hợp 1: Nếu biểu thị được một ẩn theo các ẩn còn lại thì ta dùng phép thế

+ Trường hợp 2: Nếu biến đổi được một phương trình của hệ thành phương trình

tích số thì ta phân tích hệ đã cho thành nhiều hệ đơn giản

+ Trường hợp 3: Nếu phát hiện trong hệ có những biểu thức đồng dạng thì ta dùng

ẩn số phụ

VD1: Cho hệ phương trình ì + =ïï(x 1)yx y 2m xy m(y 2)

2 Tìm m để hệ có nhiều hơn hai nghiệm

ïí

ïỵ (HV Kỹ thuật QS 98 )

1 Giải hệ khi a = b = 1

2 Xác định a, b để hệ có nhiều hơn 4 nghiệm phân biệt

VD3: Giải hệ phương trình 2 2

xy 3x 2y 16

x y 2x 4y 33

ïï

3

2y x 1

 − = −





 = +



( ĐH 2003, khối A )

2



 + =

 ( ĐH Hồng Đức 99 )

Trang 10











 ( ĐH Sưphạm HàNội 99 )

B4 Giải hệ phương trình ( )2 2 2 ( )2

1

2x y







( ĐH Xâydựng 97 )

x y z 6

xy yz zx 12

2 2 2 3

x y z



 + + =

 + + =





 + + =



( ĐH Thủy sản 98 )

a) 2x y 5x2 + =y2 10

 + =

 b) 3 3

x y 1

x y 3(x y)

+ = −



 − = −

2x y 6

x 3xy y 10

− =



 − + =

x y 2

x y 34

− =



 + =

 e)





3(x y) x y

xy 2

 − = −

 =

x y 2xy 8 2



 + =

x y y x 30

x x y y 35







a)

x y 40

xy z 0

x y 8

 + =

 − =



 + =



b)

x y z 9

xy yz zx 27

1 1 1 1

x y z



 + + =

 + + =





 + + =



c) 2 2 2

x y z 13

x y z 61

xy zx 3yz

+ + =



 + + =



 + =



B8 Giải và biện luận hệ phương trình

a) x y mx2+ =y2 2x 2

 − + =

 b) 2

2x y m

xy 2y 3y

− =



 + =



a)

2





 b)

3 x 5y 9 0 2x y 7 0

 + + =



 − − =

x 2xy 3y 0

x x y y 2



x 2xy 3y 0

x x y y 2



 + = −



Tiêu đề	Các loại hệ phương trình
Tác giả	Trần Chớ Thanh
Trường học	Đại học An Ninh
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Tài liệu luyện thi
Năm xuất bản	2008
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	383 KB