Phân loại dạng toán liên quan tới phương trình bậc II

Toán học, với t cách là môn khoa học nghiên cứu một số mặt của thế giới thực, toán học có hệ thống kiến thức cơ bản và phơng pháp nhận thức cần thiết cho đời sống sinh hoạt và lao động..

phần I : Đặt vấn đề

1) Lí do chọn đề tài:

Trong các môn học ở trờng phổ thông cùng với môn Văn – Tiếng Việt, môn toán có vị trí rất quan trọng Toán học, với t cách là môn khoa học nghiên cứu một số mặt của thế giới thực, toán học có hệ thống kiến thức cơ bản và phơng pháp nhận thức cần thiết cho đời sống sinh hoạt và lao động Nó cũng là công cụ cần thiết cho các môn khoa học khác và để tiếp tục nhận thức thế giới xung

quanh, đồng thời giúp chúng ta hoạt động có hiệu quả trong thực tiễn đời sống Toán học có nhiều tác dụng trong việc phát triển trí thông minh, t duy độc lập, linh hoạt, sáng tạo trong mọi lĩnh vực hoạt động của con ng… ời Toán còn góp phần giáo dục ý chí và đức tính tốt nh : Cần cù, nhẫn nại, ý thức vợt khó khăn …

Phơng trình bậc hai và ứng dung của nó là một mảng rất quan trọng trong chơng trình toán THCS., Phơng trình bậc hai có ứng dụng rất rộng trong khi giải toán đối với học sinh lớp 9 Không những thế phơng trình bậc hai còn đợc ứng dụng nhiều cho học sinh tiếp tục học lên lớp trên

Qua thực tế một số năm giảng dạy toán 9 tôi nhận thấy việc Giải một phơng trình bậc hai , hay xác định dấu các nghiệm của phơng rình bậc hai không phải

là vấn đề khó đối với học sinh , song với các dạng toán có liên quan nh tìm hệ thức giã các nghiệm hoặc tìm m để thoả mãn diều kiện cho trớc của nghiệm hay giải các phơng trình quy về phơng trình bậc hai các em thờng lúng túng hay

nhầm lẫn (phần các dạng toán rất đa dạng , phần vì trong SGK không trang bị các phơng pháp giải cụ thể) đặc biệt mắc nhiều sai sót trong khi giải, rất ít học sinh

có lời giải đầy đủ và chặt chẽ Tuy nhiên các dạng toấn này lại có vai trò vô cùng quan trọng trong việc bồi dỡng và nâng cao năng lực trí tuệ cho học sinh

Đặc biệt nó thờng xuyên xuất hiện trong các đề thi cuối kì , cuối năm, thi tuyển sinh vào 10, đề thi phát hiện học sinh giỏi

Các bài tập phơng trình bậc hai rất đa dạng phong phú, nó đòi hỏi học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản và có kỹ năng tổng hợp nhất định Cho nên

Giáo viên : Dơng Thị Ngọc – Trờng THCS Dũng tiến

ngay từ đầu giáo viên ôn tập ngay cho học sinh các bài tập tổng hợp thì nhiều em khó có khả năng tiếp thu bài học, dẫn đến kết quả bài làm thấp

Vấn đề đặt ra là ngời thầy phải giảng dạy các bài tập có liên quan đến

ph-ơng trình bậc hai nh thế nào để từng đối tợng học sinh có khả năng tiếp thu đợc,

góp phần nâng cao chất lợng cho học sinh khá giỏi và học sinh đại trà có kiến thức về phơng trình bậc hai đủ để thi vào THPT

Nâng cao chất lợng giáo dục trong nhà trờng đối với tất cả các khối lớp là nhiệm vụ cơ bản của mỗi giáo viên, đặc biệt là vấn đề chất lợng đối với học sinh lớp 9 Là một giáo viên tham gia giảng dạy bộ môn toán 9, trong những năm qua tôi luôn trăn trở là làm thế nào để nâng cao chất lợng bộ môn Tôi cho rằng ngời thầy phải nâng cao chất lợng từng giờ lên lớp, chú trọng đổi mới phơng pháp dạy học, tích cực kiểm tra và theo dõi sát sao việc học tập của học sinh Từ

đó ngời thầy uốn nắn giải đáp vớng mắc cho các em và điều chỉnh phơng pháp dạy học sao cho phù hợp nhất Đồng thời ngời thày phải thờng xuyên ôn tập hệ thống kiến thức, phân loại bài tập, hình thành phơng pháp và kỹ năng giải toán cho học sinh

Chính vì thế tôi chọn vấn đề Phân loại dạng toán có liên quan tới ph“ ơng trình bậc hai nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 9”.

2) Mục đích của đề tài:

1 Trang bị cho học sinh một số phơng pháp giải toán liên quan đến phơng trình bậc hai phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh Giỏi-khá -trung bình -

góp phần nâng cao năng lực trí tuệ cho học sinh, nâng cao chất lợng giáo dục đại chà và bồi dỡng học sinh giỏi.

3) Đối t ợng nghiên cứu và phạm vi ứng dụng :

Đề tài đợc nghiên cứu trong chơng trình toán lớp 9 và áp dụng ôn thi vào 10,

ôn tập và bồi dỡng học sinh giỏi

Đặc biệt , trong các giờ luyện tập , ôn tập chơng giáo viên tiếp tục cho học sinh giải các bài tập tổng hợp , bài tập nâng cao , làm thử các đề thi ttốt nghiệp , để thi tuyển sinh vào 10 Qua đó học sinh thấy đợc tầm quan trọng của loại toán này ,

tự rèn luyện tạo kỹ năng cho mình Bằng rèn luyện thực hành giải các dạng bài tập , học sinh giải các bài tập tổng hợp phức tạp hơn Các em đợc nâng cao kiến thức , hình thành kỹ năng phản xạ khi gặp các bài toán tơng tự

Sau đây tôi xin đa ra một số nội dung mà tôi đã thực hiện, áp dụng và đạt hiệu quả nhất định trong giảng dạy

Phần II : Nội dung

Giáo viên : Dơng Thị Ngọc – Trờng THCS Dũng tiến

+ NÕu −a c < 0 (a , c cïng dÊu ) ⇒ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm

ƒ (x) = ax2 + bx + c luôn luôn đồng dấu với hệ số a

Ngợc lại nếu x1 = 1 thì a + b + c = 0+ Nếu a - b +c = 0 thì x1 = - 1 ; x2 =-

a c

3.5 Phơng trình có 2 nghiệm trái dấu ⇔ P = a <0

3.6 Phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu ⇔ ∆≥ 0

P > 03.7 Phơng trình có 2 nghiệm đối nhau ⇔ S = 0

P < 03.8 Phơng trình có 2 nghiệm dơng ⇔ ∆≥ 0

P > 0

S > 03.9 Phơng trình có 2 nghiệm âm ⇔ ∆≥ 0

P > 0

S < 0

∆ = 0 3.10 Vế trái là phơng trình của một nhị thức ⇔ a > 0

- Học sinh giải thành thạo các phơng trình bậc hai khuyết, phơng trình bậc hai đầy đủ

- Học sinh thuộc công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn, hệ thức Viét và úng dụng của nó

ớng dẫn kết quả

a ∆’ = ( 3 )2 – (- 3) 3 = 12 ⇒ ∆ ' = 12 = 2 3

x1 = 3 ; x2 = -

3 3

Giáo viên : Dơng Thị Ngọc – Trờng THCS Dũng tiến

b a + b + c = 0 ⇒ x1 =1 ; x2 = 2

c x2 – x - 6 = 0 (1) NÕu x ≥ 0 (1) ⇔ x2 – x - 6 = 0 ⇒ x1 =3 ; x2 = -2 (lo¹i)NÕu x ≤ 0 (1) ⇔ x2 + x - 6 = 0 ⇒ x3 =2 (lo¹i) ; x4 = -3 KÕt luËn ph¬ng tr×nh x2 – x - 6 = 0 cã 2 nghiÖm x1 =3 ; x4 = -3

