bài tập giới hạn liên tục bai_tap_gioi_han_lien_tuc_new

tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ

BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC

CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP HCM — 2016.

NỘI DUNG

1 G IỚI HẠN CỦA HÀM HAI BIẾN

2 T ÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM HAI BIẾN

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 2 / 28

NỘI DUNG

1 G IỚI HẠN CỦA HÀM HAI BIẾN

2 T ÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM HAI BIẾN

Ý nghĩa hình học của giới hạn hàm hai biến: Với mọi lân cận (L − ε,L + ε), ta luôn tìm được hình tròn đủ nhỏ D δ với tâm (a, b) bán kính

δ > 0 sao cho hàm số f biến mọi điểm

(x, y) ∈ D δ \(a, b) thành những điểm

f (x, y) ∈ (L − ε,L + ε).

H ÌNH : Ý nghĩa hình học của giới hạn hàm hai biến

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 4 / 28

Đ ỊNH LÝ 1.1

Nếu f (x, y) → L 1 khi (x, y) → (a,b) dọc theo

đường C 1 và f (x, y) → L 2 khi (x, y) → (a,b) dọc theo đường C 2 , trong đó C 1 6= C 2 , L 1 6= L 2 thì

lim

(x,y)→(a,b) f (x, y) = L không tồn tại

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 5 / 28

Giới hạn của hàm hai biến Bài tập

x→0 f (x, y) ´ = −1.

Tuy nhiên lim

(x,y)→(0,0) f (x, y) không tồn tại.

x→0 f (x, y) ´ = −1.

Tuy nhiên lim

(x,y)→(0,0) f (x, y) không tồn tại.

Giới hạn của hàm hai biến Bài tập

Giới hạn của hàm hai biến Bài tập

(x,y)→(0,0) f (x, y) không tồn tại.

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 7 / 28

Giới hạn của hàm hai biến Bài tập

x→0

µ lim

µ lim

Giới hạn của hàm hai biến Bài tập

Tuy nhiên

f (x n , y) = 0 n→+∞ → 0, f (x n 0 , y) = 0 n→+∞ → y sin 1

y 6= 0.

Vậy lim

x→0 f (x, y) không tồn tại Tương tự, ta

cũng chứng minh được lim

y→0 f (x, y) không tồn tại.

Tuy nhiên

f (x n , y) = 0 n→+∞ → 0, f (x n 0 , y) = 0 n→+∞ → y sin 1

y 6= 0.

Vậy lim

x→0 f (x, y) không tồn tại Tương tự, ta

cũng chứng minh được lim

y→0 f (x, y) không tồn tại Ta có

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 10 / 28

¶ x 2 x→+∞

Do tính liên tục của hàm mũ và hàm log, ta có

B ÀI TẬP 2.4

Tìm giới hạn của hàm số

f (x, y) = x 2 e −(x 2 −y)

dọc theo mọi tia

x = r cosϕ,y = r sinϕ,0 É r < +∞ khi r → +∞.

Kí hiệu F(r, ϕ) = f (r cosϕ,r sinϕ). Khi đó

F(r, ϕ) = r 2 cos 2 ϕe −r 2 cos 2 ϕ+r sinϕ

= cos 2 ϕ lim

r→+∞

1

³ cos 2 ϕ − sin 2r ϕ ´ e r 2 cos 2 ϕ−r sinϕ = 0.

Tính liên tục của hàm hai biến Định nghĩa

Hàm hai biến f được gọi là liên tục trên miền

D nếu như f liên tục tại mọi điểm (a, b) ∈ D.

Hàm hai biến f được gọi là liên tục trên miền

D nếu như f liên tục tại mọi điểm (a, b) ∈ D.

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 21 / 28

liên tục theo từng biến x, y riêng lẻ, có nghĩa

là khi cho 1 biến là hằng số Tuy nhiên, f (x, y)

không liên tục theo cả 2 biến x, y cùng 1 lúc.

1 Giả sử y 6= 0 vàx 0 là 1 số cố định bất kỳ Khi đó

Tính liên tục của hàm hai biến Bài tập

Như vậy, khi cố định y hàm số f (x, y) sẽ liên

tục theo biến x Do vai trò của x, y như nhau

nên khi cố định x hàm số f (x, y) sẽ liên tục

Như vậy, khi cố định y hàm số f (x, y) sẽ liên tục theo biến x Do vai trò của x, y như nhau nên khi cố định x hàm số f (x, y) sẽ liên tục theo biến y

Tuy nhiên, hàm số f (x, y) không liên tục theo

liên tục tại điểm (0, 0) dọc theo mọi tia

x = r cosϕ,y = r sinϕ,0 É r < +∞, đi qua điểm

(0, 0), có nghĩa là lim

r→0 f (r cos ϕ,r sinϕ) = f (0,0).

Tuy nhiên, hàm số f (x, y) không liên tục tại điểm (0, 0).

Tuy nhiên, hàm số f không liên tục tại điểm

CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE