HÀM SỐ - GIỚI HẠN - LIÊN TỤC potx

Dãy số: Khái niệm dãy số, dãy đơn điệu, dãy bị chặn, các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn, các định lí về giới hạn.. Tồn tại dãy số không hội tụ, cũng không phân kỳ.. Không có dãy số nào khôn

BÀI 1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN - LIÊN TỤC

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn

1 Hàm số một biến số: Định nghĩa, đồ thị, tính đơn điệu, tính chẵn lẻ,…,

hàm số hợp và hàm ngược

2 Dãy số: Khái niệm dãy số, dãy đơn điệu, dãy bị chặn, các tiêu chuẩn

tồn tại giới hạn, các định lí về giới hạn

3 Giới hạn: Khái niệm, các tính chất của giới hạn hàm số, VCB, VCL, các

phương pháp tính giới hạn

4 Sự liên tục của hàm số: Hàm số liên tục và các tính chất

3v1.0

k :  , x  k(x)k(x) f(g(x)) f(1 x) 2(1 x) 2x 2      

f(g(x)) g(f(x))

Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng:

a Dãy bị chặn trên

b Dãy đơn điệu tăng

c Dãy đơn điệu giảm

d Dãy bị chặn

VÍ DỤ 3

Cho dãy số:   n  1;2;3, 4; ;n; 

Dãy gọi là:

• Dãy tăng nếu xn < xn+1

• Dãy giảm nếu xn > xn+1

• Dãy đơn điệu nếu nó là dãy tăng hoặc dãy giảm

• Bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho x

• Bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho xn

• Bị chặn nếu vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới

Như vậy, dãy là bị chặn nếu có các số m và M sao cho  xn m x n  M, n

n

  n

Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng:

VÍ DỤ 3 (tiếp theo)

a Dãy bị chặn trên

b Dãy đơn điệu tăng

c Dãy đơn điệu giảm

d Dãy bị chặn



x

xx

n n

x  n 

(x  1 x  2)(1 2 3 4 )   Cho dãy số:   n  1;2;3, 4; ;n; 

Nhận xét:

Sai lầm thường gặp:

• Cho rằng “dãy đơn điệu là dãy vừa đơn điệu tăng, vừa đơn điệu giảm”;

• Cho rằng “dãy bị chặn là dãy bị chặn trên hoặc bị chặn dưới”

Cho dãy số:

Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng:

a Dãy đơn điệu

b Dãy đơn điệu tăng

c Dãy đơn điệu giảm

Cho dãy số:

Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng:

a Dãy đơn điệu

b Dãy đơn điệu tăng

c Dãy đơn điệu giảm

a Dãy đơn điệu

b Dãy đơn điệu tăng

c Dãy đơn điệu giảm

xx

x x1   1 x2 1

x  1 x  1

n n

1 x ( 1) 1, n

Mệnh đề nào sai?

a Dãy không hội tụ thì phân kỳ

b Dãy không phân kỳ thì hội tụ

c Tồn tại dãy số không hội tụ, cũng không phân kỳ

d Không có dãy số nào không hội tụ, mà cũng không phân kỳ

VÍ DỤ 5 (tiếp theo)

Hướng dẫn:

Bài 1, mục 1.2.2:

Dãy {xn} được gọi là dãy hội tụ nếu tồn tại số a để Trong

trường hợp ngược lại, ta nói dãy phân kỳ

Như vậy, một dãy số chỉ có thể là hội tụ hoặc phân kỳ

n x

lim x a

 

v1.0

Mệnh đề nào sai?

a Dãy không hội tụ thì phân kỳ

b Dãy không phân kỳ thì hội tụ

c Tồn tại dãy số không hội tụ, cũng không phân kỳ

d Không có dãy số nào không hội tụ, mà cũng không phân kỳ

a Dãy không hội tụ thì phân kỳ

b Dãy không phân kỳ thì hội tụ

c Tồn tại dãy số không hội tụ, cũng không phân kỳ

d Không có dãy số nào không hội tụ, mà cũng không phân kỳ



xxx

c Dãy phân kỳ thì không bị chặn.

d Dãy không hội tụ thì không bị chặn

VÍ DỤ 6

v1.0

1.2.3 Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn

1.2.3.1 Tính duy nhất của giới hạn

Định lý:

Nếu một dẫy có giới hạn (hữu hạn) thì:

• Dãy đó là dãy bị chặn;

• Giới hạn là duy nhất

c Dãy phân kỳ thì không bị chặn.

d Dãy không hội tụ thì không bị chặn

VÍ DỤ 6 (tiếp theo)

Chú ý: ( 1) n vừa là dãy bị chặn, vừa là dãy phân kì nhưng không hội tụ

a Dãy bị chặn thì hội tụ

b Dãy hội tụ thì bị chặn

c Dãy phân kỳ thì không bị chặn

d Dãy không hội tụ thì không bị chặn



xxx

Ở đây, a có thể là hữu hạn hay vô cùng Từ định nghĩa giới hạn

của hàm số, ta suy ra rằng nếu:

Hàm số f(x) gọi là một VCL khi x  a nếu:

Hàm số f(x) gọi là một VCL khi x  a nếu:

2

f(x) xVCB nào sau đây là tương đương với VCB khi x0 ?

2 x

v1.0

tương đương thường gặp”(tr.18)

Chẳng hạn, là VCB bậc cao hơn nếu m>n và cùng bậc nếu m= n khixm xn

Bậc của các VCB

Định nghĩa:

Giả sử là hai VCB khi

• Nếu ; ta nói rằng là VCB bậc cao hơn

• Nếu ; ta nói rằng là VCB bậc thấp hơn

• Nếu không tồn tại, ta nói rằng không thể so sánh hai VCB và

1

3

2 4

2

2 x

xx

(arcsin x x)

2

2 x

VCB nào sau đây có bậc thấp hơn VCB khi x  0 ?

1

5 x

2

3

3 2 4

VCB nào sau đây có bậc thấp hơn VCB f(x) x 2 khi x  0 ?

 3 2 4

1

5 x

x

VÍ DỤ 11

Định lý: Nếu và(x) (x) là hai VCB khi x  a, (x)   1(x), (x)   1(x)

1

1

(x)(x)



2n n 1lim

2n n 1lim

bậc cao nhất của tử và mẫu rồi dùng giới hạn

k

nn

1

n

 

VÍ DỤ 14

v1.0

2 2 n

v1.0

Khẳng định nào sau đây đủ để kết luận f(x) liên tục tại thuộc MXĐ? 0

1.3.4 Hàm số liên tục

1.3.4.1 Định nghĩa

• f là một hàm số xác định trong khoản (a, b), x0 là một điểm thuộc (a, b)

Ta nói rằng hàm số f liên tục tại x0 nếu:

• Nếu hàm số f không liên tục tại x0, ta nói rằng nó gián đoạn tại x0

ĐẠO HÀM - VI PHÂN

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn

1 Đạo hàm, đạo hàm cấp cao, bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản,các phép toán về đạo hàm, đạo hàm hàm hợp;

2 Vi phân, vi phân cấp cao, các phép toán về vi phân, vi phân hàm hợp;

3 Công thức Taylo, quy tắc L’Hospitan (Lôpitan);

4 Ứng dụng tính giới hạn và khảo sát hàm số: Sự biến thiên, cực trị,…

LÍ THUYẾT

Khẳng định nào đúng:

a f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0

b f(x) liên tục tại x0 thì f(x) có đạo hàm tại x0.

d f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không xác định tại x0

c f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không liên tục tại x0

Khẳng định nào đúng:

Hướng dẫn: Xem khái niệm đạo hàm, có nhận xét sau:

a f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0

b f(x) liên tục tại x0 thì f(x) có đạo hàm tại x0.

d f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không xác định tại x0

c f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không liên tục tại x0

VÍ DỤ 1 (tiếp theo)

Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0

Khẳng định nào đúng:

b f(x) liên tục tại x0 thì f(x) có đạo hàm tại x0

d f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không xác định tại x0

c f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không liên tục tại x0

Cho hàm số f(x)=|x| Khẳng định nào sau đây không đúng?

a f(x) có đạo hàm với mọi x khác 0

b f(x) có đạo hàm phải tại x = 0

c f(x) có đạo hàm trái tại x = 0

d f(x) có đạo hàm tại x = 0

VÍ DỤ 2

Cho hàm số f(x)=|x| Khẳng định nào sau đây không đúng?

