HE PHUONG TRINH CAP TOC 2009

HỆ PHƯƠNG TRÌNH A- CƠ BẢN: PHƯƠNG PHÁP THẾ • Từ một pt, tính một ẩn theo ẩn còn lại.. • Thế vào pt còn lại.

HỆ PHƯƠNG TRÌNH A- CƠ BẢN: PHƯƠNG PHÁP THẾ

• Từ một pt, tính một ẩn theo ẩn còn lại.

• Thế vào pt còn lại.

B- ĐỐI XỨNG LOẠI I ( S; P) : thay đổi x và y cho

nhau thì từng pt của hệ ko thay đổi.

 Đặt S = x +y ; P = xy (đk: S 2≥ 4P)

 Đưa về hệ theo S; P→ (S; P)

 Vậy x, y là 2 nghiệm của pt X 2 –SX +P = 0

C- ĐỐI XỨNG LOẠI II : thay đổi x và y cho nhau

thì pt này trở thành pt kia của hệ.

 Trừ vế theo vế 2 pt

 Ta có pt tích (x–y) F(x; y) = 0

 Ta chia 2 trường hợp:

* x = y

* F(x;y) = 0 (thường vô nghiệm)

D- ĐẲNG CẤP: các số hạng trong hệ có cùng bậc

 Xét x = 0 → thế vào hệ tìm y

 Xét x ≠ 0 → đặt y = k.x→ thế vào hệ→ k → x; y

E- HOÁN VỊ VÒNG QUANH :

( ) ( ) ( )

x f y

y f z

z f x

ìï = ïï

ïï = íï

ïï = ïïî

 Xét hàm số f(t) → f(t) luôn đồng biến (hoặc luôn

nghịch biến) trên khoảng D.

 Với x, y, z ∈ D, từ tính đơn điệu của f(t) trên D

ta suy ra x = y = z.

 Thế vào hệ → giải pt x = f(x) trên D.

Trích đề thi ĐH – CĐ (2002–2008)

A– Cơ bản:

1) (A–03)

3

(1)

y x

 − = −







(1) ⇔

(2) (2)

1;

2 1

ê

ê

ê

ê

2) (B–02)

2 (2)





(1)⇔

(2)

(2)

1

ê

ê

ê

3 2 4







Đặt u = u= 2x+y+1³ 0;v= x+y ³ 0

(2; 1) 1

5

v

u v

î

4) (D1–06)

3( ) 7( )

x xy y x y

x xy y x y

 − + = −



 + + = −

u x y

v xy

= -ìïï

í = ïïî 2 2

1; 2 (2;1),( 1; 2) 2

u v

v u

ïî

5) (D–02)

3 2

1

2 5 4 (1)

4 2

(2)

2 2

x

x x x

y

+



=

(2) ⇔ 2 x = y >0 ¾¾¾(1) ®(0;1),(2; 4)

3log (9 ) log 3 (2)





(2) ⇔ x = y ¾¾ ¾¾(1) +ñk ®(1;1),(2;2)

2 2

1 log ( ) log 1 (1)

y x

y

x y





 + =



4

n y

x= ¾¾¾¾¾®+ñieáu kieä

ln(1 ) ln(1 ) (1)

12 20y =0 (2)

+ − + = −



 − +



(2) ⇔ x= 2y; x = 10y → x và y cùng dấu Xét f(t) = ln(1+t) – t (t > –1); (1) ⇔ f(x) = f(y)

Từ tính đơn điệu của f(t)→ x = y → ĐS: (0; 0)

9) D08)  + + = −





2 2 2 (1)

(1) ⇔ (x+y)(x–2y–1) = 0 ¾¾¾¾¾®ñk:x 1;y 0³ ³ x= 2y+1 (2)

(5;2)

10) (A08)

4 2

5 4 5 (1 2 )

4







Đặt

2

2

5 (1) 4

4

u v uv

u x y

ìï + + = -ï

3 3 (2)

2

5

-ê ê

-ê

11) (B–08)  + + = +

 + = +



2

(2) ⇔ xy = 3 3 2 (1) ( 4;17)

x

x + - ¾¾¾®

-12) (B2–08)

3

4

-ïïï

ïïî

Thế (2) vào (1)⇒ x- 1- (x- 1)2+x3- 8=0 (x ³ 1)

Cách 1: đặt t = x - 1→ t =1 → (2; 1) Cách 2: f(x) = x- 1- (x- 1)2+ x3- 8 (x ³ 1)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

→ f(x) đồng biến ∀x > 1→ x =2 là nghiệm duy nhất

.

1 1 4 (2)







Bình phương 2 vế pt(2)→ pt(3)

Đặt t = xy ¾¾¾(1)®x+ y= +t 3; thay vào (3) → t =3

⇒ đáp số (3; 3)

B- Đối xứng loại I (S; P)

14) (A1–05)

( 1) ( 1) 2

x y x y

x x y y y

 ( 2; 2),( 2; 2),

(1; 2),( 2;1)

15) (CĐ–06) 2 y =82

xy(x+1)(y+1)=12

x y x

 + + +







16) (A1–06)  + ++ + − =+ =



2 2

x y y x y

Cách 1: (1)⇒ y ≠ 0 chia 2 pt cho y→ đặt

2 1

2

x u y

v x y

ï = ïïï íï

ï = + -ïïỵ

→

2

1 (1;2),( 2;5)

u v

u v

u v

-íï =

ïỵ

Cách 2: Thay y từ (2) vào (1)→ y+x–2=1 ⇒ (1;2), (–2;5)

