Điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu vectơ với các hàm số đạo hàm lipschitz địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONGNGÔ THỊ NGỌC YẾN ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU VÉC TƠ VỚI CÁC HÀM CÓ ĐẠO HÀM LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI -

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

NGÔ THỊ NGỌC YẾN

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU VÉC TƠ VỚI CÁC HÀM CÓ ĐẠO HÀM LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

NGÔ THỊ NGỌC YẾN

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU VÉC TƠ VỚI CÁC HÀM CÓ ĐẠO HÀM LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hướng dẫn khoa học:PGS TS Đỗ Văn Lưu

Hà Nội - 2015

Mục lục

Lý do chọn đề tài 3

Mục đích của đề tài 3

Nội dung đề tài 3

Lời cam đoan 4

Lời cảm ơn 4

1 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU VÉC TƠ C1,1 KHÔNG RÀNG BUỘC 5 1.1 Dưới vi phân cấp 2 của hàm lớp C1,1 5

1.2 Hàm véc tơ C − lồi 6

1.3 Điều kiện tối ưu cho nghiệm lý tưởng 10

1.4 Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu 14

2 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU VÉC TƠ C1,1 CÓ RÀNG BUỘC 21 2.1 Khái niệm bổ trợ 21

2.2 Bài toán với ràng buộc tập 22

2.3 Bài toán có ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức 27

1

Tài liệu tham khảo 34

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết điều kiện tối ưu là một bộ phận quan trọng của lý thuyết tối ưuhóa Nhiều bài toán tối ưu nảy sinh trong kinh tế, kỹ thuật có các hàm dữ liệulớp C1,1, tức là các hàm có đạo hàm Lipschitz địa phương Hiriart - Urruty,Strodiot và Hien Nguyen ([8], 1984) đã khai triển Taylor một hàm C1,1 qua các

ma trận Hessian suy rộng và dẫn các điều kiện tối ưu cấp 2 cho bài toán tối

ưu vô hướng với các hàm C1,1 A Guerraggio và D.T Luc đã nghiên cứu cácbài toán tối ưu đa mục tiêu hay bài toán tối ưu véc tơ với các hàm lớp C1,1

và dẫn các điều kiện tối ưu cần và đủ cho các nghiệm hữu hiệu của bài toánkhông ràng buộc ([5], 2001) và có ràng buộc ([6], 2003) dưới ngôn ngữ dưới viphân cấp 2 của hàm véc tơ Đây là đề tài được nhiều tác giả trong và ngoàinước quan tâm nghiên cứu Chính vì vậy tôi chọn đề tài: Điều kiện tối ưu chobài toán tối ưu véc tơ với các hàm có đạo hàm Lipschitz địa phương

2 Mục đích của đề tài

Luận văn trình bày các kết quả nghiên cứu về điều kiện tối ưu cấp 2 củaGuerraggio – Luc cho bài toán tối ưu véc tơ lớp C1,1 không ràng buộc (2001)

và có ràng buộc (2003) dưới ngôn ngữ dưới vi phân cấp 2

3 Nội dung đề tài

Chương 1 Điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu véc tơ C1,1 không ràng buộcTrình bày các kết quả của A Guerraggio và D.T Luc ([5], 2001) về điều kiện

3

cần và đủ tối ưu cấp 2 cho bài toán tối ưu véc tơ không có ràng buộc và hàmmục tiêu lớp C1,1 dưới ngôn ngữ dưới vi phân cấp 2 cùng với các điều kiện đặctrưng cho hàm C − lồi và C − đơn điệu Các ví dụ 1.2.1 và 1.2.2 là của tác giả.Chương 2 Điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu véc tơ C1,1 có ràng buộcTrình bày các kết quả của A Guerraggio và D.T Luc ([6], 2003) về điều kiệntối ưu cấp 2 cho bài toán tối ưu véc tơ C1,1 có ràng buộc dưới ngôn ngữ dưới

vi phân cấp 2 của các hàm lớp C1,1

4 Lời cam đoan

Luận văn đã được hoàn thành với sự học tập nghiên cứu sưu tầm tài liệucủa tôi dưới sự hướng dẫn của PGS TS Đỗ Văn Lưu và trình bày các kết quảmới đây về tối ưu

