SKKN Phát triển năng lực toán học cho học sinh thông qua các bài toán sử dụng đồ thị của hàm đạo hàm chương trình Giải tích 12 nhằm nâng cao chất lượng ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

Trong chương trình môn Toán bậc THPT, các em học sinh được học đạohàm từ cuối học kỳ II của lớp 11, nhưng đại đa số các em khi học xong nhữngkiến thức về đạo hàm thì chỉ biết vận dụng cô

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT LÊ VIẾT THUẬT

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Toán học là môn khoa học cơ bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiềulĩnh vực khác nhau Dạy toán học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống trithức khoa học phổ thông cơ bản tạo điều kiện cho các em được hình thành vàphát triển các phẩm chất, năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệthống tri thức đảm bảo đủ để nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh

Trong chương trình môn Toán bậc THPT, các em học sinh được học đạohàm từ cuối học kỳ II của lớp 11, nhưng đại đa số các em khi học xong nhữngkiến thức về đạo hàm thì chỉ biết vận dụng công thức để giải các bài toán về tínhđạo hàm, hoặc khảo sát hàm số Còn việc ứng dụng đạo hàm để khai thác và giảicác bài toán như: Bài toán đồ thị hàm đạo hàm và sự biến thiên của hàm số, bàitoán đồ thị hàm đạo hàm và cực trị của hàm số, bài toán đồ thị hàm đạo hàm vàgiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, bài toán đồ thị hàm đạo hàm và sựtương giao của đồ thị các hàm số… qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở bậcTHPT và tìm hiểu về tâm lý của đối tượng học sinh tôi thấy học sinh còn rấtlúng túng, bỡ ngỡ Nhằm giúp các em học sinh hứng thú trong học tập, biết cáchkhai thác, vận dụng các kiến thức liên quan đến đạo hàm để giải quyết các bàitoán đồ thị hàm đạo hàm và các bài toán liên quan tôi đã chọn viết chuyên đề

này trình bày một số kinh nghiệm của bản thân đã tích luỹ khi giảng dạy: “Phát triển năng lực toán học cho học sinh thông qua các bài toán sử dụng đồ thị của hàm đạo hàm chương trình Giải tích 12 nhằm nâng cao chất lượng ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán” nhằm phục vụ công tác dạy và học trong nhà

trường

Trong quá trình giảng dạy tôi cố gắng làm sáng tỏ mối quan hệ giữa hàm

số y f x'( ) và hàm sốy f x( ) thông qua một số bài toán liên quan Bằng cáchsắp xếp các dạng toán, phương pháp truyền thụ phù hợp với đối tượng học sinh,phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các em, tôi đã giúp họcsinh hiểu đây là là phần bài tập có thuật giải rõ ràng, chính xác, có nhiều nộidung ứng dụng phong phú và giúp học sinh định hướng được năng lực tư duy vàtiếp cận kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2021

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài giúp học sinh thấy được mối quan hệ giữa hàm số y f x'( ) và hàm

số y f x( ) thông qua một số bài toán liên quan Từ đó, học sinh định hướngđược năng lực tư duy và tiếp cận kỳ thi THPT mối quan hệ giữa hàm số

'( )

yf x và hàm số yf x( ) thông qua một số bài toán liên quan Bằng cáchsắp xếp các dạng toán, phương pháp truyền thụ phù hợp với đối tượng học sinh,phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các em, tôi đã giúp họcsinh hiểu đây là là phần bài tập có thuật giải rõ ràng, chính xác, có nhiều nộiQuốc Gia năm 2021

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt được mục đích nghiên cứu, đề tài có nhiệm vụ:

+ Hình thành cách giải một số bài toán về đồ thị hàm đạo hàm

+ Đề xuất một số bài toán mới liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm

+ Làm sáng tỏ mối quan hệ giữa hàm số yf x( ) và hàm đạo hàm của nó là

'( )

+ Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài

Từ đó, xây dựng được phương pháp dạy học phù hợp tiếp cận kỳ thi THPTQuốc Gia năm 2021

