Mỗi bộ đó được gọi là một nghiệm của 1.. Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu hệ nọ là hệ quả của hệ kia và ngược lại... Tính chất c là cơ sở của phép thế.. Hệ phương trình tu
Trang 1Bài 6 Hệ phương trình
Giả sử t (x, y, z, , u, v) , 1 f (x, y, z, , u, v) là các hàm số của n các biến số x, y, v Giải hệ phương trình
1
2
n
f (x, , v) 0
f (x, , v) 0
f (x, , v) 0
=
(1)
tức là tìm tất cả các bộ có thứ tự (x , y , , v ) sao cho khi o o o thay vào (1) ta được các đẳng thức Mỗi bộ đó được gọi là một nghiệm của (1) Ta bảo rằng hệ phương trình
1
m
g (x, , v) 0
g (x, , v) 0
=
(2)
là hệ quả của hệ (1) nếu mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của (2) Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu hệ nọ là hệ quả của hệ kia và ngược lại Ta có các khẳng định sau :
(a) Nếu trong hệ (1) ta đổi chỗ hai phương trình cho nhau thì ta được hệ tương đương với (1)
(b) Nếu trong (1) ta thay một phương trình bởi phương trình tương đương với nó thì hệ mới tương đương với (1)
(c) Nếu f = 01 tương đương với x = h(y, z, , v) thì hệ 2
n
f 0
x h(y, ,
=
=
=
tương đương với (1)
(d) Nếu c , , c1 n là các số bất kì và c ≠ thì hệ 1 0
2
n
c f c f c f 0
=
=
Trang 2tương đương với (1)
Tính chất (c) là cơ sở của phép thế
1 Hệ phương trình tuyến tính hai ẩn Đó là hệ dạng
a x b
2
y c
a x b y c
trong đó a12 +b12 ≠ 0, a22+b22 ≠0
a) Nếu 1
a ≠ b1 thì hệ (2) có nghiệm duy nhất mà có thể giải bằng phếp thế 1 1
1
(c b y) x
a
−
b) Nếu 1 1
a =b ≠c1
2 thì (2) vô nghiệm
c) Nếu 1 1
a =b =c1
2
0
và a1≠ thì hệ có vô số nghiệm dạng
1
(c b y)
a
−
=
Ví dụ 1 Giải hệ 4x 2y 3
x y 4
+ =
Từ phương trình thứ hai, y = 4 − 2x Từ đó
(3) ⇔ 4x 2y 3
y 4 x
= −
4x 2(4 x) 3
y 4 x
= −
2x 5
y 4 x
= −
= −
5
x
2
5
y 4
2
= −
= +
Đáp số : 5 13,
−
Ví dụ 2 : Giải và biện luận
Trang 32ax a y 3
2x ay 3
(4) ⇔ 2ax a y2 3
2x 3 ay
= −
3a 3 2x 3 ay
=
a) a ≠ 1 hệ vô nghiệm
b) a = 1 hệ có vô số nghiệm dạng
3 y
, y , y
2
Ví dụ 3 Giải và biện luận
ax (a 1)y 1
(a 1)x (5 3a)y 0
(a) a = 0, (5) ⇔ y 1
x 5y
= −
=
= −
= −
(b) a ≠ 0, (5) ⇔
[1 (a 1)y]
x
1 (2a 5a 1)y a a
− −
=
(6)
Dễ dàng thấy rằng với a (5 17)
8
±
= hệ (6) vô nghiệm
Với a ∉ 0, (5 17) (5, 17)
2a 5a 1 2a 5a 1
Đáp số :
{( 1,− −5)} với a = 0
2
,
5 17 ,
8
∉
Trang 4Chú ý Đối với phương (1), nếu 1 1