5 Lời cảm ơn

Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS TS ĐỗVăn Lưu, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành bản luận vănnày Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, phòng sau đại họctrường Đại học Thăng Long cùng các thầy, cô giáo đã tham gia giảng dạy khóahọc Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viêntrong lớp cao học Toán K1 đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốtthời gian học tập và quá trình làm luận văn Do thời gian và trình độ còn hạnchế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được

sự góp ý của các thầy cô để luận văn được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2015

Người thực hiện

Ngô Thị Ngọc Yến

Chương 1

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI

TOÁN TỐI ƯU VÉC TƠ C 1,1

KHÔNG RÀNG BUỘC

Chương 1 trình bày các điều kiện cần và đủ tối ưu cấp 2 cho bài toán tối

ưu véc tơ không có ràng buộc với hàm mục tiêu lớp C1,1 dưới ngôn ngữ dưới viphân cấp 2 cùng với các điều kiện đặc trưng cho hàm C − lồi và C − đơn điệulớp C1,1 Các kết quả được trình bày trong chương này là của Guerraggio - Luc([5], 2001)

1.1 Dưới vi phân cấp 2 của hàm lớp C1,1

Ta nói f là một hàm véc tơ trong lớp C0,1 có nghĩa là f là hàm Lipschitzđịa phương từ Rm vào Rn Theo định lý Rademacher, f khả vi hầu khắp nơi,tức là trừ ra một tập có độ đo 0 Khi đó Jacobian suy rộng Clarke của f tạiđiểm bất kì x◦ ∈ Rm, kí hiệu bởi ∂f(x◦), tồn tại và cho bởi tập hợp

∂f (x◦) := cl conv{lim f′(xi) : xi → x◦, f′(xi) tồn tại},

trong đó cl conv kí hiệu bao lồi đóng Bây giờ, ta giả sử rằng f là hàm véc tơkhả vi từ Rm vào Rn mà đạo hàm của nó thuộc lớp C0,1 Trong trường hợpnày, ta nói rằng f thuộc lớp C1,1 Khi đó, Jacobian suy rộng Clarke của f′ tại

x◦ được kí hiệu bởi ∂2f (x◦) và được gọi là dưới vi phân cấp 2 của f tại x◦,

5

nghĩa là,

∂2f (x◦) := cl conv{lim f′′(xi) : xi → x◦, f′′(xi) tồn tại}

Kí hiệu L(m,n) là không gian tuyến tính gồm tất cả các toán tử tuyến tính từ

Rm vào Rn và kí hiệu L(m,n) là không gian tuyến tính gồm tất cả các toán tửtuyến tính từ Rm vào L(m,m) Ta có ∂2f (x◦) là một tập con của không gian

L(m,n) Do đó, các phần tử của ∂2f (x◦) là các hàm song tuyến tính trên Rm

nhận giá trị trong Rn Trường hợp n = 1, thuật ngữ "Hessian suy rộng" đãđược dùng trong [8] để chỉ tập hợp ∂2f (x◦) Bằng cách xây dựng như trên,dưới vi phân cấp 2 có tất cả các tính chất của Jacobian suy rộng Chẳng hạn,

∂2f (x◦) là một tập lồi khác rỗng và compact của không gian L(m,n) được xemnhư là Rm×m×n và ánh xạ đa trị x 7→ ∂2f (x) là nửa liên tục trên Chúng ta chỉ

ra một vài tính chất quan trọng sau:

(a) Hợp với một hàm tuyến tính: ∀ξ ∈ Rn, ta có

ξ∂2f (x) = ∂2(ξf )(x) (1.1)(b) Định lý giá trị trung bình: Cho f là hàm lớp C0,1 và a, b ∈ Rm Khi đó,

f (b) − f (a) ∈ cl conv{∂f (x)(b − a) : x ∈ [a, b]},trong đó [a, b] = conv{a, b}, conv kí hiệu bao lồi

(c) Khai triển Taylor: Cho f ∈ C1,1 và a, b ∈ Rm Khi đó,

f (b) − f (a) ∈ f′(a)(b − a) + cl conv{∂2f (x)(b − a, b − a) : x ∈ [a, b]}.1.2 Hàm véc tơ C − lồi