VÝ dô 3 : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai sau b»ng c¸ch nhÈm nhanh nhÊt

a x2 – 11x – 30 = 0

b 5x2 – 17x + 12 = 0

c x2 – (1 + 2).x + 2 = 0H

1 1

1 1

x1 x2 = - 5

a

2 2

1 1

x

2 1

2 1

b x12 +x22 = (x1 + x2 )2 - 2x1.x2 = 3+2 5

c 2

2

2 2

1 1

x

x + = 2

2

2 1

2 2

2 1

3 +

d x1 +x2 = (x1 + x2 ).( x1 +x22 - x1 x2 ) = -3.( 3+ 5)

II Gi¶i vµ biÖn luËn c¸c ph – ¬ng tr×nh bËc hai chøa tham sè

VÝ dô 1 : Cho ph¬ng tr×nh (1- m)x2 – 2mx + m - 2 = 0 (1)

a Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× (1) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai

b Gi¶i (1) khi m = 0,5H

íng dÉn :

Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn

a 1- m ≠ 0 ⇒ m ≠ 1

b Gi¶i (1) khi m = 0,5

Víi m = 0,5 th× (1) ⇔ x2 – 2x – 3 = 0 ⇒ x1 = - 1 ; x2 = 3

VÝ dô 2 : Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh sau theo tham sè m

(m-1)x2 – 2(m+1)x +(m-2) = 0 (2)H

íng dÉn :

• m-1 = 0  m = 1 Th× (2) trë thµnh 4x-1 = 0 cã nghiÖm x =

1 4 -

XÐt ∆’ = 5m - 1 + NÕu 5m - 1 < 0 ⇒ m < 1

5 Th× ph¬ng tr×nh (2) v« nghiÖm + NÕu 5m - 1 = 0 ⇒ m =1

5 Th× ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm kÐp x1 = x2 = m 1

m 1

+ -

III - D¹ng to¸n cã liªn quan tíi nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh bËc hai

III 1 DÊu cña nghiÖm sè – cña ph ¬ng tr×nh bËc hai

Ph

¬ng ph¸p

Sö dông c¸c ®iÒu kiÖn ë môc III phÇn A lu ý ®iÒu kiÖn a ≠ 0

VÝ dô 1 : Cho ph¬ng tr×nh bËc hai (Èn x)

+ §Ó ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu th×

Ví dụ 2 : Cho phơng trình

x2 – 2(k-1)x + 2k -5 = 0

a, Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi k

b Tìm k để phơng trình có hai nghiẹm cùng dấu Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ?H

ớng dẫn :

a Phơng trình đã cho có bậc hai

Xét ∆‘ = = k… 2 – 4k + 6 = (k -2)2 + 2 > 0 với mọi k

Vậy phơng trình luôn có nghiệm với mọi k

b Đã có ∆‘ > 0 để pt có hai nghiệm cùng dấu thì P =a c > 0  2k-5 > 0  k > 5

2

Lại có S = - b

a = 2(k-1) Với k > 5

2 thì 2(k-1) > 0 nên S > 0 Vậy hai nghiệm cùng dấu đó là hai nghiệm dơng

B1 : Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm

B2 : áp dụng Viet lập S , P (phụ thuộc vào m)

Giáo viên : Dơng Thị Ngọc – Trờng THCS Dũng tiến

B3 : Khử m để lập một hệ thức giữa S và P

B4 : Thay S = x1 + x2 ; P = x1 x2 thì đợc hệ thức phải tìm

Nếu S hay P là hằng số thì đó chính là hệ thức cần tìm , khôkhông cần làm hai bớc tiếp theo