17) (A2–07)

4 3 2 2

1



Đặt u = –x 2 ; v = xy →

0 1

u

u v uv

v

u v uv

ỵ

→ đáp số (1; 0), (–1; 0)

C- Đối xứng loại II

18) (B–03)

2 2 2 2

2 3

2 3

y y x x x y





19) (ĐH –99)

2

2







x

y x y

x y

( 2; 2),( 2; 2)

(1;1), (-1;-1)

20) (A1–07)

−

−







y x

x x x

y y y Đặt u =x –1; v =y –1 Lấy (1)–(2)→ pt (3): f(u) =f(v)

Với hàm số f(t) = t+ t2+1+ 3t → đồng biến → u = v

→ g(u)= 2 1 1

3u

u+ u + - =0; g(u) nghịch biến ⇒ u =0 là

nghiệm duy nhất ⇒ x = y =1

21) (B2–07)

2 2

3

2 2

3

2 9

2 9

x x

y y







Cách 1: (1)– (2) → (x–y).A = 0 (A ≠ 0 )⇔ x = y→ (0; 0), (1; 1) Cách 2: (1)+(2)→ 2 2

2

xy

2 +y 2

2 xy

V P ³ ³ V T vì 3 2 3 2

→ x = y =0; x= y = 1

22) B1–07) CMR 2

2

2007 (1)

1

2007 (2)

1

x

y

y e

y x e

x

ìï =

-ïí

ï = -ïï

-ỵ

có đúng 2 n 0

0 0

x y

>

ìïï

í >

ïïỵ

Từ x>0; y > 0 ⇒ x>1; y>1 Lấy (1) –(2) → (3): f(x) = f(y), Với f(t) = 2 ( 1)

1

t t

t

- → f(t) đồng biến ∀ t >1 ⇒ x =y

→ g(x) = 2 2007 0

1

e x

- → g”(x) > 0 ; kết hợp tính liên tục của hàm số ⇒ đpcm

23) HSG)

2 2

ïïï

ïïỵ

Đk: x> –1/2; y>–1/2 Lấy (1) –(2)→ f(x) = f(y) Với f(t) = 2 4 ln(2 1) ( 1)

2

t + t+ t+ t > - → f đồng biến → x = y

→ g(x) = x2+ 2x+ ln(2x+1)=0 ; g(x) đồng biến ⇒ x = 0 là nghiệm duy nhất ¾¾¾® thư ûlại Đáp số x = y = 0

D- Hệ đẳng cấp:

24)

3 3

-ïïï

ïïỵ

a)Giải hệ phương trình khi m = 3 b)Tìm m để hệ phương trình co ùnghiệm

* x = 0 ⇒ y 2

= 3= 3- m ⇒ m = –9

* x ≠ 0→ y = tx → 2 2

t t m

t t

= + + (t∈¡ ) (*) Cách 1: KSHS f(t) = 22

1

t t

t t

+ + →- -3 4 3££m - +3 4 3

Cách 2: (*) → pt b2 theo t D ³

¾¾ ¾ ¾ ¾®ĐKCN : 0 đáp số

25) Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x 2 –xy +y 2≤ 3 Chứng minh: - 1 2 7- £x2+xy- 2y2 £- 1+2 7

E- Hệ hốn vị vịng quanh

HỆ PHƯƠNG TRèNH

26) D2–08)

x y x y

y z y z

z x z x

ùù

ớù

ùùợ

⇔

2 2

2 2

2 2

60

60

60

x

y

x

y

z

y

z

x

z

ỡù =

ùù

ùùù =

ùù

ùù =

ùợ

→ x; y ; z khụng õm

* x=0 ⇒ y =z =0 ⇒ x=y=z=0 là 1 nghiệm của hệ.

* x>0 ⇒ y >0; z > 0

Xột f(t) = 602 2

t

t + → f đồng biến ⇒ x = y = z= 56 là 1 n 0

27) HSG)

1 1

1 1

1 1

y x

x z y

y x z

z

ùù = + ùù

ùù

ớù ùù

ùùợ 3 3 : , , 1

3

1 1 1

NX x y z

y x x

z y y

x z z

>

ỡù = - -ùù

ùù = -

-ắắ ắ ắ ắđớ

ùù

ù = -ùùợ

Xột f(t) = t 3 –t–1 đồng biến trờn (1; +∞) → x =y = z = 1 5

2 +

ThS HỒ LỘC THUẬN

28) HSG)

ùù

ớù

ùùợ

(x=y=z=3)

29) (A2–06)

3 3( 1)







(3;1),( 3; 1), 4 6; 6 , 4 6; 6

30) (B2–06)

2 2

2 2

( )( ) 13 ( )( ) 25

 ( (3;2), (–2;–3) )

31) (D1–04)

1

2x y 2x

x y

 (x=y=–1; x=1,y=0)

32) (A1–03) log log

x y





3 log 2

33) (B1–02)





 ((1;1), (9;3))

34)

2

( 1)( 1) 3 4 1 1





+ + =

 (1;–1), (–2; –

5

2 )

35) Tỡm m ủeồ heọ coự nghieọm

x y

x y

 + + + =







36)

37)

2

2 2

(5 4)(4 )

5 4 16 8 16 0





 (4;0), (0;4), (–4/5; 0)