4 Đối tương và phạm vi nghiên cứu

4.1 Đối tương nghiên cứu

Đề tài đã nghiên cứu các bài toán về đồ thị hàm đạo hàm và các bài toánliên quan nhằm mục đích để học sinh hiểu sâu sắc hơn về vấn đề khảo sát hàm

số như: hình dạng đồ thị, sự biến thiên, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấtcủa hàm số và sự tương giao của các đồ thị hàm số Từ đó, giúp học sinh hoànthiện kỹ năng và tiếp cận kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2021

4.2 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các bài toán về đồ thị của hàm số yf x'( ) và giải các bài toánliên quan

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận:

Nghiên cứu các tài liệu:

+ Sách giáo khoa, sách giáo viên, nội dung giảm tải chương trình, hướng dẫn thực hiện chương trình Toán 12

+ Sách tham khảo và các tài liệu trên Internet về các vấn đề liên quan đến đề tài

5.2 Phương pháp điều tra, quan sát:

Dự giờ, quan sát, lập phiếu điều tra thực trạng việc giải quyết bài toán đồ thị hàm đạo hàm và các bài toán liên quan

5.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm:

Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài

6 Dự kiến những đóng góp của đề tài

+ Góp phần củng cố hệ thống kiến thức về khảo sát hàm số và các bài toán liênquan

+ Có thể sử dụng đề tài để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong giảng dạy nội dung khảo sát

7 Điểm mới trong kết quả nghiên cứu

NỘI DUNG

ĐỒ THỊ HÀM ĐẠO HÀM VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN

1 Đồ thị hàm đạo hàm và sự biến thiên của hàm số

b) Tính đơn điêu và dấu của đạo hàm

Cho hàm số y f x( ) cĩ đạo hàm trên K

+) Nếu '( ) 0f x  với mọi x thuộc K thì hàm số ( ) f x đồng biến trên K.

+) Nếu '( ) 0f x  với mọi x thuộc K thì hàm số ( ) f x nghịch biến trên K.

Tĩm lại, trên K

'( ) 0 ( )'( ) 0 ( )

đồng biến nghịch biến

Ví dụ 1 ( Câu 39 mã đề 123 đề thi THPT quốc gia năm 2019).

Cho hàm số f x( ), hàm số yf x( ) liên tục trên  và cĩ đồ thị như hình vẽ bên.Bất phương trình f x( ) x m (m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x (0; 2)khi và chỉ khi

A mf(2) 2.

B m f(0).

C m f(2) 2.

cong trong hình bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số ( )f x nghịch biến trên khoảng ( 1;2).

B Hàm số ( )f x đồng biến trên khoảng (1;2).

C Hàm số ( )f x đồng biến trên khoảng ( 2;1).

D Hàm số ( )f x nghịch biến trên khoảng (0;2).

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y g x ( ), suy ra hàm số yf(2 x)

đồng biến trên các khoảng 2;1 và 3; Chọn phương án C.

Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số yf x'( ), suy ra '( ) a(f x  x1).(x 1).(x 4)

Suy ra g x'( )a x( 3 2x2  5x6) a( x 1)(x2)(x 3), lập bảng biến thiên

của hàm số y g x ( ) như sau

 Ở cách 1, học sinh cần có kĩ năng xét dấu của '( ) f x bằng cách chỉ ra được

phần đồ thị nằm phía trên, phía dưới trục hoành, suy ra dấu của '(2 f  x).

m npO

'( )

y f x với trục hoành, từ đó xây dựng được dạng hàm số y f x'( ) có

đồ thị như hình vẽ, do đó suy ra được dạng của hàm số y g x ( ) Việc xét

dấu của '( ) g x là đơn giản chỉ cần dựa vào tích của các nhị thức bậc nhất

trong cách tư duy của học sinh Chẳng hạn như phương án A,D dựa trên sai

lầm là học sinh chỉ đơn thuần là giải bất phương trình '(2 f  x) 0 mà

chưa thấy được mối quan hệ giữa '( ) g x và '(2 ) f  x bởi quan hệ ràng buộc

'( ) '(2 )

g x  f  x Phương án B chỉ là nhiễu số vì hàm số y f(2 x)

đồng biến trên khoảng (3; ) (2; ).

toàn có thể xây dựng được hàng loạt các bài tập tương tự để học sinh rèn luyện

kĩ năng cũng như tư duy một cách trực quan qua đồ thị hàm số y f x( ) như

sau:

Bài toán tổng quát 1.