1 2 2 1
thì (1) có nghiệm duy nhất
x
y
Ví dụ 4 Tìm các số a, b, c sao cho hệ
5a 7y 15
ax by c
+ =
Vô nghiệm, còn phương trình ax + by = c có nghiệm x = 4, y =
1
Giải Cần chọn a, b, c sao cho
vµ
5 7 15
4a b c
= ≠
+ =
Có thể lấy a = 5, b = 7, c = 4.5 + 7 = 27
Ví dụ 5 Tìm a sao cho mỗi nghiệm (x, y) của hệ
x y a
2x y 3
+ =
− =
thỏa mãn điều kiện x > y
Giải (8) ⇔ 3x a 3
3y 2a 3
= +
= −
(a 3) x
3 (2a 3) y
3
+
=
=
Điều kiện x > y ⇔ a + 3 > 2a − 3 ⇔ a < 6
2 Hệ phương trình đối xứng
Giả sử f(x, y), g(x, y) là các đa thức hai biến
Hệ f(x, y) 0
g(x, y) 0
=
Trang 5được gọi là hệ đối xứng loại 1 nếu f và g là các đa thức đối xứng nghĩa là f(x, y) = f(y, x), g(x, y) = g(y, x) với mọi x, y ∈ R
Hệ (9) được gọi là hệ đối xứng loại 2 nếu
f(x, y) = g(y, x) với mọi x, y
2.1 Hệ đối xứng loại 1
Ví dụ 6 Giải hệ x2 3xy y2 61
xy 12
=
Giải (10) ⇔ (x y)2 xy 61
xy 12
=
Đặt u = x + y, v = xy Khi đó (11) có dạng
2
v 12
+ = 1
=
2
v 12
= 9
=
(10) ⇔
x y 7
xy 12
xy 12
+ =
+ = −
=
Khi đó x, y là các nghiệm của các phương trình bậc hai sau
2
t + +7t 12= 0
Đáp số (x, y) ∈ {(3, 4), (4, 3), (−3, −4), (−4, −3)}
Chú ý Đối với hệ đối xứng loại 1, ta thường đặt u = x + y và v
= xy để đến hệ đối với u, v
Ví dụ 7 Giải hệ 3 3
3
+ =
=
(10) ⇔ (x, y)∈{ (32,33 ,) (33,32) }
Ví dụ 8 Giải hệ x3 x y3 3 y3 17
x xy y 0
Đặt u = x + y, v = xy và sử dụng đẳng thức
Trang 63 3 3 3
x +y =(x+y) −3xy(x+y)=u −3uv
7
Thay vào (11) ta có hệ
u v 0
+ =
17 uv
3
u v 0
= −
+ =
Từ đó, ta có u1 17
3
3
3
= − , v2 17
3
(11) ⇔
17
x y
3 17 xy
3
+ =
= −
∨
17
x y
3 17 xy
3
+ = −
(vô nghiệm)
Hệ đầu có hai nghiệm
51 12 51 51 51 12 51 51
,
51 12 51 51 51 12 51 51
,
2.2 Hệ đối xứng loại 2
Ví dụ 8 Giải hệ
3 3
(1) ⇔ 3 3
⇔ x y 0
x y 0,
+ =
− =
x y 0,
− + =
− =
x y 0
x xy y 4,
+ =
Hệ (2), (3), (4) cho tập hợp nghiệm là M = {(0, 0), ( 2,± ∓2), (± 6,± 6}
Trang 7(5) ⇔ x2 y2 5
xy 1
+ =
= −
1 x y
= −
⇔
1 x y
y
2
= −
±
= ±
⇔
2
2
±
x
y
=
= −
∨
2 x
5 21 y
2
= −
±
=
1
Đáp số : Tập nghiệm là
Ví dụ 9 Giải hệ
2 2
+ =
+ =
2
(x y)(x y 1) 0
+ =
2
x y 0
+ =
− =
2
x y 1
+ =
+ =
2
x y
=
+ − =
y 1 x
= −
0
− =
⇔ (x, y) ∈ (0,1), (1,0), 1 5, 1 5
Ví dụ 10 Giải hệ
3 3
với 2b > a > 0
Giải Đây là hệ đối xứng loại hai Có thể giải như sau :
Trang 8(7) ⇔ 3 3
(x
) 0
Từ đó ta có 4 hệ sau
(a) x y 0
x y 0
+ =
− =
x y 0