1 1

x

x + ; x1 +x2 ; 2

2

2 2

1 1

1 1

1 1

Giáo viên : Dơng Thị Ngọc – Trờng THCS Dũng tiến

Ví dụ 1 : Cho phơng trình mx2 – ( m – 4) x + 2m = 0

Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn :

2(x1 +x22 ) - 5 x1 x2 = 0 H

ớng dẫn :

Để phơng trình có hai nghiệm cần có ( m – 4)2 – 8m2 ³ 0 (*)

m ạ 0 Khi đó 2(x12 +x22 ) - 5 x1 x2 = 0  2(x1 +x2)2 - 9 x1 x2 = 0

x1 x2 +x3 x4 = + ≥ 2 = 2

a

c c

a a

c c a

III 4 Tìm m để ph ơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn hệ thức

không đối xứng giữa các nghiệm

Ph

ơng pháp

B1 : Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm

B2 : áp dụng viét lập S , P (phụ thuộc vào m)

B3: Rút từ điều kiện không đối xứng của đề bài ra x1 (hoặc x2 ) thay vào

S , P để lập phơng trình theo m

B4 : Giải phơng trình , đối chiếu với điều kiện (*) để chọn nghiệm

Giáo viên : Dơng Thị Ngọc – Trờng THCS Dũng tiến

Ví dụ 2 : Tìm p ∈ R sao cho phơng trình x2 +px +12 = 0 có 2 nghiệm thực mà hiệu của chúng bằng1 Hãy tìm các nghiệm đó

H

ớng dẫn :

Điều kiện để phơng trình có 2 nghiệm thực phân biệt là : ∆ > 0 ⇔∆ = p2 – 48 >0 ⇔ p2 > 0 ⇔ p < -4 3 hoặc p > 4 3 (*)Theo định lý Vi ét và giả thiết ta có

x1 x2 = 12

x1 - x2 = 1

Từ (1) và (3) ⇒ x1 = −12−p ; x2 = 1−2pThay vào (2) ta có

Theo Vi ét và giả thiết ta có

x1 x2 = a (2) Thay x2 = x12 vào (1) có : x12 + x1 =

4

15 (3) ⇔ 4x1 + 4x1 – 15 = 0 (4)

⇒ x1 = 23 ; x1= −25

Với x1 = 23 thì x2 = 94 Từ (2) ⇒ a = x1 x2 = 278 thoả mãn (*) Với x1 =

2

5

− thì x2 =

4

25 Tứ (2) ⇒ a = -

8

125 thoả mãn (*) Vậy giá trị của a là : a1 = 278 : a2 = -1258

III.5 - Lập ph ơng trình bậc hai biết các nghiệm thoả mãn điều kiện cho tr

ớc

Yêu cầu

Sử dụng thành thạo định lý Vi ét thuận ; đảo

Ví dụ 1 : Tìm a và b biết a+b = 5

a.b = 6

Giáo viên : Dơng Thị Ngọc – Trờng THCS Dũng tiến

ớng dẫn : Vì 5 > 4.6

Theo Vi ét a, b là nghiệm của phơng trình X2 -5X + 6 = 0

⇒ X 1 = 2 ; X2 = 3 ⇒ a = 2 ; b = 3

III.6 - Một số bài toán tổng hợp

Ví dụ 1 : Cho phơng trình x2 – (m+1 )x +m – 4 = 0 (2)

a Giải phơng trình (2) khi m = 1

b CMR phơng trình (2) luôn luôn có 2 nghiệm phan biệt với mọi m

c Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của (2) chứng minh

A = x1(1-x2) + x2(1-x1) không phụ thuộc vào m

H

ớng dẫn

a Với m = 1 (2) ⇔ x2 - 4x + 3 = 0 ⇒ x1 = 2 + 7 ; x2 = 2 - 7

b ∆’ = (m +1)2 –(m- 4) = m2 + m +5 = (m+ 21 )2 + 194 > 0 ( ∀ m) ⇒ phơng trình (2) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt ∀ m

c A = x1(1-x2) + x2(1-x1) = x1-x2x1 + x2 - x1x2

= x1+ x2 – 2 x1 x2

áp dụng định lý Vi ét x1+ x2= 2(m+1)

x1 x2 = m- 4 Vậy A = 2(m+1) – 2(m- 4)

= 2m +2 –2m +8 = 10

⇒ Điều phải chứng minh

Ví dụ 2 : Với những giá trị nào của m thì phơng trình

mx2 + 2(m+1)x + m-1 = 0

a Có 1 nghiệm bằng 0 ? tìm nghiệm kia

Giáo viên : Dơng Thị Ngọc – Trờng THCS Dũng tiến

b Có 2 nghiệm thực phân biệt x1 ; x2 thoả mãn điều kiện

1 1 1

2 1

>

+

x x

H

ớng dẫn

a mx2 + 2(m+1)x + m-1 = 0 (3) Thay x = 0 vào (3) ta có :

m-1 = 0 ⇒ m = 1 Nghiệm còn lại bằng x2 = - 2(m m+1) = - 4Kết luận m =1 ; x2 = - 4

b Để ( (3) có 2 nghiệm phân biệt thì m ≠ 0 ; ∆ > 0 ∆ = ( m+ 1) 2 –m(m-1) = 3m + 1

∆ > 0 ⇔ 3m + 1 > 0 ⇔ m > - 31 Vậy m > -

3

1 ; m ≠ 0 thì (3) có 2 nghiệm phân biệt

c Ta có 1 1 1

2 1

2 1

x x

x

⇔ - > 1

c b

1

) 1 ( 2

x1= x2 = 1

1

1 2 2

Kết luận giá trị lớn nhất của y là 1 khi x = 1

IV 2 : Giải ph ơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Giáo viên : Dơng Thị Ngọc – Trờng THCS Dũng tiến

Thờng đợc giải bằng cách đa về phơng trình tích hoặc dùng ẩn phụ

Quy về phơng trình bậc hai cần chú ý các dạng sau:

* Phơng trình bậc bốn dạng ax4 +bx3 +cx2 +bx +a =0 (a ≠ 0) -phơng trình đối xứng Cách giải : Vì x = 0 không phải là nghiệm của phơng trình nên ta chia cả hai vế của phơng trình cho x2 rồi đặt: y= x+1x (y ≥ 2 )

* Phơng trình bậc bốn dạng (x+a) (x+b) (x+c) (x+d) = e với a + d = b + c

Để giải phơng trình dạng này ta đặt ẩn phụ t = x2 + (a+d) x + 1

2(ad+bc)Phơng trình trở thành t2 -

2

ad bc 2

ớng dẫn

a 2x4 – 7x2 - 4 = 0 (1) Đặt x 2 = X ( X ≥ 0 ) (1) ⇔ 2X2 – 7X - 4 = 0

Giáo viên : Dơng Thị Ngọc – Trờng THCS Dũng tiến

⇒ X1 = 4 ; X2 = - 12 (loại) Với x 2 = 4 ⇒ x = ± 2

Vậy Phơng trình (1) có 2 nghiệm x1 =2 ; x2 = -2

b Phơng trình có dạng X2 + 8X +15 = 0 (2’) Phơng trình (2’) có 2 nghiệm âm X1 = -5 ; X2 = - 3

- Với y =

2

5 ⇒ x1 = 2 ; x2 =

2 1

- Với y = - 116 ⇒ Phơng trình vô nghiệm trên R Kết luận Phơng trình có 2 nghiệm x1 = 2 ; x2 = 21

