BÀI TẬP : GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Bài 1: Vận dụng định nghĩa , chứng minh các
dãy số với số hạng tổng quát sau có giới hạn
là 0 :
( )
n n n
n n
u
e
u
d
n n
n u
c
n
u
b
n
n
u
a
n
n
n n
n
n
n
n
+
+
=
+
=
+
=
+
−
=
+
+
=
5
cos )
1 3
5
)
1
sin
)
2 1
1
)
1 2
1 )
π
Bài 2: Cho dãy số (un) xác định bởi
+
=
=
2
1
1
1
n
u
u
u
n
n
CMR : un >0 và n
u
u n
n+ ≤ , ∀
2
1 1
Từ đó suy ra limu n =0.
Bài 3:Tìm các giới hạn sau :
1)
n n
n n
2
1 2
6
3
−
+
−
2)
n n
n n
+
+
−
2
2
5
2 1
lim
3)
7 5
3 3 4
2
2 3
+
−
+ +
−
n n
n n
n
+
−
+
2
1 2
lim
n
n
5)
5 3
2 2
lim 24
+
+ +
−
n
n n
6)
7 3
5 4
lim 23 2
+ +
− +
n
n
n n
7)
9 6 4
2 lim 5 3 4 2
+ +
−
− +
n n
n n
n
8)
5
2 3 7
2 +
+
−
n
n n
9)
n n
n n
−
− + 2
3
2
1 2 3 lim
10)
+
− +
5 1 3 2
2 lim
2 2
3
n
n n
n
11)
n n n
n n
3
11 7
3
3 5
− +
− +
−
2
5
3 2 lim
n n
n
+
−
(3 4) (5 1)
7 4 3 2 lim
2 2
3 2
+
−
+
−
n n
n n
(2 1) ( 1)
3 5 1 3
2
+
−
+ +
n n
n n
2 2
1 2
2 7 1 lim
+
+
−
n
n n
16)
2
2
3 1
2 lim
n
n n
−
−
17)
1
1 lim
+
+
n n
18)
2 lim
3 3 +
+
n
n n
19)
3 2
2 3 2
4 +
−
− +
n n
n n
20)
12
8 5 7 lim
+
+
−
−
n
n n n
21)
1
lim
+
+ +
n
n n n
22)
1 2
+
+ +
n
n n n
23)
n n n
n n
− +
+ +
4 3
2 1 lim
24)
2 3
1 1
lim
2 +
+
− +
n
n n
25) lim(3n3 −7n+11)
26) lim 2n4 −n2 +n+2
Trang 2BÀI TẬP : GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
27) lim3 1+2n−n3
28) lim3 n9 +8n2 −7
29)
1 2
2 1 lim
2
+
− +
n
n n
30)
2 3
1 1
lim
2
+
+
− +
n
n n
5
5 2 5
lim
n
n n n
n
4 3
2
4
lim
+
33)
1
2
1
3
lim
−
+
n
n
n n
5 3
7
5 2
3
lim
+
−
n n
5 3
2
5 4
lim
+
−
5 )
3
(
5 )
3
(
+
−
+
−
n n
n n
4
3
sin
lim
n
n
38) ( )
1
cos
1
lim
+
−
n
n
n
39)
1 2
cos 4 sin
3
lim
+
+
n
n n
n n
4 7 2
3
3 5 3 2
lim
1
+
+
−
+
41) lim( 3n−1− 2n−1)
42) lim( n+1− n) n
43) lim( n2 +n+1−n)
44) lim( n2 +n+ 2 − n+ 1)
45) lim( n+3− n−5)
46) lim( n2 −n+3−n)
47) limn2(n− n2 +1)
48)
1 2
1 lim
+
−
n
49) lim( 2n+3− n+1)
50) limn( n2 +1−n)
51) limn( n2 +5−n)
52) lim( n2 −n+3+n)
53) lim(n+3 1−n3)
54) lim( a+n − n)
55) lim 3 (1 +n)2 − 3 (n− 1)2 56) lim(3 n2 −n3 +n)
57) lim n3( n3 +1− n3 −1)
n+ n+ n − n
lim
59) lim( n2 +2n+3−3 n2 −n3)
2 1 lim
n
n
+ + +
61)
2 3
2
4 2
− +
+ + +
n n
n n
62)
2 3
2 1 lim 3
2 2
2
+ +
+ + +
n n
n
63)
2 3
2 1
3 3
3
+ + +
+ + +
n n n
n
64)
2 11
2 1
3 3
3
+ +
+ + +
n n
n
65)
1 2
) 1 2 (
3 1
+ +
− + + +
n n
n n
n
+ +
+ +
+ +
+ +
5
1
5
1 5
1 1
3
2
3
2 3
2 1
2
+
− + + +
) 1 2 )(
1 2 (
1
5 3
1 3 1
1 lim
n n
+ + + +
) 1 (
1
3 2
1 2 1
1 lim
n n
+ +
+ +
) 2 2 ( 2
1
6 4
1 4 2
1 lim
n n
n
1
2
1 1
1 lim