Cho f : Rm −→ Rn là một hàm véc tơ và C là nón lồi, đóng, nhọn có đỉnhtại gốc 0 (C ∩ −C = {0}) và int C 6= ∅ Thứ tự bộ phận được sinh bởi C, kíhiệu ≥C, được định nghĩa như sau:

a ≥C b ⇐⇒ a − b ∈ C

Nhắc lại rằng f là C − lồi nếu ∀x, y ∈ Rm và ∀t ∈ [0, 1], ta có

f (tx + (1 − t)y) ≤C tf (x) + (1 − t)f (y) (1.2)

Hàm C − lồi đóng vai trò quan trọng trong tối ưu véc tơ.

Trong mục này ta sử dụng dưới vi phân cấp 2 để đặc trưng các hàm C − lồi.Nhắc lại rằng ánh xạ đa trị F từ Rm vào L(n,m) là C − đơn điệu nếu ∀x, y ∈

Rm, ∀α ∈ F (x) và ∀β ∈ F (y), ta có

α(y − x) + β(x − y) ≤C 0

Khi n = 1 và C là nón các số dương, định nghĩa trên quy về định nghĩa thôngthường của ánh xạ đa trị đơn điệu từ Rm đến Rm Dưới đây là một số tính chất

cơ bản của ánh xạ C − đơn điệu:

(i) Nếu F là C − đơn điệu thì tF là C − đơn điệu, ∀t ≥ 0

(ii) Nếu F1 và F2 là C −đơn điệu và F3 ⊆ F1 thì F1+ F2 và F3 là C −đơn điệu.(iii) F là C − đơn điệu nếu và chỉ nếu ξF là đơn điệu ∀ξ ∈ C′, trong đó C′ lànón cực dương của C, nghĩa là

C′ = {ξ ∈ Rn : hξ, vi ≥ 0, ∀v ∈ C}

(iv) Nếu f thuộc lớp C0,1 thì f là C − lồi nếu và chỉ nếu ∂f là C − đơn điệu.Trong [10], Jacobian suy rộng đã được sử dụng để mô tả đặc trưng các hàmđơn trị Lipschitz địa phương, đơn điệu, từ Rm đến Rm Điều này cũng có thể ápdụng cho ánh xạ đa trị C − đơn điệu, C − toán tử bán xác định dương Cho H

là ánh xạ đa trị từ Rm vào không gian L(m,n) Các phần tử của H(x), x ∈ Rm,

là các hàm song tuyến tính trên Rm nhận giá trị trong Rn Ta nói rằng H là

C − bán xác định dương, nếu ∀x ∈ Rm và ∀φ ∈ H(x), ta có φ(u, u) ≥C 0.Khi n = 1, C là nón các số dương và H là đơn trị, định nghĩa này quy vềđịnh nghĩa dạng song tuyến tính bán xác định dương Ánh xạ đa trị C −bán xác định dương có các tính chất tương tự như (i), (ii), (iii) ở trên Ta cóđặc trưng dưới đây về ánh xạ Lipschitz địa phương C − đơn điệu

Mệnh đề 1.2.1

Giả sử F là hàm véc tơ Lipschitz địa phương từ Rm vào L(m,n) Khi đó, F là

C −đơn điệu nếu và chỉ nếu Jacobian suy rộng ∂F của nó là một ánh xạ đatrị C − bán xác định dương

7

Chứng minh.

Trước hết giả sử ∂F là C − bán xác định dương Khi đó, ∀x, y ∈ Rm, theo định

lý giá trị trung bình (xem [1]), ta có

F (x) − F (y) ∈ cl conv{∂F (z)(x − y) : z ∈ [x, y]}

Do đó,

F (x)(y − x) + F (y)(x − y) ∈ cl conv{−∂F (z)(x − y, x − y) : z ∈ [x, y]}

Vì ∂F là C − bán xác định dương và C là lồi và đóng, cho nên vế bên phảithuộc −C Từ đó suy ra,

F (x)(y − x) + F (y)(x − y) ≤C 0,

và F là C − đơn điệu

Ngược lại, cho F là C − đơn điệu Giả sử x ∈ Rm là một điểm sao cho

F′(x) tồn tại Khi đó, ∀t ≥ 0 và ∀u ∈ Rm, ta có

2, x < 0.

Ta có f đơn điệu tăng

∂g(1) = [1

2, 2]

9

Như vậy ∂2f (1) bán xác định dương.

1.3 Điều kiện tối ưu cho nghiệm lý tưởng

Giả sử C ⊂ Rn là nón nhọn, lồi, đóng với phần trong khác rỗng, có đỉnh tạigốc và f là hàm véc tơ từ Rm vào Rn Với tập A ⊆ Rn, phần bù của nó Rn\ Ađược kí hiệu bằng Ac

Cho M là một trong các nón Cc, C \ {0} và int C Bài toán tối ưu véc tơkhông ràng buộc tương ứng với cặp (f, M) như sau:

minM f (x), x ∈ Rm,theo nghĩa tìm x◦ ∈ Rm (gọi là nghiệm tối ưu) sao cho không có x ∈ Rm mà

f (x) ∈ f (x◦) − M Nếu điều này đúng trong một lân cận nào đó của x◦ thì tagọi x◦ là nghiệm tối ưu địa phương Các nghiệm tối ưu tương ứng với (f, Cc),(f, C \ {0}), (f, int C) được gọi tương ứng là các nghiệm lý tưởng (idealsolutions), nghiệm hữu hiệu (efficient solutions), nghiệm hữu hiệu yếu (weaklyefficient solutions) Từ định nghĩa ta suy ra x◦ là một nghiệm lý tưởng địaphương nếu và chỉ nếu tồn tại một lân cận U ⊂ Rm của x◦ sao cho

f (x) − f (x◦) ∈ C, ∀x ∈ U

Nếu tồn tại một nón nhọn lồi K ⊂ Rn sao cho C \{0} ⊂ int K và nếu không

có x ∈ Rm sao cho f(x) ∈ f(x◦) − int K thì ta nói x◦ là một nghiệm hữu hiệuchính thường địa phương (local properly efficient solution) Định nghĩa nghiệmhữu hiệu chính thường này là của Henig [7]

Trong mục này, ta sẽ trình bày các điều kiện tối ưu cấp 1 và cấp 2 chonghiệm lý tưởng Mặc dù những nghiệm này không phải là chủ đề chính của lý

thuyết tối ưu véc tơ, nhưng chúng vẫn được chú ý bởi vì cấu trúc đơn giản của

nó và sự tương tự cho nghiệm tối ưu của các bài toán vô hướng sẽ giúp chúng

ta hiểu rõ hơn về những đặc điểm chính của bài toán tối ưu véc tơ

Từ định nghĩa ta suy ra nếu một điểm x◦ ∈ Rm là một nghiệm lý tưởng địaphương thì nó là cực tiểu địa phương của hàm vô hướng ξf(x), ∀ξ ∈ C′ Điềungược lại cũng đúng trong trường hợp f là C − lồi hoặc nón C′ là hữu hạnsinh, nghĩa là, tập các phương cực biên của C′ là hữu hạn Đặc biệt, với n = 2,phát biểu ngược lại đúng, còn với n ≥ 3 thì phát biểu ngược lại có thể sai.Định lý 1.3.1

Giả sử x◦ ∈ Rm là một nghiệm lý tưởng địa phương Khi đó, các điều sau đúng:(i) Với f lớp C0,1,

(a) ∂f(x◦)(u) ∩ C 6= ∅, ∀u ∈ Rm, hoặc tương đương,

Ta chỉ ra (i)(a) ⇔ (i)(b) Thật vậy, nếu (i)(a) không đúng thì tồn tại u ∈ Rm

sao cho ∂f(x◦)(u) ∩ C = ∅ Vì ∂f (x◦) là một tập lồi và compact nên tập

∂f (x◦)(u) cũng lồi và compact Áp dụng định lý tách với tập ∂f (x◦) và nón lồi

C, ta có thể tìm được véc tơ ξ ∈ Rn sao cho

hξ, vi ≥ 0 > hξ, α(u)i, ∀v ∈ C và ∀α ∈ ∂f(x◦)

