hàm số - giới hạn - liên tục

Hàm số liên tục... Cũng có thể áp dụng cho trường hợp trong phân thức có chứa dấu căn... Khi gặp biểu thức có chứa dấu căn, ta có thể nhân với lượng liên hợp để khử căn, đồng thời cũng

Chương 4

HÀM SỐ – GIỚI HẠN – LIÊN TỤC

$1 Các hàm số sơ cấp cơ bản

$2 Giới hạn của hàm số

$3 Hàm số liên tục

$1 CÁC HÀM S S C P C B N : Ố SƠ CẤP CƠ BẢN : Ơ CẤP CƠ BẢN : ẤP CƠ BẢN : Ơ CẤP CƠ BẢN : ẢN :

1) Hàm số lũy thừa y = x,   R

2) Hàm số mũ y = a x , a > 0 và a  1

( a gọi là cơ số )

$1 CÁC HÀM S S C P C B N : Ố SƠ CẤP CƠ BẢN : Ơ CẤP CƠ BẢN : ẤP CƠ BẢN : Ơ CẤP CƠ BẢN : ẢN :

3) Hàm số logarit y = log a x , a > 0 và a  1 :

( a gọi là cơ số )

 Là hàm ngược của hàm số mũ y = ax

 y = logax  x = ay, với x > 0 và y  R

 x  alog a x , x > 0

$1 CÁC HÀM S S C P C B N : Ố SƠ CẤP CƠ BẢN : Ơ CẤP CƠ BẢN : ẤP CƠ BẢN : Ơ CẤP CƠ BẢN : ẢN :

4) Các hàm lượng giác :

a) Hàm số y = sinxb) Hàm số y = cosxc) Hàm số y = tgxd) Hàm số y = cotgx

$1 CÁC HÀM S S C P C B N : Ố SƠ CẤP CƠ BẢN : Ơ CẤP CƠ BẢN : ẤP CƠ BẢN : Ơ CẤP CƠ BẢN : ẢN :

5) Các hàm lượng giác ngược :

a) Hàm số y = arcsinx :

arccos

x

x y

arcsin

x

x y

$1 CÁC HÀM S S C P C B N : Ố SƠ CẤP CƠ BẢN : Ơ CẤP CƠ BẢN : ẤP CƠ BẢN : Ơ CẤP CƠ BẢN : ẢN :

c) Hàm số y = arctgx :

Ta có :

d) Hàm số y = arccotgx :

Ta có :

gx arc





y

tgy x

$1 CÁC HÀM S S C P C B N : Ố SƠ CẤP CƠ BẢN : Ơ CẤP CƠ BẢN : ẤP CƠ BẢN : Ơ CẤP CƠ BẢN : ẢN :

* Ghi nhớ :

Hàm số có được từ các hàm số sơ cấp

cơ bản, bằng cách thực hiện một số hữu hạn các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và phép lấy hàm hợp là hàm số sơ cấp

$2 GI I H N C A HÀM S : ỚI HẠN CỦA HÀM SỐ : ẠN CỦA HÀM SỐ : ỦA HÀM SỐ : Ố SƠ CẤP CƠ BẢN :

2.1 Giới hạn của hàm số tại 1 điểm :

0

$2 GI I H N C A HÀM S : ỚI HẠN CỦA HÀM SỐ : ẠN CỦA HÀM SỐ : ỦA HÀM SỐ : Ố SƠ CẤP CƠ BẢN :

2) Định nghĩa 2 :

 Nếu khi x  x0 từ bên trái (tức x < x0),

ta có giới hạn trái :

Ký hiệu :

 Nếu khi x  x0 từ bên phải (tức x > x0),

ta có giới hạn phải :

Ký hiệu :

a x

lim

0

a x

0

$2 GI I H N C A HÀM S : ỚI HẠN CỦA HÀM SỐ : ẠN CỦA HÀM SỐ : ỦA HÀM SỐ : Ố SƠ CẤP CƠ BẢN :

neáu ,

0 x

neáu ,

3

1

2 )

