Hãy tìm số hạng ñầu tiên và công sai của cấp số.. Hãy tìm số hạng ñầu tiên và công sai của cấp số biết dãy số tăng.. 5 Ba số khác nhau có tổng bằng 6 lập thành một CSC.. Bình phương ba
Trang 11 TÌM HIỂU TÍNH CHẤT CỦA CSC,CSN
Dạng 1: Nhận dạng cấp số:
1) Cho CSC ( u n ) có u17 −u20 =9 và u172 +u202 =153 Hãy tìm số hạng ñầu tiên và công sai của cấp số
HD: Ta có: u17−u20 = (u1+ 16 ) (d − u1+ 19 )d = − 3d = 9 ⇒d = − 3
17 20 ( 1 16 ) 153
u +u = u + d −
2) Cho CSC ( u n ) có
15
302094 585
S
=
Hãy tìm số hạng ñầu tiên và công sai của cấp số biết dãy số tăng
3) Cho hai CSC: ( ) : 4; 7; 10; 13;
( ) :1; 6; 11; 16; 21;
n
n
x y
Hỏi trong 100 số hạng ñầu tiên của mỗi cấp số có bao nhiêu số hạng chung?
4) Tìm x từ phương trình:
a, 2 + 7 + 12 + + x = 245, biết 2;;7; 12; ; x là CSC
b, ( 2 x + 1 ) + ( 2 x + 6 ) + ( 2 x + 11 ) + + ( 2 x + 96 ) = 1010, biết 1; 6; 11; là CSC
5) Ba số khác nhau có tổng bằng 6 lập thành một CSC Bình phương ba số ấy thì ta ñược
một CSN Tìm ba số ñó
6) Ba số dương mà tổng là 114 có thể coi là ba số hạng liên tiếp của một CSN, hoặc là số
hạng thứ nhất, thứ tư và thứ 25 của một CSC Tìm ba số ñó
2 5 3 6
3 3u + =u 0;u +u =63 Hãy tính: S= u1 + u2 + + u2010
Dạng 2: Chứng minh hệ thức về cấp số
1) CMR ba số dương a , b , ctheo thứ tự lập thành một CSC khi và chỉ khi các số
b a
, a c
,
c
1 1
1
theo thứ tự lập thành một CSC
2) CMR: nếu S n , S2n , S3n tương ứng là tổng của n ,2n ,3n số hạng ñàu tiên của một CSC thì S3n =3( S2n −S n )
3) Cho CSC ( u n ), CMR nếu 2
2
n
m S
S
n
m = thì
1 2
1 2
−
−
=
n
m u
u
n
4) Cho CSC ( un ), và cho các số nguyên dương m, k với m<k CMR
2
m k m k k
u u
5) Cho CSC : 2 ; ;1 2
b a b b c− − CMR: a;b;c theo thứ tự lập thành một CSN
(b c− ) + − (c a) + (d−b) = − (a d)
Trang 27) Cho CSN: ( u n) (u n ≠ 0) CMR: 2
−
=
2 MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN ðẾN CÁC CẤP SỐ
A)Trong lượng giác-hình học
1) Chu vi của một ña giác là 158 cm, số ño các cạnh của nó lập thành một CSC với công
sai d=3cm Biết cạnh lớn nhất là 44 cm, tính số cạnh của ña giác ñó
2)Có thể có một tam giác mà số ño các cạnh và chu vi của nó lập thành một CSC không? 3) Có thể có tam giácc vuông nào mà số ño các cạnh của nó lập thành một CSC không? 4) Cho ∆ABC có
6
A=π
và số ño các góc A B C; ; lập thành một CSC CMR:
a) 2 2 2
sin A;sin B;sin C lập thành một CSC tiến
c A c B c C lập thành một CSC lùi
c) tan ; tan ; tanA B C lập thành một CSN tiến
d)cot ; cot ; cotA B C lập thành một CSN lùi