ớng dẫn

Cách 1 Điều kiện để căn thức có nghĩa x ≥ 5 (1)

Với x ≥ 7 (2) bình phơng hai vế phơng trình ta đợc x – 5 = (x – 7)2

Giải ra ta đợc x1 = 6 không thoả mãn điều kiện (2)

X2 = 9 Thoả mãn cả hai điều kiện (1) , (2)Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là x = 9

Giải ra ta đợc y1 = -1 (loại ) , y2 = 2Với y2 = 2 ta có x 5 - = 2  x = 9Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là x = 9

IV.5 : Giải ph ơng trình chứa ẩn ở mẫu

Với y1 = - 4 thì x2– x = - 4 vô nghiệm

Với y2 = 0 thì x2– x = 0 <= > x1 = 0 ; x2 = 1

Vậy phơng trình có hai nghiệm x1 = 0 ; x2 = 1

IV.6 Giải hệ ph ơng trình

Đối với các hệ đối xứng hai ẩn ( là hệ mà khi ta thay đổi vị trí của x và y thì

hệ không thay đổi ) Trong trờng hợp này cách thông thờng là đạt S = x+y ; P = xy

Ví dụ 1: Giải hệ phơng trình sau

Giáo viên : Dơng Thị Ngọc – Trờng THCS Dũng tiến

x – y = 5 y =

4 5

- Giải hệ bậc nhất x + y =

2

5 ⇔ x = 2

x – y = 5 y = 3 Vậy hệ đã cho có 2 cặp nghiệm (x = 154 y = 45 );( x = 2; y = 3)

IV 7 Phân tích đa thức thành nhân tử

Ví dụ : Cho tam thức a ƒ(x) = x2 - 8x + 15

b g(x) = 2x2 – 6x +5

c k (x) = x2 - 8x +16 H

Bài 2 : Cho phơng trình 2x2 -3x +m = 0

a Xác định m để phơng trình có mmột nghiệm bằng 3 Tìm nghiệm kia

b Giải phơng trình với m = -5

c Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1 ; x2 Thoả mãn

Giáo viên : Dơng Thị Ngọc – Trờng THCS Dũng tiến

x1 =2 x2 (Đề thi thử tốt nghiệp : 1998 – 1999)

Bài 3 : Cho phơng trình x2 –(m-1) x + m2 – 5 = 0

a Giải phơng trình khi m =-1

b Tìm m để phơng trình có nghiệm ( Đề thi vào 10 - Thái Bình 1999 – 1999)

Bài 4 : Cho phơng trình x2 –2m x + 2m – 1 = 0

a CMR phơng trình luôn có nghiệm với mọi m

b Tìm giá tri của m để phơng trình có 2 nghiệm x1 ;x2

( Đề thi vào 10 - Thái Bình 2000 – 2001)

Bài 6 : Cho phơng trình x2 +3 x + – m2 = 0

a Giải phơng trình với m = 1

b CMR phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấuvới mọi m ≠ 0

c Tìm giá trị của m để một trong các nghiệm của phơng trình bằng 1 Tim nghiệm còn lại

( Tốt nghiệp 2000-2001 )Bài 7 : Cho phơng trình 2 x2 +(2m- 1) x +m – 1 = 0

a Giải phơng trình với m =1 ; m= 2

b CMR phơng trình không thể có 2 nghiệm dơng với mọi m

( Đề thi vào 10 - Thái Bình 2001 – 2002)Bài 8 : Cho phơng trình 2 x2 +2mx +m – 3 = 0

a Giải phơng trình với m =5

b Tìm giá trị của m để phơng trình có 2 nghiệm bằng nhau

( Đề thi tốt nghiệp - 2001 – 2002)Bài 9 : Cho phơng trình x2 – 2(m+ 2)x + m + 1 = 0

a Giải phơng trình khi m = −32

Giáo viên : Dơng Thị Ngọc – Trờng THCS Dũng tiến