Cho hàm số y f x( ) và a là một số thực bất kỳ Hàm số y f x'( ) có đồ thịnhư hình bên Hàm số yf (a x) đồng biến trên khoảng

mO n p

A   ;a p.

B   ;a m

C a p;a m

D a m;

Ví dụ 4 (HK1-Chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị).

Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm liên tục trên  và đồ thị của hàm số

Từ bảng biến thiên của hàm số y g x ( ), hàm số y g x ( ) đồng biến trên

khoảng ( 2;0) nên khẳng định hàm số y g x ( ) nghịch biến trên khoảng ( 1;0)

là sai Chọn phương án B.

Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y f x'( ) suy ra rằng hàm số y f x'( ) có

dạng f x'( ) a.( x1) (2 x 2) với a  , suy ra 0

2 2

2

00

'( 2) 0

(2)0

1

2 2'( 2) 0

x x

2 2

2

2

2

00

'( 2) 0

2 2

x x

Từ (2) suy ra phương án B sai.

Từ (3) suy ra phương án D đúng vì x  là một nghiệm của '( ) 0.1 g x 

Nhận xét

 Như vậy, trong tình huống cụ thể mức độ bài toán sẽ thay đổi Bài toán

có thể tổng quát theo hướng tác động đồ thị của hàm số y f x'( ) hoặc tác

A Hàm số y h x ( ) đồng biến trên khoảng ( 2;3).

B Hàm số y h x ( ) đồng biến trên khoảng (0;4)

C Hàm số y h x ( ) nghịch biến trên khoảng (0;1)

D Hàm số y h x ( ) nghịch biến trên khoảng (2;4)

 Điểm x0D được gọi là điểm cực đại của hàm số ( )f x nếu tồn tại một

khoảng ( ; )a b D sao cho x0( ; )a b và f x( )0  f x( ), x ( ; ) \a b  x0

 Điểm x1D được gọi là điểm cực tiểu của hàm số ( )f x nếu tồn tại một

khoảng ( ; )a b D sao cho x1( ; )a b và f x( )1  f x( ), x ( ; ) \a b  x1

b) Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực tri Điều kiện cần

Nếu hàm số ( )f x đạt cực tri tại điểm x và hàm số có đạo hàm tại 0 x , thì0 0

'( ) 0

f x 

Tuy nhiên hàm số có thể đạt cực tri tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo

hàm, chẳng hạn với hàm yx , đại cực tri tại x  nhưng không có đạo hàm 0 0

tại đĩ.

Điều kiện đủ

 Nếu f x'( ) 0,0   x ( ; )a x0 và f x'( ) 0,0   x ( ; )x b0 thì f x( )đạt cực tiểu tại x0

 Nếu f x'( ) 0,0   x ( ; )a x0 và f x'( ) 0,0   x ( ; )x b0 thì f x( )đạt cực đại tại x0.Tức là, nếu đạo hàm của hàm số yf x( ) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x0

Ta nĩi, đồ thị hàm số cĩ điểm cực tiểu là M x y( ,0 CT)

Nếu đạo hàm của hàm số yf x( ) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x0.

Ta nĩi, đồ thị hàm số cĩ điểm cực đại là M x y( ,0 CD)

2.2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1 (Đề KSCL lớp 12, Việt Trì, Phú Thọ 2018).

Cho hàm số ( )f x xác định trên  và cĩ đồ thị của

hàm '( )f x như hình vẽ Hỏi hàm số ( ) f x đã cho cĩ

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số yf x( ) có 3 cực trị.

Ví dụ 2 (Thi thử THPTQG lần 1, 2017 - 2018, THPT Lương Văn Tụy, Ninh Bình).

Cho hàm số yf x( ) liên tục trên  , đồ thị

của đạo hàm '( )f x như hình vẽ bên Trong

các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Từ bảng biến thiên suy ra:

 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x  Phương án A đúng.0.

 Hàm số đạt cực đại tại điểm x  Phương án C đúng.0.

B Giá trị của (0)f lớn hơn giá trị của (3).f

C Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 3; 2). 

D lim ( ) và lim ( ) .

Từ bảng biến thiên, suy ra

 Hàm số cĩ 3 điểm cực trị là x4,x2,x Phương án A sai.0

 Hàm số đồng biến trên khoảng ( 4; 2)  nên hàm số đồng biến trênkhoảng ( 3; 2).  Phương án C sai.

Nhận xét

Cĩ thể viết lại

3 2'( ) a.( 4)( 2)( 3) a.( 3 10 24)

Ví dụ 4 (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ, Hoà Bình, 2017).

Cho hàm số yf x( ) xác định, liên tục trên  và có đồ thị của '( )f x như hình

sau Xác định điểm cực tiểu của hàm số

(xem hình vẽ bên) Dựa vào đồ thị hàm số y g x '( ), ta

thấy g'( )x đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm

1

x  Vậy hàm số y g x ( ) đạt cực tiểu tại x 1.

Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số yf x'( ), suy ra

đạt cực đại tại điểm nào sau đây?

Lời giải.

Do ( )g x f x( ) x nên '( )g x f x'( ) 1. Do đó đồ thị

của hàm số '( )g x có được bằng cách tịnh tiến đồ thị

của hàm số '( )f x dọc theo trục tung đi xuống 1 đơn

vị

Từ đồ thị hàm số y g x '( ) ta thấy '( )g x đổi dấu từ

dương sang âm khi đi qua điểm x  Do đó ( )1. g x

2017

x

có sốđiểm cực trị là:

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình ' 0y  có 4 nghiệm phân biệt

Do hàm số đã chho có 4 nghiệm phân biệt

Ví dụ 7 (Đề sát hạch lần 2, Đoàn Thương, Hải Dương 2018).

Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm liên tục trên  Đồ thị hàm

số yf x'( ) như hình vẽ bên Số điểm cực trị của hàm số

Lời giải.

Do

3 2

Vẽ parabol y (x 1) ,2 dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm

số yf x'( ) và parabol ta có bảng biến thiên của hàm số

Vạy, hàm số ( )g x đạt cực đại tại 1 x  Chọn phương án B.

3 Đồ thị hàm đạo hàm và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

3.1 Kiến thức cơ bản

a) Đinh nghĩa

Cho hàm số y f x( ) xác đinh trên tạp D.

 Số M được gọi là giá tri lớn nhất của hàm số yf x( ) trên tập D nếu

Để tìm giá tri lớn nhất, giá tri nhỏ nhất của hàm số yf x( ) trên đoạna b ta ; 

Làm như sau:

 Tìm '( )f x và các điểm x x1, , ,2 x n trên khoảng a b mà tại đó '( ) 0;  f x 

hoặc '( )f x không xác đinh.

Suy ra các giá trị của hàm số tại các điểm 2; 1;1;2  là:

So sánh các giá trị này với điều kiện a  ta có (2)0, f  f( 2)  f( 1)  f(1)

Do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm x 0 1 trên đoạn 2;2 

Ví dụ 2 (Đề KSCL T10, Trực Ninh B, Nam Định 2017)

Cho hàm số yf x( ) xác định và liên tục trên đoạn

70; ,2

 

 

 

 Dựa vào đồ thị hàm số y f x'( ) và bằng trực giác so sánh được diện

tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yf x'( ), trục và các đường

Từ đó, chỉ ra được giá trị nhỏ nhất của hàm số là (3) f

Ví dụ 3 (Đề Thi Thử Lần 1, Kim Sơn A, Ninh Bình 2017 - 2018).

Cho hàm số y f x( ) xác định và liên tục trên đoạn 1;2 có đồ thị của hàm số

'( )

y f x như hình bên, gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số yf x( ) trên đoạn

1;2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

 Hoàn toàn xây dựng được hàm số yf x( ) trên đoạn 1;2 hoặc dựa vào

tích phân để so sánh các giá trị của hàm số nhưng độ phức tạp sẽ tăng lên vì hai nghiệm của phương trình '( ) 0 f x  được tham số bởi m, n.

Cách 1: Từ đồ thị hàm số y f x'( ) suy ra hàm số y f x( ) có bảng biến thiênnhư sau

a

với C và a  là0hằng số thỏa mãn yêu cầu bài toán Khi đó, với mỗi C và a  ta có0

Ví dụ 5 (THPT Quốc Học Quy Nhơn, 2017).

Cho hàm số yf x( ) liên tục trên  và có đạo hàm '( )f x cũng liên tục trên

y

 Hình bên là đồ thị của hàm số '( )f x trên đoạn 5;4  Trong các khẳng

Dựa vào đồ thị hàm số yf x'( ), suy ra một dạng của hàm số y f x'( ) trên 

như sau f x'( ) a( x4)(x 1)(x m )x3(3 m x) 2  (3m4)x4m với4

m  là một nghiệm còn lại của phương trình '( ) 0 f x  Khi đó:

 Từ đồ thị hàm số yf x'( ), suy ra bảng biến thiên của hàm số yf x( )

trên đoạn 5;4 như sau

Ox trên các đoạn 4;1 , 1;4   Từ đồ thị, ta thấy S1 S2. Suy ra

yf x trên  sẽ cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ lớn hơn 4.

Hàm số yf x'( ) được xây dựng với hệ số a  1.

Ví dụ 6 (Đề TT lần 2, THPT Lương Tài 2, Bắc Ninh, năm 2017-2018)

Cho hàm số yf x( ) và yf x( ) là hai hàm liên tục trên  có đồ thị hàm số

'( )

y f x là đường cong nét đậm và y g x '( ) là đường cong nét mảnh như hình

vẽ Gọi ba giao điểm A, B, C của yf x'( ) và y g x '( ) trên hình vẽ lần lượt có

hoành độ a, b, c Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) h x f x( ) g( ) x trên đoạn

( ).C Để tìm hoành độ giao điểm của ( )C và 1 ( ),C ta phải giải phương trình2( ) g( ).

f x  x Giả sử phương trình trên có cá cnghiệm là x x0, , 1 Khi đó các giaođiểm của ( )C1

và ( )C là 2 M x f x M x f x0( ; ( ),0 0 1( ; ( ), 1 14.2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1 (Đề TT, Sơn Tây, Hà Nội 2018).

Cho đồ thị yf x( ) có đồ thị yf x'( ) cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ a,

b , c như hình vẽ Khẳng định nào dưới đây có thể xảy ra?

y f x trục hoành trên các đoạn a b b c ta có ( ); , ;   f a  f(c).

Gọi S S lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 1, 2 yf x'( ) và trục Ox ứng với hai đoạn a b và ;  b c; 

Ví dụ 2 (HK1, Lê Văn Thịnh Bắc Ninh, 2018).

Cho hàm số yf x( ) có đồ thị là đường cong ( )C , biết đồ

thị của y f x'( ) như hình vẽ Tiếp tuyến của ( )C tại điểm có

hoành độ bằng 1 cắt đồ thị ( )C tại hai điểm A, B phân biệt lần

f (x) +∞ f( 1 ) f (1) f (3)

+∞

Từ bảng biến thiên ta thấy để đường thẳng y k cắt đồ thị (C) tại hai

điểm phân biệt sẽ có hoành độ a, b với a    khi và chỉ khi 1 3 b k  f(1). Do

đó, a2  1 ( a 1)(a1) 0  a2  và 1 b 3 b2 9 Suy ra a2 b2 10.

Chọn phương án D.

Ví dụ 3 (HK1, Chuyên Thái Nguyên, Thái Nguyên, 2018). y