(

x

x x

f

)(

lim

0 f x

x

a x

fx



) (

lim

0

)(

0

$2 GI I H N C A HÀM S : ỚI HẠN CỦA HÀM SỐ : ẠN CỦA HÀM SỐ : ỦA HÀM SỐ : Ố SƠ CẤP CƠ BẢN :

2.2 Các giới hạn cơ bản :

1

sin lim

1 lim

$2 GI I H N C A HÀM S : ỚI HẠN CỦA HÀM SỐ : ẠN CỦA HÀM SỐ : ỦA HÀM SỐ : Ố SƠ CẤP CƠ BẢN :

1

1 lim

0 với ,

1 (

log lim

0

1

)1

$2 GI I H N C A HÀM S : ỚI HẠN CỦA HÀM SỐ : ẠN CỦA HÀM SỐ : ỦA HÀM SỐ : Ố SƠ CẤP CƠ BẢN :

e x

lim 5).

0

$2 GI I H N C A HÀM S : ỚI HẠN CỦA HÀM SỐ : ẠN CỦA HÀM SỐ : ỦA HÀM SỐ : Ố SƠ CẤP CƠ BẢN :

* Ghi nhớ :

Trong một số giới hạn trên, ta có thểthay x bởi (x) sao cho (x)  0 khi x  x0.Chẳng hạn :

với (x)  0 khi x  x0

1)

(

)(

sinlim

$2 GI I H N C A HÀM S : ỚI HẠN CỦA HÀM SỐ : ẠN CỦA HÀM SỐ : ỦA HÀM SỐ : Ố SƠ CẤP CƠ BẢN :

Ví duï 1 : Tìm

Ví duï 2 : Tìm

) 4 1

ln(

1 lim

cos lim

BÀI T P : Gi i h n c a hàm s ẬP : Giới hạn của hàm số ới hạn của hàm số ạn của hàm số ủa hàm số ố

* Một số phương pháp khử dạng vô định :

Ta thường gặp các dạng vô định như sau :

Khi g p một gi i h n có d ng vô đ nh,ặp một giới hạn có dạng vô định, ới hạn có dạng vô định, ạn có dạng vô định, ạn có dạng vô định, ịnh,

ta cần biến đổi để khử dạng vô định

,





, 0

0    , 0  , 00 , 0 , 1

BÀI T P : Gi i h n c a hàm s ẬP : Giới hạn của hàm số ới hạn của hàm số ạn của hàm số ủa hàm số ố

1) Tìm trong đó P(x) và Q(x) là

hai đa thức theo x :

Ta chia P(x) và Q(x) cho xk, với k là bậc của Q(x)

Cũng có thể áp dụng cho trường hợp trong phân thức có chứa dấu căn

) (

)

( lim

x Q

x

P

x 

)

dạng

(





BÀI T P : Gi i h n c a hàm s ẬP : Giới hạn của hàm số ới hạn của hàm số ạn của hàm số ủa hàm số ố

Bài 2.1 : Tìm giới hạn :

12

1lim

)

1

2 3

2 3

x

x

18

1lim

x

x

BÀI T P : Gi i h n c a hàm s ẬP : Giới hạn của hàm số ới hạn của hàm số ạn của hàm số ủa hàm số ố

2) Tìm trong đó P(a) = Q(a) = 0 :

Ta phân tích P(x) và Q(x) thành nhân tử, trong đó có nhân tử chung là x – a

) (

)

( lim

x Q

(

0 0

BÀI T P : Gi i h n c a hàm s ẬP : Giới hạn của hàm số ới hạn của hàm số ạn của hàm số ủa hàm số ố

Bài 2.2 : Tìm giới hạn :

6

2

3 lim

).

3

2

2 3

x

x

3 4

1 lim

1 lim

20 2

2 ( 12 16 )

) 2

( lim

BÀI T P : Gi i h n c a hàm s ẬP : Giới hạn của hàm số ới hạn của hàm số ạn của hàm số ủa hàm số ố

3) Khi gặp biểu thức có chứa dấu căn,

ta có thể nhân với lượng liên hợp để khử căn, đồng thời cũng khử được dạng vô

định hoặc có thể sử dụng công thức (6) :

) hoặc

dạng

0 0

Bài 2.3 : Tìm giới hạn :

1

1 lim

cos

1 lim ).