+ =
x y 0
− + = +
− =
(d)
+
−
=
Giải a) thu được nghiệm (0, 0)
= −
= −
b
= −
Từ đó nếu a − b < 0 thì (8) vô nghiệm,
nếu a − b ≥ 0 thì (8) có nghiệm
(x, y) ∈ { ( a−b,− a−b ,) (− a−b, a−b) }
2
y x
=
b
= +
{ a+b, a+b , − a+b,− a+b }
(d) ⇔ x2 y2 a
xy b
+ =
= −
2 (x y) a 2b
xy b
+ = − <0
= −
Vậy nếu a − b ≥ 0 thì hệ (7) có các nghiệm
(0, 0), ( a+b, a+b), (− a+b,− a+b), ( a−b,− a−b), (− a−b, a−b)
nếu a − b < 0 thì hệ có các nghiệm
(0, 0), ( a+b, a+b), (− a+b,− a+b)
Trang 92.3 Hệ thuần nhất : có dạng
a x b
2
y c xy d
a x b y c xy d ,
có thể giải bằng cách nhân phương trình đầu với , phương trình thứ hai với rồi trừ vế với vế để làm triệt tiêu vế phải (ở đây phải coi rằng
2 d 1
d
d d1 2 ≠0)
Ví dụ 11 Giải hệ
10x +3xy 4y− = 0 (11)
Vì y = 0 không thỏa mãn (10) với mọi x nên từ (11) ta có
2
+ − =
0,8 x
y 0,5
−
=
Do đó
(10) ⇔
x 0,8 y
x
0, 5 y
x 2xy 3y 17
= −
=
Hệ đầu cho
4 x
3 5
3
=
= ±
∓
Hệ sau cho x 1
y 2
= ±
= ±
Trang 10Đáp số : 4 , 5
,
, (1, 2) và (−1, −2)
Ví dụ 12 Giải hệ x2 xy y2 4
x xy y 2
+ + =
Từ phương trình thứ hai của (12) ta có x + y = 2 − xy
Từ đó x2+2xy y+ 2 = −4 xy (xy)+ 2 Do đó (12) có dạng
2 2
(13) ⇒ 5xy = (xy) ⇒ 2 xy 0
xy 5
=
=
Từ đó ta có hai hệ
a) xy 0
x y 2 xy
=
+ = −
x 0
y 2
=
=
x 2
y 0
=
=
b) xy 5
x y 2 xy
=
+ = −
2
5 x y
y 3y 5 0
=
(vô nghiệm)
Thử lại, ta có tập nghiệm {(0, 2), (2, 0)}
2.4 Hệ không đối xứng
Đối với hệ không đối xứng nói chung không có cách đặc biệt nào cho tất cả mọi loại Ta phải dựa vào tính đặc thù của mỗi loại
Ví dụ 13 Giải hệ
Từ mỗi phương trình không thể dễ dàng tính x theo y hoặc y theo x Tuy nhiên nếu nhân phương trình đầu với 3, phương trình thứ hai với 2 rồi trừ cho nhau ta được
y + 3x = 5
Trang 11Sau khi thay y = 5 − 3x vào phương trình đầu ta được phương trình bậc hai đối x Sau khi giải ta dược x = 2 và 12
7
=
x Từ đó,
nghiệm của (13) là (2, −1), 12, 1
Ví dụ 14 Giải hệ
Chú ý rằng y ≠ 0 và nếu y = 0 thì −2x = 0 và do đó 3 = 0 vô lí
2
≠
⇒
2
xy
2(x 1) 1 y
− = − −
3
− ≥
⇒ 1 y 1
− ≤ ≤
≤ −
Từ đó, (14) ⇒
= −
⇔
2 2
= −
⇔
⇔
2
(x 1) 0
− =
= −
x 1
y 1
=
= −
Thử lại (1, −1) là nghiệm
Ví dụ 15 Giải hệ
Trang 122 2
2 2
1 x
4x
y
(15)
Giải Đặt s=x2+y2− 1, t x
y
= ta có
3 2
1
2 t
s 1 4t 22
+ =
+ + =
⇔
3 2
1
s t
s 21 4t
+ =
= −
⇒ 2t2 13t 21 0
s 21 4t
t 3, 5
t 3
s 21 4
=
=
= −
t 3, 5