5) Tìm ñiều kiện ñể các góc α β γ; ; có số ño lập thành CSC và 2 2 2
sin α;sin β;sin γ cũng lập thành một CSC
6) Tìm ñiều kiện ñể 2 2 2
sin α;sin β;sin γ lập thành một CSC thì tan ; tan ; tanα β γ lập thành một CSN
7) CMR: ( ) : tan ; tan ; tan ( ) : osA;cosB;cosC
8) CMR: a b c; ; lập thành một CSC nếu có một trong các ñiều kiện sau ñược thỏa mãn:
2
)( ) : sin ;sin ;sin ; )( ) : cot ; cot ; cot ;
) cot cot 3; ) sin sinC=3sin
a CSC A B C b CSC
9)Cho a b c; ; theo thứ tự lập thành một cấp số cộng CMR: công sai của cấp số ñó ñược
tính theo công thức: 3 (tan tan )
d = r −
(CSC) : cot ; cot ; cotA B C⇒ (CSC) :a b c; ;
11) Cho tan ; tan ; tanA B C theo thứ tự lập thành một cấp số cộng
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của góc B b)CMR: osA+cosC 3 2
4
12) Cho ∆ABC có và số ño các góc C B A; ; lập thành một CSN với công bội q=2 CMR: a) 2 2 2 2
4
c A c+ B+c C= ; c) sin sin sin 7
8
A B C=
Trang 3d) osA.cosB.cosC=-1
8
c ; e) osA+cosB+cosC=b 1
f) 1 1 1
a = +b c; g) 2 2
bc=a b c+ = −c a
13) Ba cạnh của một tam giác lập thành một CSN CMR tam giác ñó không thể có hai
góc lớn hơn 600
14) Cho ∆ABC AB, ( =AC) có ñộ dài cạnh ñáy BC, ñường cao AH, cạnh bên AB theo thứ
tự lập thành một CSN Tìm công bội của cấp số ñó
B) Trong ñại số-giải tích
1) CðSPHÀNAM.’04 Cho hàm số 3 2
y= +x mx − −x m Xác ñịnh các giá trị của m ñể ðTHS cắt trục hoành tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ lập thành cấp số cộng
2) ðề thi HSG Lớp 12, tỉnh Hà Tây, 98-99
Cho hàm số y =x3 −3mx2 +4m3 Xác ñịnh m ñể ñường thẳng y=x cắt ñồ thị hàm số tại 3 ñiểm phân biệt A, B,C với AB=BC
3) Cho hàm số y=x3 −3mx2 +2m m ( −4) x+9m2 −m C ; ( m ) Tìm m ñể ðTHS cắt trục hoành tại 3 ñiểm cách ñều nhau
( ) :C y= −x 3x − 9x+ 1 Tìm ñiều kiện của a và b ñể ñường thẳng y=ax+b cắt (C) tại 3 ñiểm cách ñều nhau
5) ðề thi HSG Lớp 12, TP Hà Nội, năm học 09-10
Cho hàm số ( 2 )2 2 2
1 ( 1) ( 1)
y = x − − m+ m− Xác ñịnh các giá trị của m ñể ñồ thị hàm
số cắt trục hoành tại 4 ñiểm phân biệt có hoành ñộ lập thành CSC
6) ðề thi HSG Lớp 12, TP Hà Nội, năm học 03-04
Cho ñường cong (C) có phương trình y= − +x4 4x2 −3 Tìm m và n ñể ñường sao cho
1 2
AB = CD = BC
7) Tìm m ñể phương trình x4 −(3m+5) x2 +( m+1)2 =0 có bốn nghiệm lập thành CSC
8) ðHYDTPHCM.’98 Cho hàm số y= − +x4 2( m+1) x2 −2m−1
Xác ñịnh các giá trị của m ñể ñồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 ñiểm phân biệt có hoành
ñộ lập thành CSC
9) CðXDIII.’04.Tìm số tự nhiên k sao cho 1 2
14k; 14k ; 14k
C C + C + theo thứ tự lập thành CSC