Điều này kéo theo ξ ∈ C′ và 0 6∈ ξ∂f(x◦) Vì vậy, (i)(b) cũng không đúng

11

Ngược lại, nếu (i)(b) là không đúng thì ∃ξ ∈ C′ sao cho 0 6∈ ξ∂f(x◦) Ápdụng định lý tách cho các tập {0} và tập lồi, compact ξ∂f(x◦), ta có thể tìmđược một số u ∈ Rm sao cho

Ta xét điều kiện (ii)(b), giả sử ngược lại ∃u ∈ Rm sao cho ∂2f (x◦)(u, u) ∩

C = ∅ Tập ∂2f (x◦) là lồi và compact, do đó ∂2f (x◦)(u, u) cũng là tập lồicompact trong Rn Áp dụng định lý tách cho tập này và C, ta nhận được véc

tơ ξ ∈ Rn\{0} sao cho

hξ, φ(u, u)i < 0 ≤ hξ, vi, ∀φ ∈ ∂2f (x◦) và ∀v ∈ C (1.3)Nói riêng, ta có ξ ∈ C′ Khi đó, x◦ là cực tiểu địa phương của hàm vô hướng

ξf (x) mà tại đó phải tồn tại số θ ∈ ∂2(ξf )(x◦) với θ(u, u) ≥ 0, hoặc tươngđương, do (1.1), ∃φ ∈ ∂2f (x◦) với hξ, φ(u, u)i ≥ 0 Điều này mâu thuẫn với(1.3) và là điều phải chứng minh

Bây giờ ta giả sử f là C − lồi quanh điểm x◦ với điều kiện tồn tại hình cầu

U ⊂ Rm tâm tại x◦ sao cho (1.2) đúng với mọi x, y ∈ U

Định lý 1.3.2

Giả sử rằng một trong những điều kiện dưới đây đúng tại điểm x◦ ∈ Rm :

(i) Với f lớp C0,1, 0 ∈ ξf(x◦), ∀ξ ∈ C′ và f là C − lồi xung quanh x◦.(ii) Với f lớp C1,1,

(a) f′(x◦) = 0,

(b) ∂2f (x◦)(u, u) ⊂ int C, ∀u ∈ Rm\{0}

Khi đó, x◦ là một nghiệm lý tưởng địa phương

Chứng minh

Giả sử tồn tại một hình cầu nhỏ U tâm x◦ mà f là C − lồi và thuộc lớp C0,1

trong U Điều kiện (i) kéo theo

0 ∈ ∂(ξf )(x◦), ∀ξ ∈ C′.Khi đó, x◦ là một cực tiểu của hàm lồi ξfU(x) trên U , trong đó fU là thu hẹpcủa f trên U, ∀ξ ∈ C′ Do đó, x◦ là một nghiệm lý tưởng địa phương

Bây giờ, giả sử rằng f là lớp C1,1 và hai điều kiện (ii)(a) và (ii)(b) đúng.Khi đó, ∀u ∈ Rm\{0} với kuk = 1, do tính nửa liên tục trên của dưới vi phâncấp 2, tồn tại một hình cầu Vu tâm x◦ sao cho

∂2f (x)(u, u) ⊂ int C, ∀x ∈ Vu.Bởi vì mặt cầu đơn vị trong Rm là compact, tồn tại một hình cầu V tâm x◦

sao cho

∂2f (x)(u, u) ⊂ int C, ∀x ∈ V và ∀u ∈ Rm với kuk = 1

Do đó ∀u ∈ Rm\{0} bao hàm thức trên cũng đúng Theo Hệ quả 1.2.1, f là

C −lồi quanh x◦ Từ đó suy ra, điều kiện (i) thỏa mãn và do đó x◦ là nghiệm

lý tưởng địa phương

Chúng ta có thể đặt câu hỏi liệu có một dạng tương tự như trường hợp

vô hướng: 0 ∈ ∂f(x◦) có thể thay thế trong điều kiện (i) của định lý 1.3.1.Đáng tiếc, câu trả lời là không, như được chỉ ra trong ví dụ sau đây Cho

13

Hàm này là Lipschitz địa phương và tồn tại đạo hàm với mọi x trừ x = 0.

Rõ ràng điểm x◦ = 0 là một nghiệm lý tưởng của f Mặc dù vậy, Jacobian suyrộng của f tại x◦ là đoạn nối các điểm (−1, 0) và (0, 1) và nó không chứa 0.Chú ý rằng, ∀ξ ∈ R2

+, tập ξ∂f(0) chứa 0, đúng như đã chỉ ra trong định lý1.3.1

1.4 Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu

Trong phần này, chúng ta trình bày các điều kiện tối ưu dưới ngôn ngữ dưới

Chứng minh

Trước hết ta xét trường hợp f Lipschitz địa phương Nếu (i)(a) không đúng thì

∃u ∈ Rm sao cho ∂f(x◦)(u) ⊂ −int C Vì tập ∂f (x◦)(u) lồi và compact, tồn tạimột lân cận lồi đóng V của tập này trong tập mở −int C Do tính nửa liên tụctrên của Jacobian suy rộng, ∃ǫ sao cho ∂f(x)(u) ⊂ V với mọi x ∈ [x◦, x◦+ ǫu]

Do V lồi và đóng, ta có

cl conv{δf (x)(u) : x ∈ [x◦, x◦+ ǫu]} ⊂ V

Áp dụng định lý giá trị trung bình với f trên [x◦, x◦+ ǫu], ta thu được

0 /∈ ξ∂f (x◦), ∀ξ ∈ C′\{0},thì ta có thể áp dụng định lý tách điểm gốc của không gian và tập lồi, compact{ξ∂f (x◦) : ξ ∈ B}, trong đó tập B là cơ sở lồi và compact của C′

Nhắc lại tập đóng B là cơ sở của nón C′, nếu 0 /∈ B và C′ được sinh ra bởi

B và chú ý rằng một cơ sở lồi như thế tồn tại vì C có phần trong Do đó, C′

là nón nhọn Vì vậy, ∃u ∈ Rm sao cho

hξ, α(u)i < 0, ∀α ∈ ∂f (x◦) và ∀ξ ∈ B

Điều này kéo theo

∂f (x◦)(u) ⊂ −int C,nghĩa là điều kiện (i)(a) là không đúng

Bây giờ ta giả sử rằng f là lớp C1,1 Do ∂f(x◦) = {f′(x◦)} nên ta thu đượcđiều kiện (ii)(a) Với điều kiện (ii)(b), ta giả sử ngược lại rằng ∃u ∈ Rm saocho

f′(x◦)(u) ∈ −(C \ int C) và ∂2f (x◦)(u, u) ⊂ −int C

Giả sử V là một lân cận lồi đóng của ∂2f (x◦)(u, u) sao cho V ⊂ −int C Dotính nửa liên tục trên của dưới vi phân cấp 2 ∃ǫ > 0 sao cho

∂2f (x◦ + tu)(u, u) ⊂ V, ∀t ∈ [0, ǫ]

Điều này kéo theo

cl conv{∂2f (x)(u, u) : x ∈ [x◦, x◦+ ǫu]} ⊂ V

15

Sử dụng khai triển Taylor, ta nhận được

f (x◦+ tu) − f (x◦) ∈ f′(x◦)(tu)+ cl conv{∂2f (x)(tu, tu) : x ∈ [x◦, x◦+ ǫu]}

⊂ −t(C \ int C) + t2V ⊂ −int C, ∀t ∈ (0, ǫ]

Điều này mẫu thuẫn với giả thiết

Cuối cùng, rõ ràng là với φ ∈ ∂2f (x◦) nào đó với φ(u, u) /∈ −int C, ta cóthể tìm được véc tơ η ∈ C′\{0} sao cho

Giả sử n = 1 và f lớp C1,1 Khi đó, các điều kiện sau đây là điều kiện cần cho

để x◦ là điểm cực tiểu địa phương của f:

(i) f′(x◦) = 0

(ii) ∀u ∈ Rm, ∃φ ∈ ∂2f (x◦) sao cho φ(u, u) ≥ 0

Chứng minh

Điều kiện đầu tiên có được do f′(x◦)(u) ≥ 0, với mọi u ∈ Rm, kéo theo

f′(x◦) = 0 Điều kiện thứ hai được suy ra từ điều kiện (ii)(b) của định lý 1.4.1,

vì mỗi u ∈ Rm thỏa mãn

f′(x◦)(u) = 0 ∈ −(C \ int C), trong đó C = R+