s 7
=
=
t 3
s 9
=
=
Từ đó ta có hai hệ
a)
2 2
x
3, 5
y
=
53
4
x 3, 5y
=
⇒
32 y
53
7 8 x
53
= ±
= ±
b)
2 2
x
3
y
=
x 3y
+ =
=
2
x 3y
=
=
= ±
= ±
Thử lại, ta có tập nghiệm
53
Ví dụ 16 Giải hệ
(16)
Giải Tập xác định x ≠ 0, y ≠ 0 Quy đồng mẫu số ta đi đến
Trang 133
81xy (2x y) 2x y
91 xy (2x y) 2x y
91
⇔
4 / 3
4 / 3
81xy (2x y)
91 xy (2x y)
91
(17)
Vì x, y ≠ 0 nên 2x − y ≠ 0 Từ đó và (17) ta có
4 / 3
2x y
81 2x y
+
−
2x y
27
2x y
+
= ±
− Khi đó đi đến giải hai hệ sau :
a)
4 / 3
2x y
27
2x y
xy (2x y)
91
+
7y x 13
=
=
⇒ x 6,5
y 14
= ±
= ±
Thử lại ta có tập nghiệm
{(7, 13), (−7, −13), (6,5 ; 14), (−6,5 ; −14)}
Ví dụ 17
x 2y 18
7
7 (18)
Giải Điều kiện
2 2
2 2
≠
⇔ |x| ≥ |y| > 0
Phương trình đầu cho ta
4
= ±
Từ đó ta có hai hệ
Trang 14a)
3x
y
4
=
⇔
3
3x y 4 59x 32.18
=
⇔
3
3
9
x 4
59 9
y 3 59
=
=
b)
3x
y
4
= −
3
3x y 4 5x 32.8
= −
3
x 1,8
y 3 1,8
=
= −
Thử lại, ta có 2 nghiệm
4 9 4 9
4 , 3
, (4 1,8,3 −3 1,83 )
Ví dụ 18 Giải hệ
| x y | x y a
| x y | x y b
− = + +
Giải a) Nếu x ≥ −y và x ≥ y ta có
x y x y a
x y x y b
+ = − +
− = + +
a y 2 b 2
=
= −
⇒ a = −b
mà x ≥ −y và x ≥ y
x ≥ | a |
2 , y a
2
= b) Nếu x ≤ −y, x ≥ y thì
x y x y a
x y x y b
− − = − +
− = + +
a x 2 b y 2
= −
= −
Với điều kiện y ≤ x ≤ −y ta phải có b ≥ |a|
c) Nếu x ≥ −y, x ≤ y thì
Trang 15x y x y a
y x x y b
+ = − +
− = + +
a y 2 b x 2
=
= −
Với điều kiện −y ≤ x ≤ y phải có a b
a 2
− ≤ − ≤ ⇒ a ≥ |b|
d) Nếu x ≤ −y, x ≤ y thì
x y x y
y x x y b
− − = −
− = + +
a x 2 b y 2
= −
= −
⇒ a = b
Từ điều kiện x ≤ −y và x ≤ y nên a = b ≥ 0 Khi đó x a
2
= − ,
y
− ≤ ≤
Kết luận : với a = −b, x ≥ | a |
2 , y a
2
= ,
với a ≥ |b|, x = b
2
− , y a,
2
=
với b ≥ |a|, x a,
2
2
= − ,
với a = b ≥ 0, a
2
= −
x , a y a
− ≤ ≤
Ví dụ 19 Giải hệ
Giải
a) Nếu (x, y) là nghiệm của (20) và xy = 0 thì x = y = 0
b) Nếu xy ≠ 0 thì chia phương trình đầu cho xy còn phương trình sau cho x2 2y , ta nhận được
Trang 162 2
+ + + =
(21)
Đặt u = x 1
x
+ , v = y 1
y + Khi đó (21) có dạng
2 2
u v 18
+ =
⇔ (u, v) ∈ {(4, 14), (14, 4)}
Thay vào ta có hai hệ
1
x
1
y
+ =
+ =
và
1
x 1 4
y
+ =
+ =
Giải hai hệ trên kết hợp với nghiệm (0, 0) ta được 9 nghiệm : (0, 0), (2+ 3, 7 4 3+ ), (2+ 3, 7 4 3),− (2− 3, 7 4 3)+ , (2− 3, 7 4 3)− , (7 4 3, 2+ + 3), (7 4 3, 2+ − 3), (7 4 3, 2− + 3), (7 4 3, 2− − 3)