a f(x) có đạo hàm với mọi x khác 0

b f(x) có đạo hàm phải tại x = 0

c f(x) có đạo hàm trái tại x = 0

8v1.0

Hướng dẫn:

• Xem bảng đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản (tr.25);

• Đây là hàm có dạng x

BẢNG ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN

11v1.0

Đạo hàm của hàm số f(x) = arccosx bằng:

1cos (ln x)

1cos (ln x)

a cos cos 2x

b cos 2cos2x

c cos sin 2x

d 2cos cos 2x sin4x.–

Chú ý: 2 sin cos   sin2

sin(cos 2x) cos(cos 2x) cos 2x

cos(cos 2x).2cos2x cos2xcos(cos 2x).2cos2x.( sin(2x)) 2x2.cos(cos 2x).2cos2x.sin2x

2 2

2 2

VÍ DỤ 7 (tiếp theo)

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp một của f(x) Đạo hàm, nếu có của đạo hàm cấp một gọi là đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp n của hàm số f(x) = lnx bằng:

n (n)

n 1

n 1 (n)

n

n 1 (n)

Đạo hàm cấp n của hàm số f(x) = lnx bằng:

Hướng dẫn:

• Xem lại khái niệm đạo hàm cấp cao (tr.30)

• Tính thử các đạo hàm cấp 1, cấp 2, cấp 3, của f(x), rồi kiểm tra các

phương án với n = 1, 2, 3 Từ đó chọn ra phương án thỏa mãn

VÍ DỤ 8 (tiếp theo)

n (n)

n 1

n 1 (n)

n

n 1 (n)

b f (x)

x( 1) (n 1)!

c f (x)

x(n 1)!

VÍ DỤ 11 (tiếp theo)

Định lý:

Giả sử các hàm số u(x) và v(x) thỏa mãn các điều kiện:

Giới hạn có dạng vô định hoặc , tức là hai hàm

số u(x) và v(x) cùng có giới hạn hoặc cùng có giới hạn vô hạn

Tồn tại giới hạn (hữu hạn hoặc vô hạn)

x a

u(x)lim

v(x)



00





x a

u '(x)lim

29v1.0

Nhận xét:

• Để làm tốt phương pháp này, cần tính thành thạo đạo hàm các hàm số;

• Khi tính một giới hạn có thể sử dụng quy tắc Lôpitan nhiều lần;

• Sai lầm thường gặp: Tiếp tục dùng qui tắc Lôpitan khi giới hạn đã về dạng xác định Chẳng hạn:

3x 2x

32v1.0

33v1.0

3 2

ln xlim x ln x lim

1x

• Nếu u  1 và v   thì lim uv có dạng vô định 1;

• Nếu u  0 và v  0 thì lim uv có dạng vô định 00;

• Nếu u  + và v  0 thì lim uv có dạng vô định 0

• Nếu đặt y = uv thì trong cả ba trường hợp này giới hạn của biểu thức

lny = vlnu đều có dạng 0. (dạng này đã được chỉ dẫn cách tính ở trên);

• Nếu tính được lim(lny) = k thì ta được:

limy = lim elny = ek

v1.0

Trả lời: Chỉ cho 2 dạng vô định: Muốn sử dụng quy tắc Lopitan cho các dạng vô định khác phải biến đổi về 2 dạng trên

Câu 2: Trong qui tắc Lôpitan, nếu giới hạn không tồn tại có suy ra được không tồn tại không?

u (x)lim

v(x)



0 ,0





BÀI 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn

1 Nguyên hàm của một hàm số, tích phân bất định, tính chất, các công thức

cơ bản, các phương pháp tính tích phân bất định

2 Tích phân bất định của hàm hữu tỉ, hàm lượng giác, hàm vô tỉ

3 Tích phân xác định, tính chất, mối liên hệ với nguyên hàm, các phươngpháp tính tích phân xác định, ứng dụng của tích phân xác định

4 Tích phân suy rộng

Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số:

Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số:

(3x +2x)'=9x +2(3x 2x) ' 6x 2

Hàm số có nguyên hàm là hàm số nào trong các hàm số sau?

Hàm số có nguyên hàm là hàm số nào trong các hàm số sau?

7v1.0

Xem bảng các công thức tích phân cơ bản

9v1.0

10v1.0

11v1.0

Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) Khi đó, là: sin xf(cos x)dx

Tìm hàm số f(x) biết f '(x) xe x2 và

2 x

2 x

2 x

2 x

v1.0

Tìm hàm số f(x) biết f '(x) xe x2 và

2 x

2 x

2 x

2 x

23v1.0

24v1.0

Tích phân bằng:

2 2 1

26v1.0

27v1.0

Tích phân bằng:

ln2

x 0

Phương pháp tích phân từng phần:

trong đó u(x), v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục

• Trong các tích phân

n nguyên dương, ta thường chọn: u = xn

• Trong các tích phân và n nguyên dương,

v1.0

Tích phân bằng:

e 1

x ln xdx



2 2 2 2

Tích phân bằng:

e 1

x ln xdx



2 2 2 2

Tích phân bằng:3ln x 2

dxx

34v1.0

Tích phân bằng:3ln x 2

dxx

36v1.0

x 1

dx(3x 1)

4

2 1

4

2 1

4

2 1

Nhận xét: Sai lầm thường gặp là quên không đổi cận.

Sử dụng phép đổi biến , tích phân trở thành:2

0

dx(3x 1)



1

2 0

4

2 1

4

2 1

4

2 1

sin t



VÍ DỤ 17

v1.0

Sử dụng phép đổi biến , tích phân bằng:

2 2

1a

v1.0

cụ thể Về mặt kí hiệu thì tích phân bất định không có cận, còn tích phân xác định có cận trên và cận dưới

Trả lời:

2

1

dxsin x

HÀM NHIỀU BIẾN

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn

1 Khái niệm hàm số nhiều biến số, giới hạn và sự liên tục của hàm số nhiềubiến số

2 Đạo hàm riêng, vi phân riêng, vi phân toàn phần

3 Cực trị của hàm số - Cực trị có điều kiện

LÝ THUYẾT

Trong các phần tử sau, phần tử nào là một điểm của không gian 3 chiều 3 ?

a (1;2)

b (1;2;3)

c (1)

d (1;2;3;4)

b Miền xác định của hàm số là tập hợp con của

c Miền giá trị của hàm số là

d Miền giá trị của hàm số là tập con của

v1.0

Hướng dẫn:

VÍ DỤ 3 (tiếp theo)

b Miền xác định của hàm số là tập hợp con của

c Miền giá trị của hàm số là

d Miền giá trị của hàm số là tập con của

Tập nào sau đây là miền xác định của hàm số z x 1 y

Miền xác định tự nhiên của một hàm nhiều biến là các bộ n số sao cho khi thay vào biểu thức của hàm số thì các phép toán đều có ý nghĩa

Tập nào sau đây là miền xác định của hàm số z ln(x y) x arcsin 1 y   

v1.0

Giới hạn của dãy điểm Mn 1 2n 32 , khi là:

nn

hạn của n dãy, một dãy ứng với 1 thành phần của điểm Chỉ cần 1 trong các giới hạn đó không tồn tại thì cũng không tồn tại giới hạn của dãy điểm đó

Giới hạn của dãy điểm Mn 2 3 2n, 2 khi là:

3 2nlim

n n



5 5

z x y 2y  z '( 1,2)y Cho hàm số Khi đó, bằng:

a 15

b -20

c 0

d 25

v1.0

z x y 2y  z '( 1,2)y Cho hàm số Khi đó, bằng:

v1.0

z x y 2y  z '( 1,2)y Cho hàm số Khi đó, bằng:

x

z e (cosy xsiny)  z '(1, )y Cho hàm số Khi đó, bằng:

x

z e (cosy xsiny)  z '(1, )y Cho hàm số Khi đó, bằng:

v1.0

VÍ DỤ 14 (tiếp theo)

Hướng dẫn:

Đạo hàm riêng cấp cao:

Cho hàm số u = f(x1, x2, , xn) có đạo hàm riêng theo các biến xi trong miền D.Khi đó các đạo hàm riêng fx1’ cũng là các hàm số của n biến số Đạo hàm riêng theo biến xj của đạo hàm riêng cấp một fx1’ được gọi là đạo hàm riêng cấp hai của hàm số u = f(x1, x2, , xn) theo biến xi và xj Được ký hiệu là:

Với hàm hai biến u u(x, y) ta có 4 đạo hàm riêng cấp 2:

// / / // / /

xx x x xy x y // / / // / /

Tính đạo hàm riêng cấp cao của hàm nhiều biến, ta tính đạo hàm riêng

lần lượt theo từng biến

Cho hàm số z = z(x,y) có các đạo hàm riêng cấp một Điểm dừng của hàm sốthoả mãn (hệ) phương trình nào?

Cho hàm số z = z(x,y) có các đạo hàm riêng cấp một Điểm dừng của hàm sốthoả mãn (hệ) phương trình nào?

38v1.0

39v1.0

1 biến không?

Trả lời: Không, vì với mỗi điểm trên trục số chỉ có 2 hướng tiến về nó (bên trái, bên phải), còn đối với một điểm trên mặt phẳng thì có vô số hướng tiến về nó

điểm (mang tính địa phương), còn giá trị lớn nhất là giá trị lớn nhất trên toàn

bộ miền đang xét (mang tính toàn thể)

MỘT SỐ CÂU HỎI THƯỜNG GẶP

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn

1 Khái niệm phương trình vi phân (ptvp), cấp của phương trình, nghiệm củaphương trình

2 Các khái niệm nghiệm tổng quát, nghiệm riêng, tích phân tổng quát, tíchphân riêng, bài toán Cauchy của ptvp cấp 1 và cấp 2

3 Cách giải một số phương trình vi phân cấp 1 và cấp 2

LÝ THUYẾT

Trong các hàm số sau, hàm số nào là nghiệm của phương trình xy ' 2y ?

VÍ DỤ 1 (tiếp theo)

5v1.0

Hàm số là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình

Hàm số là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình

Trong các hàm số sau, hàm số nào là nghiệm của phương trình y '' y 0  ?

Trong các hàm số sau, hàm số nào là nghiệm của phương trình y '' y 0  ?

Phương trình x dx sin y.dy2  là phương trình loại nào?

a Phương trình phân li biến số

b Phương trình thuần nhất

c Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

d Phương trình vi phân toàn phần

VÍ DỤ 4

11v1.0

Phương trình x dx sin y.dy2  là phương trình loại nào?

a Phương trình phân li biến số

b Phương trình thuần nhất

c Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

d Phương trình vi phân toàn phần

Phương trình xydx (1 x )(1 y )dy 0  2  2  là phương trình loại nào?

a Phương trình phân li biến số

b Phương trình thuần nhất

c Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

d Phương trình vi phân toàn phần

Phương trình xydx (1 x )(1 y )dy 0  2  2  là phương trình loại nào?

a Phương trình phân li biến số

b Phương trình thuần nhất

c Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

d Phương trình vi phân toàn phần

VÍ DỤ 5 (tiếp theo)

2 2

v1.0

Sử dụng phép đổi biến , phương trình trở thành

phương trình nào đối với hàm số ?

 u(x)

v1.0

VÍ DỤ 6 (tiếp theo)

Hướng dẫn:

• Xác định dạng của phương trình Lưu ý:

• Xem cách giải của dạng phương trình đó

y ' , u'

v1.0

Sử dụng phép đổi biến , phương trình trở thành

phương trình nào đối với hàm số ?

 u(x)

u + xu’ – u = tgu ↔ xu’ = tgu

Chú ý: Nhiều khi phải biến đổi một số bước, mới đưa được về phương trình

vi phân thuần nhất

v1.0

Sử dụng phép đổi biến , phương trình

trở thành phương trình nào đối với hàm số ?

x

 u(x)

v1.0

Sử dụng phép đổi biến , phương trình

trở thành phương trình nào đối với hàm số ?

x

 u(x)

v1.0

Hướng dẫn:

Xem lại hướng dẫn của ví dụ 1

Lần lượt tính y’, y” rồi thay vào phương trình Ta được một hệ của A, B, C

v1.0

v1.0

hằng số?

Câu 2: Phương trình có là phương trình vi phân