Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b.. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b.. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b.. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
Trang 1Chương trỡnh học trực tuyến trờn Xuctu.com
Thầy giỏo: Nguyễn Quốc Tuấn- Email: quoctuansp@gmail.com
Đạ i số và giải tớch 11-Chương 5: Đạo hàm
Đạ o hàm và ứng dụng của đạo hàm hàm số
A Lý thuyết
1 Định nghĩa về đạo hàm
+ Cho hàm số y = f (x ) xác định trên tập xác định của nó và x o∈ TXĐ Đạo hàm của hàm số
)
(x
f
y = tại x okí hiệu y'(x o) hay f'(x o) là ( )0 ( )0
f x x f x y
∆ → ∆ →
+ ∆ ư
∆
∆y= yư y o = f(x) ư f(x o) gọi là số gia tương ứng của h/s tại x o
∆x=xưx o gọi là số gia của đối số tại x o
+ Hàm số y = f (x ) xác định trên tập xác định của nó và x o ∈ TXĐ
⇔ ∃ ( )ư
o
x
f ' và ( )+
o
x
f ' ( )ư
o
x
f ' = ( )+
o
x
f ' = f'(x o) Với ( )ư
o
x
f ' =
ư
→x o
x
lim
x
y
∆
∆ và ( )+
o
x
f ' =
+
→x o
x
lim
x
y
∆
∆
+ Chú ý : H/s y = f (x )có đạo hàm tại x o thì nó liên tục tại x o ngựơc lại
thì chưa chắc
+ Ngoài ra ta cũng cú thể sử dụng tớnh chất khỏc để định nghĩa về đạo hàm
( ) ( ) ( ) ( )
0
0
0
x x
f x f x
x x
→
ư
ư
2) Các quy tắc tính đạo hàm
)
(u±v =u ±v
b (uv)' =u'v+v'u
Hệ quả : ' '
)
(ku =k u với k là hằng số
' ' '
v
u v v u v
, v là hàm số khỏc 0
' '
1
u
u
u = ư
,u là hàm số khỏc 0
3 Đạo hàm của hàm số hơp
Định nghĩa: Cho hàm số y= f u( ), trong đú u là hàm số theo biến x Khi đú ta cú
( ) ( )
' ' '
y = f u u x
Trang 24) Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp và hàm số hợp
§¹o hµm c¸c hµm sè s¬ cÊp c¬ b¶n §¹o hµm c¸c hµm sè hîp
1 '
) (xα =α xα−
2
'
1 1
x
x = −
( )
x
x
2
1
'
=
' 1 '
) (uα =α uα− u
2
' '
1
u
u
u = −
u
u u
2 ) (
' ' =
'
(sinx) =cosx
(Cosx)' = −Sinx
2
1
cos x
2
1
sin
x
= − = − +
(Sinu)' =u'.Cosu
(Cosu)' = −u'.Sinu
( )' ' ' 2
2
tanu u u.(1 tan u)
cos u
( )' ' ' 2
2
sin
u
u
= − = − +
B Phương pháp giải toán
Chủ đề 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Bài tập 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm các hàm số sau
3 2
y= f x =x − +x tại x0 = − 2 c ( ) 1
1
y f x
x
+ tại x0 = 2
b y= f x( )= 3x+ 2 tại x0 = 3 d ( ) 2 1
3
x
y f x
x
+
− tại x0 = − 1
Chủ đề 2: Tính đạo hàm hàm số bằng các quy tắc đạo hàm và bảng đạo hàm thường gặp
Phương pháp :
Bài tập 1: Tìm đạo hàm các hàm số sau
4 2 cos
y= x + x− x
tan 2
x
y
x
=
+
y= − +x x x
Bài tập 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau
cos 3 5
cot
x
= +
cos 5
6
= −
sin cos
g 1sin 4
4
2.sin cos 2
Trang 3Nguồn: Đề thi kiểm tra học kỳ 2-An Lương Đông
Tính đạo hàm các hàm số sau:
1) y = ( x2+ 1 )( x − 3 ) 2)
x
x x
y
−
+ +
=
2
1
2
4 sin( x
Câu 3(1,5đ): Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
x
x y
2 3
1
−
+
= tại điểm có
hoành độ x0 = 2
Câu 5(Nâng cao): Tìm tọa độ các điểm M trên đồ thị (C) của hàm số
1
2
+
=
x
x
tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng
4
1
Câu 5(cơ bản): Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x2 – x biết tiếp
tuyến đó song song với đường thẳng y = x + 3
Đề số 2:
Tính đạo hàm các hàm số sau:
1) y = ( 1 + 2 x2)( 4 + x ) 2) x
x x
y
−
− +
=
1
5
3 2
6 cos( x
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
x
x y
5 4
2
−
−
= tại điểm có hoành độ x0 = 1
Nguồn:
Chủ đề 3: Giải phương trình- Chứng minh đẳng thức-Bất đẳng thức liên quan đạo hàm
Bài tập 1: Chứng minh các hàm số sau có đạo hàm bằng 0
a ( )= π + − π −
f x x c x b ( )= π − − π +
c ( )= + π − π +
2
f x x c x c x d ( )= −
+
1 os2x+sin2x
c otx
1 os2x+sin2x
c
f x
c
e ( )= ( 6 + 6 ) (− 4 + 4 )
f x x x x x f ( )= ( 4 + 4 )−
f x x π x π x π x π
= − + + + +
Trang 4Dạng 2: Giải bất phương trỡnh cú chứa đạo hàm
Bài tập 1: Giải cỏc bất phương trỡnh thỏa món điều kiện sau
Cho hàm số y = f(x) = 2 3 7 2
3 ư 2 + Tính f’(x) GPT f’(x) ≥ - 3
Chủ đề 4: Tiếp tuyến và tiếp xỳc của cỏc đồ thị hàm số
Phương phỏp:
+ Cho hàm số y= f x( ) cú đồ thị là (C) Phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm
( ) ( )
0 0; 0
M x y ∈ C cú dạng yưy0 = f '( )(x0 xưx0)
Trong đú: M0(x y0; 0): được gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến
( )0 '
f x : được gọi là hệ số gúc của tiếp tuyến
Bài tập mẫu
B ài t ậ p 1 Cho hàm số y = 3x - 2
x - 1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết:
1) Hoành độ của tiếp điểm là x = 0
2) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = - x + 3
3) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 4x – y + 10 = 0
4) Biết hệ số góc của tiếp tuyến là - 1
9
Hướng dẫn giải
1 Phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M0(x y0; 0) cú dạng
( )( )
yưy = f x xưx
Do tiếp điểm của tiếp tuyến cú hoành độ bằng 0 nờn x0 = 0 ; y0 = 2
Ta cú : ( )
( )2
1 '
1
f x
x
ư
=
ư ; f '( )x0 = ư1
Vậy phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị (C) là yư = ư2 1(xư ⇔ = ư +0) y x 2
2 Phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M0(x y0; 0) cú dạng
( )( )
yưy = f x xưx
Do tiếp tuyến của đồ thị song song với đường thẳng y = - x + 3 nờn
0 0
0 1
2 1
x
x x
=
ư
= ư ⇔ = ư ⇔ ư = ⇔
=
Với x0 = 0;y0 = 2 phương trỡnh tiếp tuyến là: yư = ư2 1(xư ⇔ = ư +0) y x 2
Với x0 = 2;y0 = 4 phương trỡnh tiếp tuyến là : yư = ư4 1(xư ⇔ = ư +2) y x 6
3) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 4x – y + 10 = 0
Phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M0(x y0; 0) cú dạng
Trang 5( )( )
y−y = f x x−x
Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 4x – y + 10 = 0 nên
0 0
3 1
1 1
x
x x
=
−
= − ⇔ = − ⇔ − = ⇔
= −
Với 0 3; 0 7
2
x = y = phương trình tiếp tuyến là: 7 1( )
3
y− = − x−
Với 0 1; 0 5
2
x = − y = − phương trình tiếp tuyến là: 5 1( )
1
y+ = − x+
4) BiÕt hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn lµ - 1
9
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M0(x y0; 0) có dạng
( )( )
y−y = f x x−x
Do tiếp tuyến có hệ số góc là - 1
9nên
( )
0 0
4
2
x
x x
=
−
= − ⇔ = − ⇔ − = ⇔
= −
Với 0 4; 0 10
3
x = y = phương trình tiếp tuyến là 10 1( )
4
y− = − x−
Với 0 2; 0 8
3
x = − y = phương trình tiếp tuyến là 8 1( )
2
y− = − x+
Bài tập 2: Gọi (C) là đồ thị của hàm số ( ) 4 2
2 1
y= f x =x + x − Viết phương trình tiếp tuyến của
đồ thị hàm số (C) trong những trường hợp sau:
a Biết tung độ của tiếp điểm bằng 2
b Biết tiếp tuyến song song với trục hoành;
Trang 6c Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 3
8
y= − x+
d Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A(0; 6− )
Bài tập 3: Tìm một điểm trên đồ thị của hàm số 1
1
y x
=
− sao cho tiếp tuyến tại điểm đó cùng
với hai trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2
Bài tập nâng cao:
Đề thi Cao đẳng tài chính kế toán-HCM
Cho hàm số
2
1 1
x x y
x
+ −
=
−
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng
( )∆ : 4y− + =3x 1 0
Đề thi Cao đẳng kỹ nghệ Sài Gòn
Cho hàm số y x 1
x
= +
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b Tìm những điểm trên trục hoành mà từ đó kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau
Cao đẳng nhà trẻ mẫu giáo trung ương I
Cho hàm số 2 3
1
y
x
= +
−
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C), biết rằng tiếp tuyến đó song song với
đường thẳng ( )∆ :y= − +3x 1
Cao đẳng báo chí Maketing-Sài Gòn
1 1
x
= + +
−
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b Gọi M là điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ x= 2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm M
Cao đẳng sư phạm Hà Nội I
x
+ + −
=
+
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm M tùy ý thuộc đồ thị đã vẽ ở câu a luôn tạo với các
đường tiệm cuận một diện tích không đổi
Cao đẳng sư phạm (Khối B)
Cho hàm số
2
1 1
x x y
x
+ +
= +
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b Tìm các điểm trên đồ thị hàm số mà từ đó tiếp tuyến của nó vuông góc với đường thẳng
y=x
Cao đẳng kinh tế
Trang 7Cho hàm số
2
3 2
y
x
− +
=
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b Tìm trên đường thẳng x= 1 những điểm M sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau
Cao đẳng sư phạm Phú Thọ
Cho hàm số
2
1
y x
− +
=
−
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A và B sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A và B vuông góc với nhau
Cao đẳng sư phạm Hải phòng
3 1
y= − +x x
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y= − + 9x 2013
Cao đẳng 2005
Cho hàm số
2
1
y
x
− +
=
−
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng 3 15
4
x
y= +
Đề thi đại học khối D-2010
Cho hàm số 4 2
6
y= − − +x x
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 1
6
y= x−
Đạ i học Quốc Gia –TPHCM
Cho hàm số 3 2
1
y= +x mx + có đồ thị là (Cm)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng ( )∆ :y= − +x 1 tại ba điểm phân biệt A( )0;1 , ,B C sao cho các tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau
Đề thi đại học khối D-2005
Cho hàm số
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b Gọi M là điểm thuộc ( )C m có hoành độ bằng -1 Tìm m để tiếp tuyến của ( )C m tại điểm M song song với đường thẳng 5x− =y 0
Đề thi đại học khối D-2007
Trang 8Cho hàm số 2
1
x y x
= +
a Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số
b Tỡm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox và Oy tại A, B và
cú diện tớch ∆ OAB bằng 1
4
Đề thi đại học khối A-2009
2 3
x y x