1 lim

Bài 2.4 : Tìm giới hạn :

x

x

x

2 2

lim)

x

x

x lim ).

4

BÀI T P : Gi i h n c a hàm s ẬP : Giới hạn của hàm số ới hạn của hàm số ạn của hàm số ủa hàm số ố

4) Khi gặp giới hạn có dạng vô định 1 thì ta biến đổi để đưa về dạng công thức (5) hoặc sử dụng công thức sau :

0

) (

x x

x x

e x







Bài 2.5 : Tìm giới hạn :

2

2

1

1 lim

$3 HÀM S LIÊN T C : Ố SƠ CẤP CƠ BẢN : ỤC :

3.1 Hàm số liên tục tại một điểm :

1) Định nghĩa 1 :

Cho hàm số f(x) xác định trên 1 lân cận của điểm x0 Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại x0, nếu :

)(

)(

0

x f

x

f

x

$3 HÀM S LIÊN T C : Ố SƠ CẤP CƠ BẢN : ỤC :

0,

sin)

(

x

x x

x x

f

neáu

,

neáu

$3 HÀM S LIÊN T C : Ố SƠ CẤP CƠ BẢN : ỤC :

)(

0

x f

x

f

x

$3 HÀM S LIÊN T C : Ố SƠ CẤP CƠ BẢN : ỤC :

b).Hàm số f(x) được gọi là liên tục bên phải tại x0, nếu :

3) Định lý :

Hàm số f(x) liên tục tại x0  f(x) liên tục trái và liên tục phải tại x0

)(

)(

0

x f

x

f

x x







$3 HÀM S LIÊN T C : Ố SƠ CẤP CƠ BẢN : ỤC :

Ví dụ :

Cho hàm số :

Xét sự liên tục của hàm số tại điểm x = 1 ?

nếu

,

nếu

,

1

1 )

x ax

x

x x

f

$3 HÀM S LIÊN T C : Ố SƠ CẤP CƠ BẢN : ỤC :

3.2 Hàm số liên tục trên một khoảng, một đoạn :

1) Định nghĩa :

Cho hàm số f(x) Ta nói :

a) Hàm số f(x) liên tục trên (a ; b) nếu f(x) liên tục tại mọi x  (a ; b)

$3 HÀM S LIÊN T C : Ố SƠ CẤP CƠ BẢN : ỤC :

b) Hàm số f(x) liên tục trên [a ; b]

nếu f(x) liên tục trên (a ; b) và liên tục

phải tại a, liên tục trái tại b

Bài 2.6 : Xét sự liên tục của các hàm số

sau đây :

tại điểm x = 2 ?

nếu

,

nếu

4)

()

1

2

x a

x x

x x

f

BÀI T P : Hàm s liên t c ẬP : Giới hạn của hàm số ố ục

tại điểm x = 1 ?

nếu

,

nếu

1

1)

()

x a

x e

x

BÀI T P : Hàm s liên t c ẬP : Giới hạn của hàm số ố ục

Bài 2.7 : Xét sự liên tục của các hàm số

sau đây :

trên toàn trục số ?

x

nếu

,

x nếu

1

, 2

cos )

( ).

1

x

x x

f



BÀI T P : Hàm s liên t c ẬP : Giới hạn của hàm số ố ục

trên miền xác định của nó ?

2 x

1 nếu

,

0 nếu

( ).

2

x

x

x x

f

BÀI T P : Hàm s liên t c ẬP : Giới hạn của hàm số ố ục

Bài 2.8 : Cho hàm số :

nếu

,

nếu

nếu

22

,sin

2

,sin

2)

x B

x A

x x

x f

BÀI T P : Hàm s liên t c ẬP : Giới hạn của hàm số ố ục

Phải chọn các số A và B bằng bao nhiêu để hàm số f(x) liên tục trên toàn trục số ?

BÀI T P : Hàm s liên t c ẬP : Giới hạn của hàm số ố ục

Chương 4

HÀM SỐ – GIỚI HẠN – LIÊN TỤC

Kết thúc chương 4