+
= +
a Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số
b Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C), biết tiếp tuyến đú cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phõn biệt A, B và tam giỏc OAB cõn tại gốc O
Bài 2 Cho hàm số y = 1
3x3 - 2x2 + 3x (C) 1) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là x = 2
2) Chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất
Bài 3 Cho hàm số y = -x3 + 3x + 1 (C)
1) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm có hành độ là x = 0
2) Chứng minh rằng tiếp tuyến ∆ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc lớn nhất
Bài 4
1) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hs: y = x3 – 3x2 + 2 tại điểm (-1; -2)
2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y =
2
x + 4x + 5
2
x + tại điểm có hoành
độ x = 0
Bài 5.1) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = 2x + 1 biết hệ số góc của tiếp tuyến là 1
3
2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = x2 – 2x = 3 biết:
a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng 4x - 2y + 5 = 0
b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 4y = 0
Bài 6 Cho hàm số y = f(x) = 2 3 7 2
3 ư 2 + a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua A(1;3)
b) Chứng minh rằng phương trỡnh f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt
Bài 7. Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 (C)
1) Viết phương trình tiép tuyến của (C) kẻ từ điểm A(0; 2)
2) Tìm trên đường thẳng y = 2 các điểm để từ đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau
Bài 8 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = f(x) biết:
1) f(x) = 3x – 4x3 và tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 3)
2) f(x) = 1
2x4 – 3x2 + 3
2 và tiếp tuyến đi qua điểm B(0; 3
2)
Trang 93) f(x) = x + 1
x - 1 vµ tiÕp tuyÕn di qua ®iÓm C(0; 1)
Chủ đề 5: Đạo hàm cấp cao
Phương pháp : Lần lượt tính đạo hàm cấp 1, đạo hàm cấp 2, … Suy ra đạo hàm cấp n Sau đó chứng minh công thức đạo hàm tổng quát bằng phương pháp quy nạp toán học
Bài tập 1: Tính đạo hàm cấp n các hàm số sau đó rồi chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học về công thức tổng quát của đạo hàm cấp n vừa tìm
4
2 1
y x
=
1 1
y x
= +
Bài tập 2: Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã chỉ ra
2
1
y= f x = +x x + thỏa mãn ( 2)
1 +x y'' +x y ' 9 − y= 0
Ta có :
'
2
3 2
2
1
1 3
1
x
+ +
=
+
'
2
2 2
3 2
3
2
3
1
1 1
1
3
1
3
3
1 1
y
x x
x
+ +
+ +
=
=
Thay vào hệ thức ta được
Trang 10( ) ( ) ( )
3
3 2
2 3
2
3 2
2
2 3 2
1
1
x
+
+ − +
2
2
3 2
2
0 1
0
1
0 0
x
x
+
+
⇔ =
Điều cần chứng minh vậy đẳng thức đúng
b y= f x( )=sin 2x thỏa mãn ( ) 2 ( ) 2
1 2n
Bài tập 3: Cho hai số A và B sao cho
( ) 2
5
f x
−
a Xác định A và B
b Tính ( )n ( )
f x với n∈N
Nguồn:
Cho hàm số y= +x 1
x , có đồ thị là (C) Chứng minh rằng: xy" 2 ' 2+ y − =0.
Cho hàm số y = xsinx Chứng minh rằng: 2(y' sinx) x(y'' + y) = 0− − (1,0 điểm)
Cho hàm số y = xcosx Chứng minh rằng: 2(cosx−y') + x(y'' + y) = 0
Cho hàm số y = x.cosx, chứng minh rằng: x.y – 2(y’ - cosx) + x.y” = 0
